kudryavtsev1 (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 6

Последсвтпельнссть, у ко!порой суи!ествует предел, называется ахсдяи(ейся. Последовательность, не являюи!аясн схсдяи!ейся, нал !вас!пся расхсдяи(ейся. Отметим, что неравенство (3.1) равносильно неравенству а — е (а„(а+в. Определение 3. Для задинного числа х всякий интервал вида (х — е, х+ е), где е > О, нааевается е-окрестностью, или проппа окреапнсстью, числа (точки) х на числовой прямой и обозначае!пся 0(х, е) или 0(х). С помощью понятия окрестности определение предела последовательности можно перефразировать следующим образом. Определение 2'. Число а являетсн пределои псследовательноспт (а„), если в любой его окреапности ссдерясатся поппи все члены последсвательностпи, т.

е. все члены последовательности, за исключением их конечного числа. ! П р и м е р ы. 1. Последовательность ~ — ~ сходится и имеет своим пределом ноль. В самом деле, каково бы ни было е»О, по свовству Архимеда !см. свойство Ъ' в и. 1.1) ве!цественных 1 чисел существует такое натуральное число п, что и ) —. Поэто- 1 1 му О( — ( — (з для всех п > н, а это и означает, что и п 1пп — =- О. 1 п- 2. Последовательность ~з(п — п~ является расходящейся.

В самом 2 деле, каково бы ни было число а, вне его е-окрестности, например при О ( е ( 1, заведомо лежит бесконечное число членов данной последовательности, и, значит, оно не является ее пределом. !! . и 1 . п 3. Последовательность [ — з!и — „и( сходится и!пп — з!п — и =О, ! и и что следует (почемуу) из того, что ~ — з(п-,-п ( —, и того, что 1пп — = О. ! и п й Э Предел последовательности 30 4, Последовательность (п) расходится, что легко устанавливается, например, аналогично примеру 2.

В примерах 2 и 4 при доказательстве расходимости последовательности целесообразно использовать не негативное определение этого понятия, т. е. определение, состоящее из отрицания (расходящаяся последовательность не сходится) „а позитивное, т. е. утверткдающее наличие какнх-то свойств (тем самым в позитивном определении отсутствуют слова «не», «нет», «нельзя» и т. и.). Поясним это на примере позитявного определения того, что некоторое число нс является пределом данной последовательности. Определение 4.

Число а не лвлнетсл »1 пределом последовательности (а ), если сущесгпвует таксе е ) О, что для всякого натурального п существует такое натуральное тп„»п»', что ~ а — а,„~~~а. У п р а ж н е н и я. 1. Сформулировать позитннное определение того, что данная последовательность расходится. 2. доказать, что если 1нп о„ = а, то 1!та ~а»1 = 1а Р ь»а а.- со Теорема 1. Числовая псследввагпельнсопь не может имепть более одного предела. Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим протиштое. Пусть существует последовательность (ав), у которой имеется по кра1гней мере два различных предела а и Ь, и пусть длн определенности а ( Ь. Выберем е» О так, чтобы окрестности О (а, а) н 0 (Ь, е) не а е и а с ь с ь ь+с пересекались (рис.

6). НапрнЬ вЂ” а мер, можно взять е =— Рис. 6 2 Существует такой номер п„что а»ЕО(а, е) для всех п)~ и,, и существует такой номер пз, что а, ~ 0(Ь, е) для всех п,,л пз. Обозначим через пв наибольшни пз номеров и, и пгь тогда а„- 0(а, е) и а„с-О(Ь, е) для любого и ~~ и,, что певозмох«но в силу того, что указанные окрестности не пересекаются. Полученное противоречие доказывает теорему. Отметим три полезных свойства сходящихся последовательностей.

1. Если а„ ( Ь„ ( ся, и = 1, 2, (3.2) ») Следует обратить внимание, что здесь частила «не» входит не в определение, а а определяемое понятие. »*~ Виденс и у числа глл поназывает, что зто число зависит от числа и, ад Лееделы лоиоюенык лоеледееетельноетей 31 !ппа„=!ппс„=а, л ь ь гю то последоьальельность !Ь„) сходится и 1!гп Ь„=а.

Доказательство. Пусть зафиксггровзно е)0. Существуют такие гг„и п, по при и)п, а — е(а„(а+е, а прн и)~пе а — е(с„( а+в. Обозначим через и наибольший из номеров и и п . Тогда для всех и~~и а — в(а„(с„(а+е. Отсюда в силу 13.2) при и > и, а — з(Ь„(а+з, а это н означает, что !1гпЬ =а.

П. Если !!ша,„=а и а(Ь 1соответсгпвентго а)с), пго сци!ел сгпвггет таксе и, 1соответсгпвенно и,), что а„(Ь при и> и, 1ае)с ири п > и,). Доказательство. Возьмем в= Ь вЂ” а. В силу определения предела, существует такой номер пь, что прн и > п а — з(а,(а+в= Ь. Первое утверждение доказано. Аналогично рассматривается и случай а >с. П1. Если !пп а„=а и а„> Ь[соответсгпвенноа„(с), и=1 2, ..., л. гло и сг~ Ь 1соотвепгственно а < с).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если бы было а ( Ь, то, согласно свой. ству П, найдется такое а„, что а„( Ь, но это противоречит условию. Аналогично разбирается случай а„< с. 3.2. Пределы монотонных последовательностей Следует различать ггсследовательность, т. е. множество ее элементов, и множество внгэгений' ее элементов. Первое множество всегда бесконечно, так как состоит из совокупности элементов, отличающихся по крайней мере номерами п = 1, 2.....

Второе множество состоит из всех чисел, являющихся значениями элементов Э 8. Предел последовательности данной последовательности, опо может быть и конечным. Например, для последовательности а„= 1, и = 1, 2, ..., сама последовательность, как и всякая последовательность, состоит пз бесконечного числа элементов, а множество значений ее элементов состоит из одного числа 1. Определение 5. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если мноэхесспво значений ее элеменп1ов ограничено сверху (снизу). В терминах элементов последовательности это определение может быть перефразировано следующим образом. Определение 5'. Последсвшпельность (а„) называетсл огриниченной сверху (снизу), если суитествуесп такое число Ь, что а„< Ь (соответственно а„.,о- Ь) для всех номеров и. Определение 6. Последовательность, ограниченная сверху и снизу, называется проппа ограниченной.

Оореяечеиие 7. Последовательность, не нвлчюи1аяся ограниченной (сверху, снизу), называппся неограниченной (сверху, снизу). Очевидно, что последовательность (а„) ограничена тогда и только тогда, когда существует такое число Ь, что ~ а„~ ~( Ь для всех номеров и=1, 2,.... Например, последователщ1ости ~ — ) и ~з1п — п~ ограничены. Последовательность (и) ограничена снизу, но не ограничена сверху, а последовательность ~п яп —, п~ является неограниченной.

Теорема 2. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Доказательство. Пусть дана сходящаяся последовательность (а„) и пусть 1ипа„=а. Зафиксируем, например, е=1. Согласно определению предела последовательности, существует такое и,, что ~а„— а~(1 для всех и > пи Пусть с! — наибольшее из чисел 1, 1а,— а ~, ..., 1а„, 1 — а !. Тогда 1а„— а ~ < 11 для всех и, т. е. а — д< а„< а+ й для всех п.

Это и означает ограниченность заданной последовательности. Определение 8. Верхняя (ниэкняя) грань множества значений элемен1 пав последовательности (а„) называе1пся верхней (нижней) гранью данной последсваспельноппи и обозначаетсп зпр(а„) или в1р ао (соотвапапвенно 1п1 (а„) или 1п1 а„). п=!,2.... п-1,Э, ... Если верхняя (нижняя) грань является числом, то это определение можно сформулировать следующим образом.

Число а является верхней (нижней) гранью последователь- коппи а„, и = 1, 2, ..., если: 1) аи < а (соответствеино а„> а) 82. Предела монотоннал последовоьельносгеа для всех и; 2) для любого е)0 суи!ествует такой номер и„ что а„) а — е (соответственно а„и" а+ е). В апачогичиой формулировке можпо дать определение верхпей (нижней) грани последовательности в случае, когда указанная грань бесконечна. (Сделайте это.) В качестве примеров отметим, что зпр ! — ~ = 1, !п(~ †! =О, зцр (и) = + оо „1п! (п) = 1. Определение 9. Последовательность а„, и =1, 2, ..., называется моноп1онно возрастающей (монотонно убывающей), если аи (аи Ь1 (СаатВЕтСЬПВЕННО аи)~а,+~) дяя ВСЕХ П.

Монотонно всзрастаюи1ие и монотонно убывающие последовательности назьюаются прас~по моноппннььяи. 1!1 Например, последовательность( — ) люнотоиио убывает, последовательиость (и) мопотопио возрастает, а последовательгость ((з!п ~~а ие является моиотоипой. Теорел|а 3. Всякая ограниченная сверху (снизу) монотонно возрастающая (монппюнно убывающая) ппследпиипельноспьь (аи) имеегп предел, причем 1пп а„= зп р (а„) (соответствеино 1пп аи = 1п1 (а„)).

и и До к а з а т е л ь с т во. Пусть последовательность(а„) монотонно возрастает и ограпичеиа сверху. В силу послед"его условия оиа имеет конечпу1о верхнюю грань зпр (а„) а. Покажем, что а = = !!гп ао. Зафиксируем произвольное е)0. Из того что а=зцр(а„), следует, что аи ~(а для всех номеров и =1, 2, ..., и существует такой помер и„, что а„)а — ь. Тогда в силу моиотоииости задаииой последовательности для всех номеров п )~ и, имеем а — е аи <пи<а. Поэтому (а — аи!и в для всех п.'~п, что и означает, что а= 1ип ан. и ь Аналогично доказывается существование предела для ограниченной снизу монотонно убывающей последовательности.

Мы видели, что если последовательность сходится, то оиа ограничена (теорема 2), отсюда, в частности, следует, что если монотонно возрастающая последовательность сходится, то она ограиичеиа сверху; с другой стороны, если монотонно возрастающая последовательиость ограничена сверху, то оиа сходится (теорема 3). Таким образом, справедливо следующее утверждение. Сл ед ст в и е. Для того чп1пбы монотонно возрастающая последовательность сходилась, необходимо и доспштсчно, чпюбы она было ограничена сверху. ф 8.

1!Седее иосеедоеатееьлости 34 Аналогичное утверждение справедливо и для монотонно убывающей последовательности. 3 а и е ч а н и е. Если (а„, 6»! — система вложенных отрезков, по длине стремящихся к нулю, а $ — точка, принадлежащая всем отрезкам данной системы, то $=)ппа„=1(т (>„. В самом деле, в конце п. 2,1 было показано, что К=апр(ал)= = !и! (Ьл). С другой стороны, последовательность (ал) (соответственно ((>„)) монотонно возрастает (убывает), откуда и следует (3.3). Г! р и и е р. Число е. 1 1» Пусть х,=~1+ — ), и=1, 2,,... Покажем, что зта последовательность сходится.