kudryavtsev1 (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 4

и.). Понятия множеспгва и элемента мпожеспгва являются первичными понятиями Первичным понятием является также понятие ггусгпого множества. Пустое множество не содержит элементов. Запись А = (а, Ь, с, ...) означает, что совокупность А состоит из элементов а, Ь, с, ...; подобным образом запись А = (хи) обозначает, что совокупность Л состоит из элементов х,„, где а — индекс, пробегающий некоторое множество, которое, конечно, в конкретных случаях всегда указывается.

Запись А=(хг ...) означает, что совокупность Л состоит из элементов, обладающих свойством, указанным после двоеточия в фигурных скобках. Например, если а < Ь, то определение числового отрезка (а, Ы запишется следующим образом: (а, Ь! =(х а< х < Ь). Если а Ь, то множество (а, Ь)=(х:а х(Ь) называется интервалом. Интервал (а, Ь) называется внутренностью отрезка (а, Ы. Числовыемножества(а, Ь)=(х:а <х(Ь), (а, Ц=-(х:а(х <Ь) называются полуопгрезками, или гголуиипгервалпми. Множества (а, Ь!, (а, Ь), (а, Ь) и (а, Ы называются прамежупгкаии, точки а и Ь называются концами, а все остальные их точки— внутренними тачками.

Мы будем рассматривать также бееконечпие промежутки, употребляя для их записи символы бесконечности: с, +сг и — оо. При этом будем считать по определению, что для любого вещественного дд Обозначения числа х имеет место неравенство — оо ~ х С +со, Это делает естественными, например, следующие обозначения: (а, + оо) =- (х: х ) а), ( — со, Ь) = (х: х < Ь), (а.

+ со) = (х: х > а), ( — сс, а) = (х; х < а), ( — оо, + со) = (х „— со ( х ( + со). Эти ыножества и будем называть бесконечными промежутками. Если элемент х принадаежит множеству А, то будем писать х~А, если же х не принадлежит А, то хД А. Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то будем говорить, что А является подмножеством множества В, и писать А~В (читается: множество А содержится во множестве В), или, что то же, В~А (читается: множество В содержит множество А).

Пусть даны два множества А и В. Совокупность всех элементов, каждый из которых принадлежит по крайней мере одному из ыножеств А и В, называется их обзединениели или их сульиой. и обозначается л А В. Совокупность всех элементов, каж- "'еф я е е" лр, дый из которых прниадлеэкит н мно- у,:.;д.Ф:- '~ жеству А и множеству В, называется л„е ' '' их пересечением и обозначается А В. Совокупность всех элементов, каж- Рис 2 дый из которых принадлежит множеству А, но не принадлежит множеству В, называется разноспвю множеств А и В и обозначается А В (рис.

2). Кратко эти определения можно записать следующим образом: А В= =(х: х принадлежит по крайней мере одному из множеств А и В); А В=(х:х~А и х~В); А В= (х:хЕА, хДВ). Если задана система множеств (А,„), то их объединение () А а и пересечение Д А„определяются соответственно по форыулаы а () Ла=- = (х:х принадлежит по крайней мере одному из множеств А„); () Л„=(х:х~Л„прч всех сс). а З Е Верхние и иижиие грачи ииажееге а 2. ВеРхние и нижние ГРАни л1ИОжеетв 2.1. Свойства верхних и нижних граней множеств Определение 1. Множество М вещесгпвенных чисел называегпся ограниченным сверху (соответственно ограниченным снизу) числом а, если длл всакого числа х гч М выгюлнлетсл неРовснство х< а (соответственно х .

а). При этом говорят, что число а ограничивает сверху (снизу) множество М. Мнажеспюо, ограни кнное сверху (ссответспыенно снизу) некоторым число.и, называется ограниченным сверху (снизу) лгножеством. Определение 2. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется просто ограниченным множеством. Другими словами, лгноысество М называется огриниченнылп если суи(ествуют такие числа а и Ь, что а < х = Ь для любого х~ М.

Множество, не являющееся ограниченным (сверху, снизу), называется неограниченным (сверху, снизу). Примеры ограниченных множеств дают отрезок 11; 2), интервал (О; 1), множество значений функции з1п х. Бесконечный интервал ( — 5, +ьа), множество натуральных чисел 1, 2, 3, ... являются множествами, ограниченными снизу, но не ограниченными сверху. Б!аконец, множество всех целых чисел, всех рациональных чисел суть множества, не ограниченные как сверху, так и снизу. Покажем в дальнейшем, что среди всех чисел, ограничивающих сверху (снизу) данное множество (если, конечно, такие числа для рассматриваемого множества существуют), есть наименьшее (наибольшее), Такое число называется верхней (нижней) гранью множества.

Дадим точное определение верхней (нижней) грани. Определение 3. Пусть задано множество М. Число а называется верхней гранью (нижней гранью) множества М, если: 1) а не меныие (не больисг) любого х~М: х<а(х) а); 2) для любого а' ( а (соответственно а' р а) существует по крайней мере одно ха ~М, таксе, что х„) а' (соответственно х, ( а'). Значок а' у числа х ~ М означает, что число х„зависит от выбо. ра а'. Верхняя грань множества М обозначается зцр М илп ьпр х„ а нижняя грань соответственно (п( М или 1п( х.

г ем Очевидно, что если для некоторого множества существует верхняя (нижняя) грань, то это множество ограничено сверху (снизу). Д1 Сеойгхва верхних и нижних граней множеств 23 Это сразу следует пз свойства 1 ояределення верхней (нижней) грани множества. Условие 2 в определении верхней (нижней) грани множества эквивалентно услогию: 2') каково бы ни оыло е) О, существует такое х СМ, что хв) а — е (соответственно х ( а + е). Чтобы убедиться в равносильности условий 2 и 2', достаточно положить е = а — а' (соответственно е = а' — а). Приведем примеры, иллюстрирующие понятия верхней и нижней грани множеств. Если М = — (а, И, то 1п! М = а, зпр М = Ь.

Если М = (а, Ь), то также !и! М = а, знр М = Ь. Если М состоит из двух точек а и Ь, а ( Ь, т. е. М =- (а) х(Ь), то снова ш! М = а, зврМ =Ь. Приведенные примеры, в частности, показывают, что верхняя (нижняя) грань множества может как принадлежать самому множеству, так и не принадлежать ему.

Определение 4. Пусть задано множествоМ. Если существует такой элемент х, ~с М, что х с х„(соответпствгнно х > хь) для всех х с М, то х, называется наиболыиим, или максимальным (пютветственно наименьшим, или минимальным), элемгнпюм мнгоквьтва М и пишется х, =- гпах М (соответственно х, = ппп М). Очевидно, что если в множестве М существует наибольший (наименьший) элемент х„то х, = знр М (соответственно х„= — !и! М). Дадим еще одно определение верхней и нижней граней множества. Определение 5.

Пусть задано множество М. Пусть  — множество всех чисел, ограничивающих сверху (снизу) множество М. Наименьший (наибольшии) элемент множесгпва В называется верхней (нижней) гранью множества М. Определение 5 является, по существу, простой перефразировкой определения 3. Действительно, условие а ~ В означает, что а ограничивает сверху множество М, т. е. означает выполнение условия 1 определения 1. Условие, что а является минимальным элементом множества В, означает, что любое число а' ( а пе ограничивает сверху множество М, т. е. что найдется такой элемент х~М, что х ) а'.

Это и есть условие 2 определения !. Аналогично показывается равносияьность определений для нижней грани. Для множества М, не ограниченного сверху (снизу), никакое число не может являться верхней (нижней) гранью, н мы будем считать по определению верхнюю грань равной +аа и писать зпр М == +аа (для множества, не ограниченного снизу, ш1М:=- = — ао). Если, как указывалось выше, формально считать, что„каково бы нп было число а, для символа +аа (соответственно символа — аа) имеет место соотношение порядка а( +ао (соответственно й 2 Весхнае и чееенее евана ччааеееее -- ь ( а), то определение зцр М = +аа (]п! М = — аа) удовлетворяет условиям 1 и 2 определения верхней (нижней) грани.

Если верхняя (нижняя) грань множества является числом, то говорят, что она конечна, если же она является символом +аа (соответственно †), то говорят, что она бесконечна. Первый вопрос, который естественно возникает после определения понятия верхней (нижней) грани, состоит в следующем: всегда ли существует верхняя (нижняя) грань множества. Если множество не ограничено сверху (снизу), то этот вопрос решается просто: в этом случае мы, как это было отмечено выше, по определению считаем верхнюю (нижнюю) грань равной +оа (соответственно — аа). Если же множество ограничено сверху (снизу), то ответ на вопрос дает следующая теорема.

Теорема 1. Всякое ограниченное сверху нгпусепог множество веи]еспмгнных чисел имеет конечную верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу — нижнюю грань. До к а з а тел ь ст во. Пусть М вЂ” непустое, ограниченное сверху множество. Это означает, во-первых, что существует по крайней мере один элемент а ~ М, и, во-вторых, что существует такое число Ь, что х ( Ь для всех элементов х( М. Отрезок [а, Ь] содержит хотя бы одну точку множества М, например, точку а. Разделим а+И отрезок [а, Ь] пополам, т. е.