kudryavtsev1 (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 11

Следующая теорема дает интересный пример счетного множества. Теорема 7. Рациональные числа образуют счетное лгножесгпво. Д о к а з а те л ь с т в о. Рассмотрим сначала неотрицательные рациональныс числа. Расположим их в бесконечную таблицу следующим образом: в первую строчку поместим в порядке возрастания все целыс числа О, 1, 2, ...; во вторую — все несократимые положительные дроби со знаменателем 2, упорядочениыс по величине числителя; вообще в и-ю строчку, п =- 1, 2, .,— все положительныс рационалыгые числа, записывающиеся нссократимой дробью со знаменателем и, упорядоченные по величине числителя. Очевидно, а 3.

Предел иоеледонителиноете что каждое неотрицательное рациональное число попадет на какое. то место в получившейся таблице: 0 1 2 3 4 ... 1 3 5 7 9 2 2 2 2 2 ! 2 е 5 7 3 3 3 3 3 ! и Зануыеруеы теперь элементы получившейся таблицы согласно следующей схеме (в кружочках стоят номера оответствующих элементов, стрелка указывает направление нумерации): 0 1 — 1 2 — 2... ! ! 3 2 2 2 3 5 2 2 2 7 3 3 ! 1 2 3 3 3 В результате все неотрицательные рациональные числа оказываются занумерованными, т. е. мы доказали, что они образуют счетное множество. Чтобы убедиться, что и множество всех рациональных чисел также счетно, достаточно их записать в подобную же таблицу.

Это можно сделать, например, поместив в написанной выше таблице после каждого положительного рационального числа х в той же строчке число — хс В.В, Верхний и нилиной пределы последоеительнистей Перенумеровав злементы таблицы тем же методом, что и выше, получим счетность всех рациональных чисел. Возникает естественный вопрос: а существуют ли бесконечные множества, не являющиеся счетными? Оказывается, что да, сущестнуют, н они называются естественно, несчетными множествами. Важный пример несчетных множеств устанавливается нижеследующей теоремой. Теорема 8 (Кантор).

М нор(сестер еещестеенных чисел несчетно. Допустим противное: пусть удалось занумеровать все веществен- НЫЕ ЧИСЛа Х„Х2, ..., Хп, ...; ЗаПИШЕМ ИХ С ПОМОЩЫО ДОПУСтнд(ЫХ десятичных дробей: хд = ао, сд) аг,. а,„... <г) <г) <г) < О (2) (2) (2) (2] Хе=аО > аг а2 ... ат (3.18) (и) (п) (и) (и) Здесь а<'„'), п= 1, 2, ..., (п=1, 2..., обозначает одну из цифр О, 1, 2, ..., 9, а а<'), п=1, 2, ...,— целое число с тем или иным знаком. Выберем цифру а„, гг = 1, 2, ..., так, чтобы ап+ а(п' и ап+9.

Тогда дробь О, о.,аг...а„... является допустимой, но числа а = О, а,а,...а„... заведомо нет среди чисел х„, и = 1, 2, ..., так как десятичная дробь О, а, ... а„... хотя бы однил( десятичным знаком отличается от каждой из десятичных дробей (3.18). Полученное противоречие и доказывает теорему. 3.8. Верхний и нижний пределы последовательностей Определение 19. Символ +со (соотеепгстеенно — оо) называется бесконечным час(линн(лм пределом последовательности (х„), если существует такая подпоследоеаигельность (х„), ипо !Пп х„„= + с (соотеегггсгпеенно !пп х„„= — оо). А А Легко показать, что у любой последовательности существует по крайней мере один частичный предел, конечный или бесконечный.

Действительно, если последовательность не ограничена сверху, то у нее существует подпоследовательность, стремяшаяся к +со (почему?), и, значит, +ос — ее частичный предел. Если же последовательность не ограничена снизу, то — оо — ее частичный предел. Если, наконец, последовательность ограничена сверху и снизу, то она просто ограничена и, согласно теореме Больцано — Вейершграсса, имеет конечный частичный предел. ВВ 5 8 Лредел поеледовотельногто Определение 20. Оаибольшггй часишчный предел последовательности «х») называется ее оерхнилг ггределом и обозначается (пп х„, а наименьишй частичный предел называется нижнгглг пре»-ее делом и обозначается !пп хке » е Теорема 9.

ог любой последовательности (х,) суи(есигвуеги чан наибольишй, гпак и наименьший частичный предел. Д о к а з а т е л ь от во. Прежде всего заметим, что если последовательность имеет только один частичный предел, то он будет и наибольшим и наименьшим. Поэтому в дальнейшем при доказательствее будем считать, что последовательность (ха) имеет по крайней мере два частичных предела. Если последовательность (х„) не ограничена сверху, то, очевидно, Нш ха = +со, а если не ограничена снизу, то !пп х„ = †. » »-~ Пусть теперь последовательность (х») ограничена сверху.

Тогда +со не является ее частичным пределом; согласно же предположеншо, она имеет по крайней мере два частичных предела, поэтому в этом случае существует по крайней мере один конечный частичный предел. Из ограниченности сверху данной последовательности (х») следует и ограниченность сверху непустого множества А ее конечных частичных пределов. В силу этого множество А имеет конечную верхнюю грань. Покажем, что Ь = зпр А есть частичный предел последовательности (х„), т. е. что в Ь~ А. Действительно, если бы Ь(К А, то существовало бы такое е) О, что в интервале (Ь вЂ” е, Ь+ е) содержалось бы лишь конечное число членов последовательности (х„), и поэтому, (почем у?), в этом интервале не было бы ни одного элемента А, что противоречит условию Ь = зпр А.

Таким образом, Ь~ А и, следовательно, является наибольшим элементом множества А (см. определение 4 в п. 2.1), поэтому Ь =!(гп х„. » > егггалогичгго показывается, что если последователыюсть (х„) ограничена снизу и множество А ее конечных частичных пределов не пусто, то (и( А = 1(гп х„. » Ф Теорема доказана.

'е' о р а ж н с а и с ) 6. Пусть ( — ()" ( + ( — ()" — о + Найти (ио кк» гглг ке» ги( (л„), ьор (л»!. 8Я. Верхний и нижний пределы последовательностей Теорема 1О. Для того чпюбы число а было верхним пределом последовательности (х„), необходимо и достапючно выполнение для любого числа е ) О совслеупносп1и следующих двух условий. 1. Существует номер и, такой, что для всех номеров и ~~ и справедливо неравенство х„( а+ е.

2. Для любого номера по Сществувт номер и' (зависящий от е и от и,), такой, что и' ) и, и х„) а — е. Условие 1 означает, что при любом фиксированном е ) О в последовательности (х„) су1пествует лишь конечное число членов х„, таких, что хп > а + е (их номера меньше и ). Условие же 2 означает, что при любом фиксировании е ) О в последовательности (х„) существует бесконечно много членов х„, таких, что х„> а — е.

Доказательство необходимости. Пусть а =!пп х„и пусть е) О фиксировано. Если бы на полуинтервале и [а + е, +оо) оказалось бесконечно много членов последовательности (х„), то нашлась бы подпоследовательность последовательности (х„), элементы которой принадлежат этому полуинтервалу и которая имеет конечный или бесконечный предел. Обозначим его через Ь. Очевидно, Ь )~ а + е > а, что противоречит тому, что а — наибольший частичный предел последовательности (х„).

Свойство 1 доказано. Далее, поскольку верхний предел является и частичным пределом, то сущес1вует подпоследовательносгь (х„„) такая, что [пп х = а. Почти все члены последовательности (х„ ) больше пн и А оэ а — е н, следовательно, существует бесконечно много членов данной последовательности (х„) больших, чем а — е. Свойство 2 также доказано. Д о к а з а т е л ь с т в о д о с т а т о ч н о с т и, Пусть число а удовлетворяет условиям 1 и 2. Покажем, что тогда а является 1 частичным пределом. Возьмем в= —, й=1, 2, ....

Для каждого ! натурального А существуег номер пю такой, что х„„> а —— (согласпо свойству 2) и х„, ( а+ — (согласно свойству 1). Поскольку для любого я множество элементов х„ данной последова- 1 1 тельности, для которых выполняются неравенства а — (х„(а+ —, б Д Предел лоследолательности У и р а ак н е н н е 17. Доказать, что, лля того чтобы последовательность (х,) имела предел(конечный или бесконечный, равный одному нз символов +лл или — со1, необходимо н лостаточно, чтобы 1ип кл — — !1п1 кл л« л В дальнейшем (в 5 37) нам будет полезно следующее утверждениее.

Лемма. Пусть х„>~0 и у„>0, т~=-1, 2, ..., и последоеательность (хл! сходится. Тогда, если 1нп уле" + оо, то 11п1 х„ул=1!ш х„!11п ув, л лл л л ю (3.19) а если !ип ул = + со, Игп х„ ь О, то л 1нп х„у„= +оо. л О (3.20) Доказательство. Пусть 1! гп ул =- Ь С + оо л (3.21) 1нп хи=а, л- л и пусть (у„„) является подпоследовательностью последовательности (у„), такой, что !нп у„„= Ь. Поскольку (пп х„„=а, то а лл е!!шх„у„„= аЬ.

Следовательно, аЬ является частичным пределом е л последовательности (х„ул), и потому выполняется условие 2 теоремы 10. бесконечно. то номера па можно последовательно (Ь = 1, 2, ...) выбрать так, чтобы гга,~а,, при й, Аа. Б результате мы получим подпоследовагельйость (хл„) данной последовательности (х„). 1 Г!з неравенства !а — х„ь! с. — „следует, что !!ш х„=а, т.е., что а еявляется частичным пределом последовательности (хл). Покажем тепергь что число а является наибольшим частичным пределом. Действительно, если бы нашелся частичный предел Ь последовательности (х„), такой, что Ь ) а, то, беря, и )О так, что а + и " Ь, мы получим, что на промежутке (а + е, + оо) будет находиться бесконечно много членов последовательности (х,) (а именно почти все члены подпоследовательпости, сходящейся к Ь).

Это противоречит условию !. Теорема доказана. ад. Верхний и наивной пределе» последовательностей Покажем теперь, что число аЬ удовлетворяет и условию 1 этой теоремы; тем самым будет показано, что аЬ является наибольшим частичным пределом, т. е. верхним пределом последовательности (х„уо).