Фейнман - 07. Физика сплошных сред (Р. Фейнман, Р. Лейтон. М. Сэндс - Фейнмановские лекции по физике), страница 8

На основание призмы действует х-компонента силы, равная ЛГвз = Я„~ Лх ЛБ, а х-компонгвта силы, действувнцей на вертикальную прямо- угольную грань, раева ЛУ„, = Я», ЛУ Лю Сумма этих двух сил должна быть равна х-компоненте силы, действу>ощей извне на грань Л>. Обозначим чероз н единич- ный вектор нормали к грани Х, а через Ä— действующую на кее силу, тогда получим Лг"',„= Ь'„, Лу Лз+ Я,„Лх Лг. Составляющая напря>кения по оси х (о' „), действующего в втой плоскости, равна силе Л1",„, деленйой ка площадь, т.

е. Лг)> Лхе+Лу'-', илн вл хв + > ву у" >+ Но, как видно из фиг. 31.8, отношение Лх/'г'Лхз+Лу' — это косинус угла 0 мея>ду и и осью у и может быть записан как л, т. е. у-компонента вектора и, Аналогично, Луф Лх'-(- Лу" равно з(п 0=- п„. Поэтому мы можем написать Коли теперь обобщить зто на произвольный элемент поверхно- сти, то мы получим или в еще более общей форме: Ь'ы =-2 Зпп;. (31.24) > Так что мы действительно можем выразить силу, дейстеугощую на произвольную площадь, через элементы Я;> и полностью описать внутреннее напряжение. Уравнение (31.24) говорит, что тензор Я,~ связывает силу Я„с единичным вектором н точно так же, кай а> связывает Р с Е. Но поскольку н и 8„— векторы, то компоненты Я> при изменении осей координат должны преобразовываться как тен- зор. Так что Я, действительно тензор.

Ф и г. И.У. х- и у-компонента еил, дейегн. еуюьчих на негнире грани маленького единианого кубика. Можно также доказать, что Я,у— 3 симлгетриюгогй тепзор. Для этого нужно обратить внимание па силы, действующие на маленький кубик в материале. Возьмем кубик, грани которого параллельны осям координат, и посмотрим на ого УУ разрез (фиг. 31.9). Если допустить, что ребра куба равны единице, то х- и у-когзпоненты сил на гранях, перпендикулярных к осям х и у, должны быть такими, как показано на рисунке.

Если взять достаточно маленький кубик, можно надеяться, что напрягкение на его противоположных гранях будет отличаться ненамного, а поэтому компоненты сил должны быть равны и противоположны, как зто показано на рисунке. Заметьте топерь, что на кубик не должен действовать никакой момент сил, иначе кубик начал бы вращаться. Но полный момент относительно центра равен произведсншо (Я „— Яку) на единичную длину ребра куба, а поскольку полный ыомейт равен нулю, то Я „ должно быть равно Я„», и тензор напряжений, таким образом, оказывается симметричным. Благодаря этой симметрии тензора Я,.~ его можно тоже описывать эллицсоидом с тремя главными осями. Напряжение имеет особенно простой вид на площадках, нормальных к этим осям: оно соответствует чистому сжатию или растяжению в направлении главных осей.

Вдоль этих площадок нет никаких сдвиговых сил, причем такие оси, для которых отсутствуют сдвнговые силы, можно выбрать для любого напряжения. Если эллипсоид превращается в сферу, то в любом направлении действуют только нормальные силы. Это соответствует гидростатнческому давлению (положительному или отрицательному). Таким образом, для гидростатического давления тензор диагонален, причем все три компоненты его равны друг другу (фактически они просто равны давлению р). В этом случае мы можем написать (31.25) Вообще говоря, тензор напряжений в куске твердого тела, а также его эллипсоид изменяются от точки к точке, поэтому для описания всего куска мы должны задать каждую компоненту Я< как функцию положения. Тензор напряжений, таким образом, является полем.

Мы уже имели примеры скалярных полей, подобных температуре Т(х, у, з), и векторна<х полей, подобных Е(х, у, г), которые в как дой точке задавались тремя числами, А теперь перед нами пример тенгорного поля, задаваемого в каждой точке пространства девятью числами, из которых для симметричного тензора Я, реально остается только шесть. Полное описание внутренних сил в произвольном твердом теле требует знания шести функций координат х, у и г. Э Т. 'л'ензоры выем<их рангов Тензор напряжений Я< описывает внутренние силы в веществе. Если при этом матерйал упругий, то внутренние деформа«ии удобно описывать с помощью другого тензора Т, — так называемого тенгора деформа<1ий. Для простого объекта, подобного бруску из металла, изменение длины ЛЬ, как вы знаете, приблизительно пропорционально силе, т.

е. он подчиняется закону Рука Для произвольных деформаций упругого твердого тела тензор деформаций Т<г связан с тензором напряя ений Я< системой линейных уравйений (31.26) Вы знаете также, что потенциальная энергия пружины (илп бруска) равна 1 1 2 2 рдг — ург а обобщением плотности упругой энергии для твердого тела будет выражение ~у< (31.27) и/М Полное описание упругих свойств кристалла должно задаваться коэффициентами у<ли<.

Это знакомят нас с новым зверем — тенаором четвертого ранга. Поскольку каждый из индексов может принимать одно из трех значений — х, у или г, то всего оказывается За=81 коэффициент. Но различны из них на самом деле только 21. Во-первых, поскольку тензор Я<г симметричен, у него остается только шесть различных величин, и поэтому в уравнении (31.27) нужны только 36 рпзличных коэффициентов.

Затем, не изменяя энергии, мы можем переставить 8г и 8ы, такчто у;., должно быть симметрично при перестановке пары индексов гу и йй Это уменьшает число коэффициентов до 21. Итак, чтобы описать упругие свойства кристалла низшен возможной симметрии, требуется 21 упругая постоянная! Разумеется, для кристаллов с более высокой симметрией число необходимых постоянных уменьшается.

Так, кубический кристалл описывается всего тремя упругими постояннымп, а для изотропного вещества хватит и двух. В справедливости последнего утверждения можно убедиться следующим образом. В случае изотропного материала компоненты у,, не должны зависеть от поворота осей. Как это может быть? Огэвет: они могут быть независимы, только когда выражаются через тензоры 6; . Но существует лищь два возможных выражения, имеющйх требуемую симметрию,— зто Ь,,бы и Ьмбп+Ьпбтг, так что усуи должно быть их линейной комбинацией. Таким образом, для изотропного материала у; и,= а (Ь; Ьы)+6(бмбя+Ьпб~г); следовательно, чтобы описать упругие свойства материала, требуются две постоянные: а и Ь. Я предоставляю вам самим доказать, что для кубического кристалла требуются три такие постоянные. И еще один последний пример (на этот раз пример тензора третьего ранга) дает нам пьезоэлектрический эффект.

При напряженном состоянии в кристалле возникает электрическое поле, пропорциональное тензору напряжений. Общий закон пропорциональности имеет вид йг = ХРуг87то ь з где Е; — электрическое поле, а Ры — пьезоэлектрические коэффициенты (пьезомодули), составляющие тензор.

Можете ли вы сами доказать, что если у кристалла есть центр инверсии (т. е. если оп инвариантеп относительно замены х, у, х — х,— у,— з), то все его пьезоэлектрические коэффициенты равны нулю. 8 8. Четхпрезсмерньггу теииор элеюпро махи тпного ггмпульеп Все тензоры, с которыми мы сталкивались в этой главе, были связаны с трехмерным пространством; они определялись как величины, имеющие известные трансформационные свойства прн пространственных поворотах. А вот в гл.

26 (вып. 6) мы имели возможность воспользоваться тензором в четырехмерном пространстве-времени: это был тензор электромагнитного поля г',„, ем Компоненты такого четырехмерного тензора особым образом преобразуются при преобразованиях Лоренца. (Мы этого, правда, не делали, но могли бы рассматривать преобразования Лоренца как своего рода «вращение» в четырехмерном «пространстве», называемом пространством Минковского: тогда аналогия с тем, что мы рассматривали здесь, была бы ярче.) В качестве последнего примера мы хотим рассмотреть другой тензор в четырех измерениях (», х, у, х) теории относительности.

Когда мы говорили о тензоре напряжений, то определяли Я,, как компоненту силы, действучощую на единичную площадку. Но сила равна скорости изменения импульса со временем. Поэтому вместо того, чтобы говорить «Я„» — это хкомпонента силы, действующей на единичную площадку, перпендикулярную оси у», мы с равным правом могли бы сказатьо «Я вЂ” это скорость потока х-компоненты импульса через едихт яичную площадку, перпендикулярную оси у». Другими словами, каждый член Я;~ представляет поток»хй компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси у. Так обстоит дело с чисто пространственными компонентами, но они составляют только часть «болыпего» тензора Я,„в четырехмерном пространстве ()«и т= Г, х, у, г), содержащего еще дополнительные компоненты Я,„, Ят,, Яп и т.

п. Попытаемся теперь выяснить физический смысл этйх дополнительных компонент. Нам известно, что пространственные компоненты представляют поток импульса. Чтобы найти ключ к распространению этого понятия на «временнбе направление», обратимся к «потоку» другого рода — потоку электрического заряда. Скорость потока скалярной величины, подобной заряду (через единичнук площадь, перпендикулярную потоку), является пространственным вектором — вектором плотности тока ). Мы видели, что временная компонента вектора потока — это плотность текущего вещества.

Например, ) можно скомбинировать с плотностью заряда у,=- р и получить четырехвектор у =- (р, )), т. е. значок )» у вектора )„принимает четыре значения: «, х, у, г. дто означает «плотность», «скорость потока в х-направлении», «скорость потока в у-направлении» и «скорость потока в х-направлении» скалярного заряда. Теперь по аналогии с нашим утверждением о временнбй компоненте потока скалярной величины можно ожидать, что вместе с Л„„,Я„„и 8„„ояисывающими поток х-компоненты импульса, должна быть и временная компонента Я„,, которая по идее должна бы описывать плотность того, что течет, т. е.