Фейнман - 07. Физика сплошных сред (Р. Фейнман, Р. Лейтон. М. Сэндс - Фейнмановские лекции по физике), страница 5

Если вы з каком-либо направлении прилоя!ите электрическое поле, то атомные, заряды слегка сдвинутся и возникнет диполь»ч ный момент; величина же этого момента зависит очень сильно от направления приложенного поля. А это, конечно, углов кение. Чтобы облегчить себе я(изнь, физики начинают разговор со специального случая, когда поляризуемоств~ во всех направлениях одинакова. А другие случаи мы предоставляем другим наукам. Поэтому для ваших дальнейших рассмотрений нам совсем не понадобится то, о чем мы собираемся говорить в этой главе.

Математика тензоров особенно полезна для описания свойств веществ, которые изменяются с направлением, хотя это лишь один из примеров ее использования. Поскольку большинство из вас не собираются стать физиками, а намерены заниматься реальным миром, где зависимость от направления весьма сильная, то рано нли поздно, но вам понадобится исполь зовать тевзор. Вот, чтобы у вас не было здесь пробела, я и собираюсь рассказать вам про тензоры, хотя и не очень подробно.

Я хочу, чтобы ваше понимание физики было как можно более полным. Электродинамика, например, у нас вполне законченный курс; она столь же полна, как и лгобой курс электричества и магнетизма, даже институтский. А вот механика у нас не закончена, ибо, когда мы ее изучали, вы еще не были столь тверды в математике и мы не могли обсуждать такие разделы, как прынцтгп наименьшего действия, лагранжианы, гамильтонианы н т. п., которые представляют наиболее э егпнтжый сиособ описания механики. Однако полный свод законов механики, за исключением теории относительности, у нас все же есть. В той же степени, как электричество и магнетизм, у нас закончены многие разделы.

Но вот квантовую механику мы так н не закончим; впрочем, нужно что-то оставить и на будущее! И все же, что такое тензор, вам все-таки следует знать уже сейчас. В гл. 30 ыы подчеркивали, что свойства кристаллического вещества в разных направлениях различны — мы говорим, что оно аниэотролно. Изменение индуцированного дипольного момента с изменением направления приложенного электрического поля — это только один пример, но именно его мы и возьмем в качестве примера тензора. Будем считать, что для заданного направления электрического поля индуцпровакный дипольный момент единицы объема Р пропорционален напряженности прикладываемого поля Е.

(Для многих веществ при не слишком боль~~гх Е зто очень хорошее приближение.) Пусть константа пропорциональности будет а *. Теперь ыы хотим рассмотреть вшцества, у которых сс зависит от направления приложенного полн, например известный вам кристалл турмалина, дающий удвоенное изображение, когда вы смотрите через него.

Предположим, мы обнаружили, что длн некоторого выбранного кристалла электрическое поле Е„направленное по оси х, дает поляризацию Р„ направленную по той н е оси, а одинаковое с лыж но величине электрическое поле Ею направленное по оси у, приводит к какой-то другой поляризации Р,, тоже направленной по оси р. А что получится, если электрическое поле приложить под углом 45'? Ну, поскольку оно будет просто суперпозицией двух полей, направленных вдоль осей х и у, то поляризация Р равна сумме векторои Р, и Рю как это показано на фиг. 3!.1, а. Поляризация уже не параллельна направлению электрического поля. Нетрудно понять, отчего так происходит. В кристалле есть заряды, которые легко сдвинуть " В гл. 10, следуя общепрпнятоьгу соглашению, мы писали Р=зоХЕ и величину Х (хп) называли твосприимчввостыоз.

Здесь же нам удобнее пользоватьсв одной буквов, так что вместо еэу мы будем писать се. Длв изотропвого дпэлоктрнва а=-(х — 1)еэ, где х — диэлектрическая проницаемость (см. гл. 10, ! 4, зыо. 5). Ег 2 Ф и г. оу Е. Слоасвнив вввторав по привации в анивотропнолв вристаллв. Е! б Этим я хочу сказать лишь, что электрическое поле, направленное по оси х, создаег поляризацию не только в этом направлении, оно приводит к трем компонентам поляризации Рл, Р и Р„ каждая из которых пропорциональна К,. Коэффициентй пропорциональности мы назвали ал, п,т и и„(первый значок говорит, о какой компоненте идет речь, а второй относится к направлению олектрического поля). Аналогично, для поля, направленного по оси у, мы можем написать Рл тхуЕу~ Ру ссууЕу~ Рг пгуЕу~ (31 3) вверх и вниз, но которые очень туго сдвигаются в стороны.

Если же сила приложена под углом 45', то этн заряды более охотно двшкутся вверх, чем в сторону. В результате такой асимметрии Е внутренних упругих снл перемещение Р идет не по направлению внешней силы. рг Разумеется, угол 45о пичем не выде- лен. То, что индуцированная полярн- Р, зация не направлена по электрическому полю, справедливо и в абивелг с.лучив.

Перед этим нам просто «посчастливилось» выбрать такие оси х и р, для которых поляризация Р была направлена по полю Е. Если бы кристалл был повернут по отношению к осям координат, то электрическое поле Егл направленное по оси у, вызвало бы поляризацию как по осн у, так и по оси х. Подобным же образом поляризация Р, вызванная полем, направленным вдоль оси х, тоже имела бы как х-, так и у-компоненты. Так что вместо фиг.

31.1, а мы получили бы нечто похожее на фиг. 31.1,6. 11о несмотря на все зто усложнение, величина поляризации Р для любого поля Е по-прежнему пропорциональна его величине. Рассмотрим теперь общий случай произвольной ориентации кристалла по отношению к осям координат. Электрическое поле, направленное по оси х, дает поляризацию Р с компонентами по всем трем осям, поэтому мы можем написать Р„= а„„Ь,, Р .=- а,тК„Р, = п„Е„.

(31.1) а для поля в я-направленип Р„=а„,Е„Р =а,Е„Р,=а„Е,. (31.3) Дальше мы гонорим, что поляризация линейно зависит от поля; поэтому если у нас есть электрическое поле Е с компонентами х и у, то х-компонента поляризации Р будет суммой двух Р, определенных уравнениями (31.1) и (31.2), ну а если Е имеет составляющие по всем трем направлениям х, у и з, то составляющие поляризации Р должны быть суммой соответствующих слагаемых в уравнениях (31.1), (31.2) и (31.3). Другими словами, Р записывается в виде Р„= а„Е„+ а„Е, +-ало Е„ Р =а „Е„+а Е -,'-атоЕ„ (31.4) Диэлектрические свойства кристалла, таким образом, полностью описываются девятью величинами (а,„,а„,а„„а „...), которые можно записать в виде символа а; . (»1ндексы г и ) заменяют одну из трех букв: х, у или з.) Пройзвольяое электрическое поле Е можно разложить на составляющие Е„, Е и Е,.

Зная лх, можно воспользоваться коэффициентами а; и найти Р„, Р и Р„которые в совокупности дают полную поляризацию Р. Набор девяти коэффициентов а, называется тензором— в данном примере тензором нолярилуелоости*. Точно так же как три величины (Е„, Е, Е,) «образуют вектор Е», и мы говорим, что девять величйн (а„„, а„, ...) <образуют тснзор аы». ф м. Преобрачоватг«ге мозг«гоне««та т»ге««нот»а Вы знаете, что при замене старых осей координат новыми х', у' н з' компоненты вектора Е„, Ео, Е; тоже оказываготся другими. То жо самое происходит и с компонентами Р, так что для разных систем координат коэффициенты а; оказываются различными.

Однако вполне можно выяснить, как должны изменяться а при надлежащем изменении компонент Е и Р, ибо, если мы описываем то же салоне электрическое поле, но в новой системе координат, мы должны получить ту же самую поляризацию Р. Для любой новой системы координат Р„будет линейной комбинацией Р„, Р, и Р;.

Р, = ар +ЬР +ср„ * Обычно лля коэффициентов пропорциональности между Р и Е пользуются термином юоиоор ооюзриижяиоооти, оставляя термин полярно<«люсть для величин, относящихся и однои частице (ср, примечание нз стр. »0). — Прион род. и аналогвчно для других компонент. Если вместо Р„, Р и Р, подставить их выражения через Е согласно (31.4), то получится Р„=а(и„„Е„+и„Е +ив,Е,)+ +с(и„.Е„+... +...). Теперь напишяте, как выражается Е„, Е„и Е, через Екч Е ° и Ееч например, Е„= а'Е,.

+ Ь'Е ° —; — е'Е;, где числа а', Ь' и с' связаны с числами а, Ь и с, но не равны им. Таким образом, у вас получилось выражение Р; через компоненты Е„, Е ° и Ееч т. е, получились новые и, Никаких хит- О ростей здесь нет, хотя все зто достаточно запутано. Когда мы говорили о преобразовании осей, то считали, что положение самого кристалла фиксировано в пространстве. Коли я е вместе с осями поворачивать н кристалл, то и не изменяются. И обратно, если по отношению к осям изменять ориентацию кристалла, то получится новый набор коэффициентов и. Но если они известны для какой-то одной ориентации кристалла, то с помощьк~ только что описанного преобразования их можно найти и для любой другой ориентации. Иначе говоря, диэлектрические свойства кристалла полностью описываются заданием компонент тензора поляризуемости и,, в любой произвольно выбранной системе координат.

Точно так же как вектор скорости ч=-(г„вх, г,) можно связать с частицей, зная, что три его компоненты при замене осей координат будут изменяться некоторым определенным образом, тензор поляризуемости игр девять компонент которого прн изменонви системы осей координат преобразуются вполне определенным образом, можно связать с кристаллом. Связь между Р и Е в уравнении (31.4) можно записать в более компактном виде: (31.5) Р( -— - ~~ и;~ЕР 1 где под значком ! понвмаетгя какая-то нз трех букв х, у нлн з, а суммирование ведется по )'=-х, у и з. Для работы с тскзорами было придумано много специальных обозначений, но каждое из них удобно для ограниченного класса проблем. Одно из таких общих соглашений состоит в том, что можно не писать знака суммы (~ч~) в уравнении (3!.5), понимая при этом, что когда один и тот зке индекс встречается дважды (в нашем случае 1), то нужно просуммировать по всем значениям этого индекса.

Однако, поскольку работать с тензорами нам придется немного, давайте не будем осложнять себе жизнь введением каких-то специальных обозначений или соглашений. 28 ф 3. Эллч»»»со»«д вне1»зч»»л Потренируемся теперь в обращении с тензорами. Рассмотрим такой интересный вопрос: какая энергия требуется для поляризации кристалла (в дополнение к энергии электрического полн, которая, как известно, равна е»Е»/2 на единицу объема)7 Представьте на минуту атомные заряды, которые должны быть перемещены. Работа, требуемая для перемещенпя одного такого заряда на расстояние дх, равна дЕ„дх, а если таких зарядов в единице объема содержится Л' штук, то для перемещения их требуется работа дЕ„Д»дх.