Фейнман - 07. Физика сплошных сред (Р. Фейнман, Р. Лейтон. М. Сэндс - Фейнмановские лекции по физике), страница 10

А вот при низких частотах реакц ~я может быть очень сильной. Константа пропорциональности, кроме того, еще оказывается комплексной, т. е. поляризация не следует точно за всеми изменениями электрического полн, а в какой-то степени может быть сдвинута по фазе. Во всяком случае, электрическое поле вызывает в материале поляризацию, пропорциональную его напряженности. ф М.

Кравкснка Максвелла в диалскжртекв Наличие в веществе поляризации означает, что там воаникают поляризационные заряды и тони, которые необходимо учитывать в полных уравнениях Максвелла при нахождении полей. Сейчас мы собираемся решать уравнения Максвелла для случая, когда ааряды и токи не равны нулю, но неявно определяются вектором поляризации. Нашим первым шагом должно быть явное нахождение плотности зарядов р и плотности тока ), усредненных по тому же самому малому объему, который имелся в виду при определении вектора Р.

Потом необходимые нам значения р и ) могут быть определены из поляризации. В гл. 10 (вып, 5) мы видели, что когда поляризация Р меняется от точки к точке, то возникает плотность зарядов: (32.9) В то время мы имели дело со статическими полями, но эта же формула справедлива и для переменных полей.

Но когда Р изменяется со временем, заряды движутся, так что появляется поляризационный ток. Каждый иа осциллирующих зарядов вносит в ток свой вклад, равный произведению его заряда д, на скорость и. Когда же таких аарядов в единице объема йГ штук, то они создают плотность тока 1: 1 = Лгл1,т. ~ь . ух Ну а поскольку известно, что и= †,, то 1=)уд, †„, что как раз и'Р равно †.

Следовательно, при переменной поляризации возж' нпкает плотность тока и'Р (32.10) Наша задача стала теперь простой и понятной. Мы пишем уравнения Максвелла с плотностями заряда и тока, определяемыми поляризацией Р посредством уравнений (32.9) и (32.10). (Предполагается, что других зарядов и тонов в веществе нет.) Затем мы свяжем Р с Е формулой (32.5) и будем разрешать их относительно Е и В, отыскивая прн этом волновое решение. Но прежде чем приступить к решению, мне бы хотелось сделать одно замечание исторического характера.

Первоначально Максвелл писал свои уравнения в форме, отличающейся от той, в которой они используются нами. И именно потому, что уравнения писались в другой форме в течение многих лет (да и сейчас мпогимн пишутся так), я постараюсь объяснить вам разницу, В те дкн механизм диэлектрической проницаемости не был понятен с ясностью и полнотой. Не была ясна ни природа атомов, ни существование поляризации в веществе.

Поэтому тогда не понимали, что 7.Р дает дополнительный вклад в плотность заряда р. Были известны только заряды, не связанные в атомах (такие, как заряды, текущие по проводу или возникающие при трении). Сегодня же мы предпочитаем обозначать через р полную плотность зарядов, включая в нее и заряды, связанные с индивидуальными атомами. Если назвать эту часть варядов рп,л, то можно написать р = рпол+ Рлр где рлр — плотность зарядов, учтенная Максвеллом и относящаясй к другим зарядам, не связанным с определенными атомами.

При этом мы бы написали р Е Рпол+Рлр по После подстановки рп„из (32.9) получаем 'Р.Е= — Р— — 7 Р, по (32.11) 7 (еоЕ + Р) рлр ) =)лол+ )ло причем уравнение Максвелла приобретает вид с ЧхВ= — + — + — ' о 1ло 1лол е, оо до (32.12) Используя уравнение (32.10), получаем еосоЧ х В =- )лр+ — (зоЕ+ Р). д Теперь вы видите, что если бы мы определили новыйвекторР Р=е,Е+Р, (32 14) то два уравнения поля приняли бы вид Ч Р=рл и длл е соЧхВ=), + —, . о ло ' до (32.15) (32.16) Это и есть та форма уравнений, которую использовал Максвелл для диэлектриков. А вот и остальные два уравнения: Ч х Е =- — —. дн ш Ч.В=О, которые в точности совпадают с нашимн.

Перед Максвеллом и другими учеными того времени вставала проблема магнетиков (за них мы вскоре примемся). Они ничего ие знали о циркулирующих токах, ответственных за атомный магнетизм и поэтому, в плотности тока утеряли еще одну часть. Вместо уравнения (32.16) они на самом деле писали дП ЧхН=)+ —, до ' где Н отличается от е,с'В, так как последнее учитывает аффекты атомных токов.

(При этом)' представляет то, что осталось от токов.) Таким образом, у Максвелла было четыре полевых вектора: Е, Р, В и Н, причем в Р н Н скрывалось то, на что он не обратил внимания, — процессы, происходящие внутри вещества. Уравнения, написанные в таком виде, вы встретите во многих местах. В плотность тока„фигурирующую в уравнениях Максвелла для Ч хВ, вообще говоря, тоже вносится вклад от связанных атомных электронных токов. Поэтому мы можем написать Чтобы решить их, необходимо как-то свяаать Р и Н с другими полями, поэтому зачастую писали В=еЕ и В=РН. (32 18) Однако эти связи верны лишь приближенно для некоторых веществ, и то лишь когда поля пе изменяются слишком быстро со временем. (Для сииусоидальио изменяющихся полей зачастую можно писать уравнения таким способом, считая при этом е и р комплексными функциями частоты, но для произвольных изменений поля со временем это неверно.) На какие только ухищрения не пускаются ученые, чтобы решить уравнения) А мне кажется, что правильнее всего оставить уравнения записанными через фундаментальные величины, как мы понимаем их теперь, т.

е. как раа то, что мы и проделали. Э З..Волоеьо 6 дооэлеостооуооеосе Теперь нам предстоит выяснить, какого сорта электромагнитные волны могут существовать в диэлектрическом веществе, где других зарядов, кроме тех, чтосвязаяыватомах, дР нет. Таким образом, мы возьмем р= — Р.Р и 1= —., Прв дс этом уравнения Максвелла примут такой вид: а) 7 Е= — —, б) сорхВ= — ( — + Е), (32.19) ео дс ~ее в) 7 х Е = — —, г) У В =- О. ди дС Мы можем решить зги уравнения, как делали это прежде. Начнем с применения к уравнению (32.19в) операцииротора: Рм (РЕЕ)= — —,РЕВ. д Используя затем векторное тождество Рх(РЕЕ) =-7(7 Е) — роЕ п подставляя выражение для о хВ из (32.19б), получаем 1 доР 1 доЕ Р (7 Е) — Р'Е = — — — — — — — . еос' доо с'доо Используя уравнение (32Л9а) для 7 Е, находим 1 доЕ 1 1 доР 7'Š— —, д— , — — — — 7 (7 Р) + —, —,, (32.20) ео Таким образом, вместо волнового уравнения мы теперь получили, что даламбертиан Е равен двум члеиам, содержащим по.

ляризацию Р. Однако Р зависит от Е, поэтому уравнение (32.20) все еще допускает волновые решения. Сейчас мы будем ограничиваться изотропнмли диэлектриками, т. е. Р всегда будет иметь то же направление, что и К. Попробуем найти решение для волны, движущейся в направлении оси з. Электрическое поле прн этом будет изменяться как ед ' ~'. Предположим также, что волна поляризована в направлении оси х, т. е.

что электрическое поле имеет толькот-компоненту. Все это записывается следующим образом: Е.=Е«е'<~' '*> (32.21) Вы анаете, что любая функция от (г — ис) представляет волну, бегущую со скоростью ш Показатель экспоненты в выражении (32,21) можно переписать в виде — 1/«( — — „т), так что выражение (32.21) представляет волну, фазовая скорость которой равна Ш Ф'«ь В гл. 31 (вып.

3) показатель преломления и определялся нами из формулы с э ~»аз — а С учетом этой формулы (32.21) приобретает внд Е Есь н — п«Ю о Таким обрааом, показатель п можно определить, если мы найдем ту величину й, которая необходима, чтобы выражение (32.21) удовлетворяло соответствующим уравнениям поля, и аатем воспользуемся соотношением и= —. ьс (32. 22) В изотропном материале поляризация будет иметь только х-компоненту; кроме того, Р не изменяется с иаменением координаты х, поэтому 7 Р=О и мы сразу же избавляемся от первого члена в правой стороне уравнения (32.20). Вдобавок мы считаем наш диэлектрик «линейным», поэтому Р„ будет изменяться как е««з и д»Р„/д«»= — «э«Р„. Лапласиан же в уравнении (32.20) превра«дается просто в д'Е,/дг«= †/««Е„, так что в результате получаем — /«»Е„+ —, Е„= — и Р .

(32.23) Теперь на минуту предположим, что раа Е изменяется синусоидально, то Р можно считать пропорциональной Е, как в уравнении (32.5). (Позднее мы вернемся к этому предположению и обсудим его.) Таким образом, пишем Р„= ееУаЕ„. Прн этом Е„выпадает из уравнения (32.23), и ыы находим Й'.— — —., (1+ Ха), (32.24) Мы получили, что волна вида (32.21) с волновым числом 76 задаваемым уравнением (32.24), будет удовлетворять уравнениям поля. Использование нсе выражения (32.22) для показателя п дает пэ = 1+асс.

(32.25) Сравним эту формулу с тем, что получилось у нас для показателя преломления газа (гл. 31, вып. 3). Там мы нашли уравнение (31.19), которое тогда имело вид п=1+ —— 1лч~ 1 (32.26) 2 мео — а~+ е,' Формула (32.25) после подстановки и из (32.6) дает ;ч г пэ —.— 1 +— м +~~ы ~ еа (32. 27) Что здесь нового? Во-первых, появился новый член 1ую, возникший в результате учета поглощения энергии в осцилляторах. Во-вторых, слева вместо и теперь стоит пэи, кроме того, отсутствует дополнительный множитель '/,. Но эаметьте, что если значение РУ достаточно мало, так что л близок к единице (как это имеет место в газе), то выражение (32.27) говорит,что л' равен единице плюс некое малое число, т.