Фейнман - 07. Физика сплошных сред (Р. Фейнман, Р. Лейтон. М. Сэндс - Фейнмановские лекции по физике), страница 6

Но дд'Их равно изменению днпольного момента единицы объема дР„. Так что работа, затраченнан на единицу обьемп, равна 'од~ ю Складывая теперь работы всех трех компонент, найдем, какой должна быть работа в единице объема: Е ИР. Но поскольку величина Р пропорциональна К, то работа, затраченная на поляризацию единицы объема от 0 до Р, равна интегралу от К.дР. Обозначая ее через ир, можно написать * 2 ' 22м 1 (31.6) Теперь можно воспользоваться уравнением (31.5) н выразить Р через Е. В результате получим ир-— — — ~~»' ~~» а; Е~Е .

4 (31.7) » Плотность энергии ир — величина, не зависящая от выбора осей, т. е. скаляр. Таким образом, тензор обладает тем свойством, что, будучи просуммнрован по одному индексу (с вектором), он дает новый вектор, а будучи просуммирован по обоим индексам (с дву»л»л векторами), дает скаляр. Тепзор аы на самом деле нужно называть «тензором второго ранга», ибо у него дза индекса.

В этом смысле вектор, у которого всего один индекс, можно назвать «тензором первого ранга», а скаляр, у которого вообще нет индексов,— «тензором нулевого ранга». 1!так, выходит, что электрическое поле К будет тек»ором первого ранга, а плотность энергии ир — тензором нулевого ранга. Зту идею можно распространить на тензоры с тремя и более индексами и определить тензоры, ранг которых выше двух. » Эту работу, затраченную па создание поллрпэацик электрическим полем, и» нужно путать с потенциальной энергией — р» И постоянного Лппольпего мок»эта р» э поле Е. 29 Индексы нашего тензора поляризуемости могут принимать три различных значения, т.

е. это трехмерный тензор. Математики рассматривают также тензоры размерности четыре, пять и больше. Кстати, четырехмерный тензор нам уже встречался при релятивистском описании электромагнитного поля (см. гл. 26, вып. 6) — это Р „.

Тензор поляризуемости а;т обладает одним интересным свойством: он симметричен, т. е. а„=а,„н т. и. для любой пары индексов. (Это свойство отражает фйзические качества реального кристалла, и вовсе не обязательно у любого тензора.) Вы мо;кете самостоятельно доказать это, подсчитав изменения эноргни кристалла по следующей схеме: 1) включите электрическое поле в направлении оси х; 2) включите поле в направлении осп у; 3) выключите х-поле; 4) выключите у-поле. Теперь кристалл вернулся к прежнему положению и полная работа, затраченная на поляризацию, должна быть нулем. Но для этого, как вы можете убедиться, а„должно быть равно а,.

Однако те я'е рассуждения моятпо провести и для а„, и т. д. Таким образом, тензор поляризуемости симметричен. Это означает также, что тензор поляризуемости можно найти простым измерением энергии, необходимой для поляризации кристалла в различных направлениях. Предположим, мы сначала взяли электрическое поле Е с компонентами х и у; тогда, согласно уравнению (31.7), и = — ~а Ег+(а +а )Е Е +а~ Ег~ (3(6) Если бы у нас была только одна компонента Е,, мы моглп бы определить а„„, а с одной компонентой Е можно определить а . Включив обе компоненты УУ Е, и Е, мы нз-за присутствия члена (а +а,) получим добавочную энергию, ну а пос- Ф а г.

81.2 Ког ец любого вектора Р=-(Ет Е,), лежащего на этой крагой, дает одну и ту же энергию яо.еярагацаа. 30 кольку сс„р и сс „равны, то этот член превращается в 2 сс„г и может быть вычислен нз добавочной энергии. Выражение для энергии (31.8) имеет очень красивую геометрическую интерпретацию. Предположим, что нас интересует, какие поля Е„и Ь' отвечают дики«ой плотности энергии, скажем и,. Возникает чисто математическая задача решения уравнения Это уравнение второй степени, так что, если мы отложим по осям величины Ь', и Е, решением этого уравнения будут все точки эллипса (фг«г.

31.2). (Это должен быть именно эллипс, а не парабола и не гипербола — ведь энергия поля всегда положительна и конечна.) Л само Е с компонентами Е„и Ь' представляет вектор, идущий из начала координат до точки йа эллипсе. Такой «энергетический эллипс» — хороший способ «увидеть» тензор поляризуемости. Если теперь пустить в дело все трп компоненты, то любой вектор Е, необходимый для создания единичной плотности энергии, задается точками, расположенными на эллнпсонде, подобно нзобраясенному на фяг.

31.3. Форма этого эллипсоида постоянной энергии однозначно характеризует тензор полярпзуемостк. Заметьте теперь, что эллипсоид имеет очень интересное свойство — его всегда можно описать простым заданием направления трех «главных осей» н диаметров эллипсонда по этим осям. Такими «главными осями» являются направления наименьшего и наибольшего диаметра и направление, перпендикулярное к ним.

На фнг. 31.3 они обозначены буквами а, Ь и с. По отношению к этим осям уравнение эллнпсоида имеет особенно простую форму: Итак, по отношению к главным осям у тензора поляризуемости останутся только три ненулевые компоненты а„, а и сх„. Другими словами, сколь бы ни был сложен кристалл, всегда можно выбрать оси так (оки не обязательно будут осями сэ и е. д1.8. Эллипсоид «персии для теиеора поляригре.«ости.

3« самого кристалла), что у тензора поляризуемости останется только три компоненты. Уравнение (31.4) для таких осей ста- новится особенно простым: РФ = аааЕО Рь = аьькь Рь = а.«Е„,. (31.9) Иначе говоря, электрическое поле, направленное по любой одной из главных осей, дает поляризацию, направленную по той же оси, ко, разумеется, для различных осей коэффициенты будут разными.

Тензор часто записывается в виде таблицы нз девяти коэффициентов, взятых в скобки; | алу ал* Рьл ««гу аег (31.10) Для главных же осей а, Ь и е в таблице остаются только диаго- нальные члены, поэтому мы говорим, что тензор становится «днагональнымь, т. е. «'а„О 0 аьь 0 ',,0 0 ае/ (31 11) (31.12) а =аьь=а; =а 'аа сс то эллипсоид энергии превращается в сферу, поляризуемость во всех направлениях становится одннаковоп, а материат изотропным.

В тензорных обозначениях а;у = абсэ (3! .13) где б«у — единичный теньер« о о, 3,,=~0 1 0~, о о (31,14) что, разумеется, означает 3,,=1, б;,=О, если ь' .= у, если ь =,е: «. (31.15) Самое важное здесь то, что к такой форме подходящим выбором осей координат можно привести любой тензор поляризуемости (фактически любой силшетричный тенаор второго ранга какого угодно числа измерений). Если все три элемента тензора поляризуемости в диагональной форме равны друг другу, т. е.

если Теизор б; часто называют ташке «символом Кронекераю Для забавы вй можете доказать, что тензор (31.14) после замены одной прямоугольной системы координат на другую будет иметь в точности ту же самую форму. Тензор поляризуемости типа (31.13) дает Р;=а~ч~~ Ь; Е =аЕ;, ! т. е. получается наш старый результатдля изотропногодпзлек- трпка: Р=аГ. 6>орму п ориентацию эллипсоида поляризуемости иногда можно связать со свойствами симметрии кристалла. В гл. 30 мы уже говорили, что трехмерная решетка имеет 230 различных возможных внутренних симметрий и что для многих целей их удобно разбить на 7 классов в соответствии с формой элементарной ячейки.

Эллипсоид поляризуемости должен отражать геометрию внутренней симметрии кристалла. Например, триклниный кристалл имеет самую низкую симметрию; у него все три оси эллипсоида разные и направления их, вообще говоря, пе совпадают с направлением осей кристалла. Более симметричный моноклинпый кристалл обладает той особенностью, что его свойства не меняются при повороте кристалла на 180' относительно одной оси, поэтому тена ор поляризуемости при таком повороте доля«ен остаться тем же самым, Отсюда следует, что эллипсоид поляризуемости при повороте на 180'должен переходить сам в себя.

Но такое может случиться только, когда одна из осей эллипсоида совпадет с направлением оси симметрии кристалла. В других же отношениях ориентация и размеры эллппсоида могут быть каккмн угодно. Оси эллипсоида ромбического кристалла должны совпадать с кристаллическими осями, так как вращение такого кристалла на 180' вокруг любой оси повторяет ту же кристаллическую решетку. Если же взять тетрагональный кристалл, то эллипсоид тоже должен повторять его симметрн>о, т. е. два из его диаметров должны быть равны между собой. Наконец, для кубического кристалла равными должны быть все три диаметра эллипсоида — он превращается в сферу и поляризуемость кристалла одинакова во всех направлениях.

Существует очень серьезная игра, состоящая в выяснении всех возможных свойств тензоров для всех возможных симметрий кристалла. Она мудрено называется «теоретико-групповым анализ<де>. Однако для простых случаев тензора поляриауемости увидеть, какова должна быть эта связь, относительно легко. 2 >з з«з й) А Друггге тггеннорыр тпеггзор ггнерцггтг В физике есть еще немало других примеров тензоров. В металле, например, или каком-либо другом проводнике зачастую оказывается, что плотность тока ) приблизительно пропорциональна электрическому полю Е, причем константа пропорциональности называется проводимостью о: )=оЕ. Однако для кристалла соотношение между ) и Е более сложно, проводимость в различных направлениях не одинакова.

Она становится тензором, поэтому мы пишем )с=~оггЕг. Другим примером физического тенаора является момент инерции. В гл. г8 (вып. 2) мы видели, что момент количества движения Ь твердого тела, вращающегося относительно фиксированной оси, пропорционален угловой скорости ог, и коэффициент пропорциональности 1 мы назвали моментом инерции: Момент инерции тела произвольной формы зависит от его ориентации относительно оси вращения. Моменты инерции прямоугольного бруска, например, отыосительно кагкдой из трех ортогональных осей будут разными.

Но угловая скорость ег н момент количества двигкения Š— оба векторы. Для вращения относительно одной из осей симметрии они параллельны. Но если моменты инерции относительно каждой из трех главных осей различны, то направления ю п Е, вообще говоря, не совпадают (фиг, Зг.4). Онп связаны точно таким же образом, как Е и Р, т.

е. мы должны писать: 1,„=1„„сохл-1 со -т 1 гсвг, 11рсо1усоу+1гсов(31(6) Ф и г. И.а. дромент холихества движения Г твердого предмета, вообще говоря, не парол елен вектору угловой скорости ог. Девять коэффициентов 1; называют тензором инерции. По аналогии с поляризацией кйнетическая энергия для любого момента количества движения должна быть некоторой квадратичной формой компонент в„, в и а,: к. э. = ~ ~~~ 1<Ха,ау. (31.17) и Мы можем снова воспользоваться этим выраязением для определения эллипсоида инерции.

Кроме того, снова можно воспользоваться энергетическими соображениями и показать, что этот тензор симметричен, т. е. Хсу — — Хгв Тензор инерции твердого тела можно написать, если известна форма тела. Нам нужно только выписать полную кинетическую энергию всех частиц тела. Частица с массой т и скоростью т обладает кинетической энергией '/гтзг, а полная кинетическая энергия равна просто сумме 2 ° 1 по всем частицам тела. Но скорость т каждой частицы связана с угловой скоростью а твердого тела. Предположим, что тело вращается относительно центра масс, который мы будем считать покоящимся.