Фейнман - 07. Физика сплошных сред (Р. Фейнман, Р. Лейтон. М. Сэндс - Фейнмановские лекции по физике), страница 3

Итак, мы видим, что существуют решетки, обладающие «четырехсторонией» симметрией. А раныпе мы описали плотную упаковку, основанную на шестиугольнике и обладающую шестисторонней симметрией. Вращение набора крук«коз на фиг. 30.5, и на угол 60' вокруг центра любого шарика переводит рисунок сам в себя. Какие виды вращательной симметрии существуют еще? Может ли быть, например, вращательная симметрия пятого или восьмого порядка? Легко понять, что они невозможны. Единственная симметрия„связанная с фигурой, имеющей более четырех сторон, есть симметрия шестого порядка. 11режде всего покажем, что симметрия более чем шестого порядка невозможна.

Попытаемся вообразить решетку с двумя равными основными векторами, образующими угол менее 60 (фиг. 30.8, а). Мы должны предположить, что точки В и С эквивалентны А и что а и Ь вЂ” наиболее короткие векторы, проведенные из А до эквивалентных соседей. Но это, беэусловно, неверно, потому что расстояние между В н С короче, чем от любого нз них до А. Должна существовать соседняя точка Л, эквивалентная А, которая ближе к А, чем к В или С. Мы должны были бы выбрать Ь' в качестве одного из основных векторов.

Поэтому угол между основными векторами должен быть равен 60' или еще больше. Октагональная снмметркя невозмо»кна. А как быть с. пятикратной симметрией? Если мы предположим, что основные векторы а и Ь имеют одинаковую длину и образуют угол 2я/5 =72'(фиг. 30.8, б), то должна существовать эквивалентная точка решетки в Л под 72' к линии АС.

Но вектор Ь' от Е к Л тогда короче Ь, и Ь уже не основной вектор. Пятккратной симметрии быть не может. Единственные возможности, не приводящие к подобным трудностям, это 0=60, 90 или 120'. Очевидно, допустимы также нуль и 180'. Ыоя«но еще так выразить полученный нами результв и рисунок может не меняться при повороте на полный оборот (ничего не изменяется), полоборота, одну треть, одну четверть нли одну шестую оборота. И этим исчерпываются все возможные вращательные симметрии на плоскости — всего их пять.

Если 0=2л/и, то мы говорим об «и-кратной» симметрии, или симметрии и-го порядка. Мы говорим, что узор, для которого и равно 4 или 6, обладает более «высокой симметрией», чем узор с и, равным 1 или 2. Вернемся к фиг. 30.7, а. Мы видим, что узор там обладает четырехкратной вращательной симметрией. На фиг. 30.7, б мы нарисовали другое расположение, которое обладает теми же свойствами симметрии, что и фиг. 30.7, а. Маленькие фигурки, похожие на запятые,— это асимметричные объекты, которые служат для определения симметрии изображения внутри каждого квадратика. Заметьте, что запятые в соседних квадратиках перевернуты попеременно, так что элементарная ячейка больше одного квадратика.

Если бы запятых не было, рисунок по-прежнему обладал бы четырехкратной симметрией, но элементарная ячейка была бы меньше. Посмотрим внимательно на фнг. 30.7; мы обнаружим, что онн обладают еще и другими типами симметрии. Так, отражеяие относительно каждой пунктирной линии  — В' воспроизводит рисунок без изменений.

Но это еще не все. У них есть еще один тип симметрии. Если 15 отразить рисунок относительно линии у — у, а затем сдвинуть на один квадратик вправо (или влево), то снова получится первоначальный рисунок. Линия у — у называется линией скольресепия. Этим исчерпываются все типы симметрии в пространстве двух измерений. Есть еще одна пространственная операция симметрии, которая на плоскости эквивалентна вращению на 180', однако в трехмерном пространстве она пе сводится к этому вращению, а есть совсем другая операция. Я говорю об инверсии.

Под инверсией мы подразумеваем такую операцию, когда любая точка, отвечающая вектору смещения из начала координат К (например, точка А на фиг. 30.9, б), переносится в точку — В. Инверснн рисунка а на фиг. 30.9 дает новый рисунок, а инверсия рисунка б приводит к такому же рисунку. На двумерном узоре (вы мо»кете это видеть) инверсия рисунка б в точке А эквивалентна повороту на 180' вокруг той же самой точки. Предположим, однако, что мы сделали узор на фиг. 30.9, б трехмерным, вообразив на маленьких шестерках и девятках «стрелочкн», смбтряшие из страницы кверху.

В результате инверсии в трехмерном пространстве все стрелочки перевернутся и направятся вниз, так что узор не воспроизведется. Если мы Ф и г. 90.9. Окерация симмееярии, навиваемая а — рисвнок менееккя; б — ри~нок не меняекхя нри в — е трех иелнренклх рисрнок не сиееехмриеен косле е — рксгнок еиммеекрикен в трех иемерениях. 16 инверсией. креобрахеании  — Н; окерации инверсии; обозначим острия и хвосты стрелок точками и крестиками, то сможем образовать трехмерный рисунок (фиг.

30.9, в), который неси.чметричен относительно инверсии, или же мы можем получить рисунок, который такой симметрией обладает (фиг. 30.9, г). Заметьте, что трехмерную инверсию нельзя получить никакой комбинацией вращений. Если мы будем характеризовать «симметрню» рисунка (нли решетки) разного рода операциями симметрии, которые мы только что опксали, то окажегся, что в двумерном случае существуют 17 различных форм узоров.

Узор с наинизшей возможной симметрией мы изобразили на фиг. 30.1, а узор с одной из наивысших симметрий — на фиг. 30.7. Отыщите сами зсе 17 возможных форм рисунков. Удивительно, как мало типов пз этих 17 используется при изготовлении обоев и тканей! Всегда видишь одни и те же трн или четыре основных типа. В чем здесь дело? Неу»кели так убога фантазия художников нли, может быть, многие из возможных типов рисунков не будут радовать глаз? ф 6.

Симкет»»1»ии в тп?»ех т«вл»е1»еиияас До сих пор мы говорили тольно об узорах в двух измерениях. На самом же деле нас интересуют способы размещения атомов в трех измерекиях. Прежде всего очевидно, что трехмерный кристалл имеет три основных вектора. Если же мы поинтересуемся возможными операциями симметрии в трех измерениях, то обнаружим, что существует 230 возможных типов симметрии! По некоторым соображениям, эти 230 типов можно разделить на семь классов, представленных на фиг. 30.10. Решетка с наименьшей симметрией называется триклинной.

Ее элементариая ячейка представляет собой параллелепипед. Основные векторы все имеют разную длину и нет ни одной одинаковой пары углов между ними. И никакой вращательной илн зеркальной симметрии здесь нет. Однако есть еще одна операция: при инверсии в узле элементарная ячейка может меняться, а может и не меняться. П1од инверсией в трех измерениях мы снова подразумеваем, что пространственное смещение К заменяется на — Й, или, другими словами, точка с координатами (х, у, з) переходит в точку с координатами ( — х, — у, — з). Поэтому симметрия триклинной решетки может быть только двух типов — с центром инверсии и без него.) Пока мы считали, что все векторы разные и расположены под произвольными углами.

Если же все векторы одинаковы и углы между ними равны, то получается тризональнал решетка, изображенная на рисунке. Ячейка такой решетки может иметь добавочную симметрию; она может еще и не меняться при вращении вокруг наибольшей телесной диагонали. / '7 — — 1- — — 7 с / / / Ф и г. 00.10. Семь классов ,кристаллической решетки. а Троклонная / — / а / / Если один из оси а овкых векторов, скажем с, направлен под прямым углом к двум остальным, то мы получаем льанаклинную злемеитарыую ячейку. Здесь возможна новая симметрия— вращение ка 180' вокруг с. Гекеаганальная решетка — зто частный случай, когда векторы а и Ь равны и угол между ними составляет 60', так что вращекие иа 60, 120 или 180' вокруг вектора с приводит к той же самой решетке (для определенных внутренних типов симметрии).

Если все три осяовкых вектора перпеидикуляриы друг другу, ио ие равны по длине, получается ралсбическал ячейка. Фигура симметрична относительно вращений ка 180' вокруг трех осей. Типы симметрии более высокого порядка возникают у тетрагаиальнай ячейки, все углы которой прямые и два основных вектора равны. Накокец, имеется еще кубическая ячейка, самая симметричиая из всех. Основной смысл всего этого разговора о типах симметрии состоит в том, что внутренняя симметрия кристалла проявляется (ииогда весьма топким образом) в макроскопических физических свойствах кристалла.

В гл. 31 мы увидим, например, что электрическая поляризуемость кристалла, вообще говоря, представляет собой текзор. Если описывать текзор в терминах зллипсоида поляризуемости, то мы должны доказать, что некоторые типы симметрии кристалла проявятся в етом эллипсоиде. Так, кубический кристалл симметричен Троганальная .- 'Г ! т 1 с Ь а Манаклонная Г 1 ! т 1 1 ! ! ! ! а 1 — — л 00' а Гексаганальная . ~ — — — ††,.ч 1 1 1 ,,а Ромбочвсная ' "л ! ! 1 а а -+ — 4 л а Телраганальная /Г "лч л -'--1 — (' 1 1 1 а а Мубочеакая 18 по отношению к вращению на 90' вокруг любого из трех взаимно перпендикулярных направлений.

Единственный эллипсоид с таким свойством,— очевидно, сфера. Кубический кристалл должен быть и»странным дизлектрикоз«. С другой стороны, тетрагональный кристалл обладает вращательной симметрией четвертого порядка. Две главные оси его эллипсоида должны быть равны, а третья должна быть параллельна оси кристалла. Аналогично, поскольку ромбическкй кристалл обладает вращательной симметрией второго порядка относительно трех перпендикулярных осей, его оси должны совпадать с осями эллипсоида поляризуемости.