Фейнман - 07. Физика сплошных сред (Р. Фейнман, Р. Лейтон. М. Сэндс - Фейнмановские лекции по физике), страница 9

Я„«должна быть плотностью х-компоненты импульса. Таким обрааом, мы можем расширить наш тепзор по горизонтали, включив в него 1-компоненты, и в нашем распоряжении оказываются: о㻠— плотность г-компоненты импульса, ог — поток г-компоненты импульса в направлении оси х, ог — поток у-компоненты импульса в направлении оси ю у — поток г-компоненты импульсе в направлении оси г. Лналогичная вещь происходит и с р-компонентойг; у нас есть три компоненты потока: Яу Яуу иЯУ к которым нужно добавить четвертый член: о» вЂ” плотность Юкомпононты в»шульге, У а к трем компонентам Ю,„, Яг и о„ггы добавляем ем — плотность г-компоненты игшульса. В четырехмерном пространстве у импульса существует также и г-колгнонента, которой, как лгы знаем, является энергия.

Так что тензор Я;у следует продолжить по вертикали с включением в него Я«„, Яг н Я„, причем Хы — поток энергии в папрэеленин осн х, ог — поток энергии в направлении оси у, У (3Е28) о» вЂ” поток энергии в направлении оси г, т. е. Яㄠ— это поток энергии в единицу времени через поверхность единичной площади, перпендикулярную оси х, и т, д. Наконец, чтобы пополнить наш тензор, нужна еще величина Югг, которая должна быть плотностью энергии. Итак, мы расширили наш трехмерный тензор напряжений до четырехмерного теызора енергииигвпульса Я,„. Индекс р может принимать четыре значения: г, х, у и г, которые означают «плотность», «поток через единичную площадь в направлении оси х», «поток через единичную площадь в направлении оси у» и «поток через единичную площадь в направлении оси ю. Значок т тоже принимает четыре значения: Г, х, у, з, которые говорят нам, что же именно течет: «энергия», «х-компонента импульса», «у-компонента импульса» нли же «з-компонента импульсам В качестве примера рассмотрим этот тепзор не в веществе, а в пустом пространстве с электромагнитным полем.

Вы анаете, что поток энергии электромагнитного ноля описывается вектором Пойнтинга Я=еесгЕ хВ. Так что х-, у- и г-компоненты вектора Я с релятивистской точки зрения являются компонентами Я„, Яг и Я„нашего тензора энергии-импульса. Симметрия тен- вора ЯМ переносится и на временные компоненты, так что четырехмерйый тензор Я „тоже симметричен: 'упе — ~еп . (31.29) Другими словами, компоненты Я„,, о' „Я„, которые представляют плотности х-, у- н г-компонент илтульса, равны также х-, р- и г-компонентам вектора Пойнтинга Я, нли, как мы видели раныпе из других соображений, вектора потока энергии.

Оставшиеся компоненты тенэора электромагнитного напряжения Я,„тогг~е можно выразить через электрическое и магнитное поля Е н В. Иначе говоря, для электромагнитного поля в пустом пространстве мы должны допустить существование тензора напряжений, или, выражаясь менее таинственно, потока импульса электромагнитного поля. Мы уже обсуждали это в гл. 27 (вып.

6) в связи с уравнением (27.21), но тогда мы но входкли в детали. Тем из вас, кто хочет испытать свою удаль на четырехмерных тснзорах, мо кет попрапитьсп выражение длп тенэора Ю~, череп поля: ее г ь~ 1 ~пе 2 [ .ь э~па~ 4 бп Е ~ба~э' ) а аа где суммирование по к н 'р проводится по всем их значениям (т. е. 1, х, у и х), по, как обычно в теории относияельности, для сулему ~~~', и символа б принимается специальное соглашение. В суммах слагаемые со значками х, у, х должны вь~читаться, а б„=- п-1, тогда как 6,„=6 = б„=- — 1 и бп,=-О для всех [㠄— ау (с.=1). Сможете ли вы доказать, что эта формула приводит к плотности энергии Я„=-(е )2)(Ех+Ве) к вектору Пойктинга епЕ )сВ)е Можете ли вы показать, что в электростатическом поле, когда В=-О, главная ось напряжения направлена по электркческому волго и вдоль направлсння поля возникает натяжение (ее)2)Ех и равное ему давление в направлении, перпендикулярном направленшо поля? * Есле пе полагать с=-1, как это делается едеегп те плотность епергпп я прпнятых я юпгге еляпкцях будет раппа [се)2)[Ь' —,' ген') плп п ед.шпцзх СП Че[ео)ге+[!'ре)Пе[, — Прах[.

ред. Глаза 3~3 ПОКА ЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМ Л ЕНИЯ ПЛОТНОГО ВЕЩЕСТВА ф 1. 77оляХгггзаНггя вегггествп. Эдесь я хочу обсудить явления преломления света, ну и, разумеется, его поглощение плотным веществом. Теорию показателя преломления мы уже рассматривали в гл. 31 (вып. 3), но тогда наши знания математики были весьма ограничены и мы остановились только на показателе преломления веществ с малой плотностью наподобие газов.

Но физические принципы, приводящие к возникновению показателя преломления, мы там все же выяснили. Электрическое поле световой волны поляризует молекулы газа, создавая тем самым осциллирующие дипольные моменты, а ускорение осциллирующих зарядов приводит к излучению новых волн поля. Это новое поле, интерферируя со старым, изменяет его. Изменение поля эквивалентно тому, что происходит сдвиг фазы первоначальной волны. Из-за того что сдвиг фазы пропорционален толщине материала, эффект в целом оказывается эквивалентным изменению фазовой скорости света в материале. Прежде, когда рассматривалось это явление, мы пренебрегали усложнениями, возникагощими от таких аффектов, как действие новой измененной волны на поле осциллиругощего диполя. Ыы предполагали, что силы, действующие на заряды атомов, определяются только падаюигей волной, тогда как на самом деле ка осциллятор действует не только падающая волна, но и волны, излученные другими атомами.

Б то время нам еще было трудно учесть этот эффект, поэтому мы изучали только разреженные газы, где его можно считать несущественным. Ну а теперь мы увидим, что эта задача с помощью дифференциальных уравнений ре- 1 ЬПоляризацня вещества г авггекггя 3'гсвет гз в дпэлсктрв;о з 3.Волны с дгккгсктр.гкс к эказагс.п. гг о. Показате.гь н й б.г'олггы в метал:гах ~~ у,!'.пзкочастотггоэ и высокочастот" глубгша скип-слоя и ллззмсппан частота ХХоагнормгмьг вс что в табл. 32.Ь шается совсем просто.

Конечно, дифференциальные уравнения затуманивают физическую причину возникновения преломления (как результата интерференции вновь излученных волн с первоначальными), но зато они упрощают теорию плотного материала. В этой главе сойдется вместе многое из того, что мы делали уже раньше. Практически мы уже получили все, что нам потребуется, так что по-настоящему новых идей в этой главе будет сравнительно немного. Поскольку вам может понадобиться освежить в памяти то, с чем мы здесь столкнемся, то в табл. 32.1 приводится список уравнений, которые я собираюсь использовать вместе со ссылкой на те места, где их можно най ги.

Во многих случаях из-за нехватки времени я не смогу снова останавливаться на физических аргументах, а сразу же буду браться за уравнения. Гоблизо 32.1 ° что врдвт использовдно в этой ггчхвк В каком ллсстс нурса ото нскнтлл ррнонсннн яннснна т (х+ ух+ ю~х) = Р ,у г о=1+в 2 ь (олг ыг) ' н = и' — Ы" Гл. 23 (зын. 2) Гя 31 (нып. 3) Вынужденные ко- лебання Покзззтень пре- ломления газа тх+рх=-р' д'Чгт р=.; о =. т нл Подннжяость Гл. 41 (нын. 4) Гя.

43 (нык. 4) Зтгоктронронодаость Полярнзуомость Раог т Р Елок=К+ —,, Р 1 бта Гл. 10 (нын. 5) Гл. И (вын. 5) Поле з днзнзкт- рике Начну с напоминания о механизме преломления в газе. Мы предполагаем, что в единице объема газа находится Л' частиц к каждая пз нпх ведет себя как гармонический осциллятор. Мы пользуемся моделью атома илн молекулы, к которой электрон привязан силой, пропорциональной его перемещенупо (как будто он удерживается пружинкой). Отметим, что такая модель атома с классической точки зрения незаконна, однако позднее будет показано, что правильная квантовомеханическая теория дает (в простешпих случаях) эквивалентный результат.

В папах прежних рассмотрениях мы не учитывали «тормозящей» силы в атомном осцилляторе, а сейчас это будет сделано. Такая сила соответствует сопротивлению при движении, т. е. она пропорциональна скорости электрона. Уравнением движения при этом будет Р = д,Е = т (х+ ух+ ю»х), (32.1) где х — перемещение, параллельное направлению поля Е. (Осциллятор предполагается изотропным, т.

е. восстанавливающая сила одинакова во всех направлениях. Кроме того, на время мы ограничимся линейно поляризованной волной, так что поле Е не меняет своего направления.) Если действующее на атом электрическое поле изменяется со временем синусоидальпо, то мы пишель Е=Е е»о» (32.2) С той же самой частотой будет осциллировать и перемещение, поэтому можно считать х=х е'"'. » Подставляя х= рых и х= — юзх, можно выразить х через Е: (32.3) — ю»+ ~ум + ю' » А зная перемещение, можно вычислить ускорение х и найти ответственную за преломление излученную волну.

Именно таким способом в гл. 31 (вып. 3) мы подсчитывали показатель преломления. Теперь же мы пойдем другим путем. Индуцированный дппольный момент атома р равен д„х,или з силу уравнения (32.3) ев ~ (32 А) ю» Так как р пропорционально Е, то мы лишен р = ее" (ю) Е, (32.3) где и — атомная поля ризуемость е: (32.3) — ю'+(ую+ ю' » Подобный ясе ответ для движения электронов в атоме дает и квантовая механика, но с учетоы следующих особенностей. У атомов есть несколько собственных частот, каждая из которых имеет свою диссипативную постоянную у.

Кроме того, каждая гармоника имеет еще свою аффективную «силу», ч Всюду в втой главе мы будем пользоватьси обозначениями, принятыми в гл. 3( (вмп. 3); пусть и — отсылая поляризуемость, как зто определена здесь. В предыдутцей главе мы пользовались буквой и для обоавачения объемной поляризуемости, т. е. отношения Р к Е. Но в обоаиаченияа воюй главы Р=Мае»Е (см. выражение (32.8)]. выражаемую в виде произведения поляризуемости при данной частоте на постоянную свяаи /, которая, как ожидается, по порядку величины равна единице. Обоаначая каждый из трех параметров ю„ у и У для каждой иа гармоник череа ю ю у и /» н суммируя по всем гармоникам, мы вместо (32.6) получаем а (ю) = — ' ~~', ', .

(32,7) е~~ е — м'+1уе ~+вез Коли число атомов в единице объема вещества равно Л', то поляризация Р будет просто Нр=ееХиЕ, т. е. пропорциональна Е: Р =- еейга (ес) К. (32.8) Другимн словами, когда на материал действует синусоидальное электрическое поле, оно индуцирует пропорциональный себе днполькый момент, причем константа пропорциональности и, как мы уже отмечали, зависит от частоты. При очень больших частотах а мала: реакция материала слабая.