VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 12

Условия непрерывности касательных компонент Е и нормальной компоненты О эквивалентны условиям у! = чгг, А! = Аг. Для поля заряженной нити имеем в полярных координатах т, д: 2е !г = — — !п т+ сопя!, А = 2еВ+ сопя! Е (ср. (3.18)). Поэтому граничные условия гласят: 2 2ел — ( — е1пт — е 1п т + е 1п а) = — — 1пт+ сопя!, я! яг 2[еб ф е'6' — е'(д -1- д')) = 2е" 0 (обозначение углов дано на рнс. 12; использовано подобие треугольников ОО'В н ВО'А). Отсюда яг(е+ е') = яге", е — е' = е", и для е', ел снова получаются выражения (1) нз задачи 1. ') Аналогичная задача о точечном заряде вблизи диэлектрической сферы не решается в конечном виде.

3 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том Ч!П 66 Гл. и ЗЛВКТРООТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ Сила, действующая на единицу длины заряженной нити, параллельна ОО и равна 2ее' ( 1 1 1 2ег(е1 — ег)а Р = еŠ—— '» ОА ОО' / ег(ег + ег)6(Ьг — аг) (Г > 0 соответствует отталкиванию). В пределе а, Ь г со, Ь вЂ” а ч 6 это выражение переходит в результат задачи 1. 4. То же, если нить проходит внутри цилиндра с диэлектрической проницаемостью ег (6 ( а). Р е ш с н и е.

Пояс в среде и ищем как поле реальной нити е (точка О на рис. 13) и фиктивной нити е', проходящей через точку А, расположенную теперь вне цилиндра. Поле же в среде 1 ищем как поле нитей с зарядами е" и е — е", проходящих соответственно через О и О'. Тем же способом, как и в предыдущей задаче, получим ег — ег и 2ег е = — е е =е ег+ег ег+ег г нить отталкивается (при ег > ег) О О' от цилиндра с силой е 1 ег г 2ее' 1 2е (ег — ег)Ь ег ОА ег(ег + ег)(а — Ьг) 5. Показать, что потенциал поля Рис. 13 рл(гв), создаваемый в точке гв про- извольной неоднородной диэлектрической среды точечным зарядом е,находящимся в точке гл, равен потенциалу 1рв(гл), создаваемому в точке гл тем же зарядом, находящимся в точке гв. Р е ш е н и е.

Потенциалы рл(г) и 1рв(г) удовлетворяют уравнениям ойч (е171рл) = — 4пед(г — гл), 61» (Л7рв) = — 4пед(г — гв). Умножив первое из них на рв, а второе на дл и вычтя почленно одно из другого, найдем 61» (1рве171рл) — сй» (1рле»71рв ) = — 4хеб(г — г 1)1рв (г) + 4хе6(г — гв )1рд (г) Интегрирование этого равенства по всему пространству дает искомое соотноп1ение: 1рл(гв) = рв(гл). 3 8.

Дизлектрический зллипсоид Поляризация диэлектрического зллипсоида, помещенного во внешнее однородное электрическое поле, обладает некоторыми своеобразными особенностями, придающими этому примеру особый интерес. Рассмотрим предварительно простой частный случай диэлектрический шар во внешнем поле 1с. Обозначим его диэлектрическую проницаемость через е('), а диэлектрическую проницаемость внешней среды, в которую он погружен, — через е('). Выберем начало сферической системы координат в центре шара 67 дизлкктгичвсквйзллнпсонд (полярный угол 0 отсчитывается от направления С) и будем ис- кать потенциал поля вне шара в виде ВЙ,г(1 ') (Л радиус шара), а условие непрерывности нормальной составляющей индукции -— В1е) 1е1~ (1 + ел) Исключая из зтих двух равенств А, получим 1 (АЙ + 2 1е1ЕЙ) (е1~ 18.1) з или, подставив ОЙ = ейЕ1'1, 18.2) 2еве -~- епо Аналогичным способом решается задача о дизлектрическом бесконечном цилиндре во внешнем поле, перпендикулярном к его оси (ср.

задачу 2 2 3). Поле внутри цилиндра, как и внутри шара в предыдущем примере, оказывается однородным. Оно удовлетворяет соотношению (ВЙ + СИЕЙ) е1е1~ 18.3) 2 или ЕЙ = е(~+е~ ) 18 А) у1'1 = — Сг+ АС вЂ”; ге первый член есть потенциал приложенного внешнего поля, а второй член, обращающийся на бесконечности в нуль, дает искомое изменение потенциала, вызываемое шаром (ср. решение задачи 1 6 3). Потенциал же поля внутри шара ищем в виде уй = — ВСг; зто есть единственная функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, остающаяся конечной в центре шара и зависящая только от постоянного вектора С . единственного параметра, входящего в данную задачу. Постоянные А и В определяются граничными условиями на поверхности шара.

Но уже сразу отметим, что поле внутри шара ЕЙ = ВС оказывается однородным, отличающимся от приложенного поля к. лишь своей абсолютной величиной. Граничное условие непрерывности потенциала дает б8 ЭЛВКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ Гл. и Соотношения (8.1) и (8.3), в которые диэлектрическая проницаемость е~') шара или цилиндра не входит в явном виде, особенно важны потому, что их справедливость не связана с линейной зависимостью между Е и АА внутри тела; они имеют место при любом виде этой зависимости (в том числе для анизотропных тел). Такой же характер имеют аналогичные соотношения: Ей) для цилиндра в продольном поле, и Т)й) (е) ~ (8.5) (8.6) фг В'РО.

Мы видим, что потенциал у; отличается от потенциала однородного поля уо только постоянным множителем. Другими словами, поле внутри эллипсоида будет однородным. Мы не станем выписывать здесь формулы для поля вне зллипсоида. Однородное же поле внутри зллипсоида можно найти без фактического выписывания граничных условий, воспользовавшись вместо этого некоторыми уже известными нам результатами. для плоскопараллельной пластинки в перпендикулярном к ней поле; эти равенства очевидны из граничных условий. Свойство создавать внутри себя однородное поле (будучи помещенным во внешнее однородное поле) присуще, оказывается, вообще всякому зллипсоиду с произвольным соотношением полуосей а, 6, с.

Задача о поляризации диэлектрического зллипсоида решается с помощью зллипсоидальных координат, подобно тому, как была решена в 3 4 аналогичная задача для проводящего зллипсоида. Потенциал поля вне зллипсоида ищем снова в виде (4.22) у', = АР(~) с функцией Р(~) из (4.23). В потенциал же поля внутри зллипсоида у, функция такого вида войти не может, так как она не удовлетворяет условию конечности поля во всем объеме внутри зллипсонда.

Действительно, рассмотрим поверхность ( = — сэ, представляющую собой часть плоскости ху, ограниченную эллипсом с полуосями (а — с ) у и (6 — с ) ~, лежащим внутри объема зллипсоида. При ( — э — сэ интеграл (4.23) ведет себя как Д + сэ. Напряженность поля, т. е. градиент потенциала, будет вести себя, следовательно, как (~+с~) '~э и обращается в бесконечность при ~ = — сэ. Таким образом, для поля внутри зллипсоида пригодно лишь решение Р® = сопэ$, т. е.

~р; надо искать в виде 69 дизлвктгичнский зллипсоид аг'т(1) + 6.0я(1) = е.„ где козффициенты а1 6 зависят не от дизлектрической проницаемости е(') зллипсоида, а только от его формы. Наличие такой связи следует из вида граничных условий, в чем мы уже убедились выше на примерах шара и цилиндра.

Для определения а и 6 замечаем, что в тривиальном частном случае е(') = 1 было бы просто Е = В = к.; отсюда а + 6 = 1. Другой уже известный нам частный случай . проводящий зллипсоид. В проводнике Е(') = О, а индукция 1э(1) не имеет непосредственного физического смысла, но может рассматриваться как формальная величина, связанная с полным дипольным моментом зллипсоида соотношением В(') = 4пр = 1 Вв.

Согласно (4.26) при атом будет Д (1) поо ' т. е. козффициент 6 = и(*), а потому а = 1 — и(*). Таким образом, мы приходим к соотношению (1 — п(*))Е(1) + и(*) ьг(*) = Ея, (8.7) или Е(1) = и. — 411п(*)Р . (8.8) Величину 4пп(*)Р., называют деполлризующим полем 1). Такие же соотношения (с козффициентами и("), и(')) справедливы для поля вдоль осей у и ю Как и частные формулы (8.1), (8.3), они справедливы при любом виде зависимости между Е и 11 внутри зллипсоида. Для напряженности поля внутри зллипсоида получим из (8.7), положив О~(') = е(1)Е~('); Е(1) 1+ (эю — 1)пен ' (8.9) ы ) Аналогичные формулы справедливы для намагничивающегося зллипсоида во внешнем однородном магнитном поле (см. 1 29). В этой связи козффициенты пм~, пы1, поо называют коэффицоентами размагничивания, Предположим сначала, что зллипсоид находится в пустоте (Е(') = 1).