VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 13

ТОгда мЕжду вЕктсрами Е('), О(1), ~8 (кОтОрыЕ вСЕ имЕ- ют одинаковое направление вдоль оси х) должна существовать линейная связь вида 70 Гл. и ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ а полный дипольный момент зллипсоида Если поле к. имеет составляющие по всем трем осям, то поле внутри эллипсоида по-прежнему будет однородным, но, вообще говоря, не параллельным к.. Не предрешая выбор системы координат, можно написать в общем случае соотношение (8.7) в виде Е(г) л „(Ой) Е(г)) (8 11) Переход к случаю диэлектрической проницаемости среды, отли шой от 1, совершается просто путем замены е(1) на е(')/е(').

При этом формула (8.7) принимает вид (1 (х)) (е) Е(1) + (х) р(1) (е) ~ (8.12) Эта формула может быть применена, в частности, к полю внутри зллипсоидального отверстия в неограниченной диэлектрической среде: для этого надо положить е(') = 1. Задачи ) 1. Определить момент сил, действующих на эллипсоид вращения в однородном электрическом поле. Р е ш е н и е. Согласно общей формуле (18.13) момент сил, действующих на эллипсоид, равен К = [,Ук,, где х. — дипольный момент эллипсоида. В эллипсоиде вращения вектор т.

лежит в плоскости, проходящей через ось симметрии и направление к. Момент же сил направлен перпендикулярно к этой плоскости, а для его абсолютной величины вычисление с помощью формул (830) приводит к результату (е — 1)'[1 — Зл[г'з!п 2о 8х(ле+ 1 — л)[(1 — л)е+ 1+ л[ где о -- угол между направлением ю и осью симметрии зллипсоида, а л-- козффициент деполяризации вдоль этой оси (так что коэффициент деполяризации в перпендикулярных к этой оси направлениях есть (1/2)(1 — л)). Момент сил направлен так, что он стремится повернуть ось симметрии вытянутого (л < 1/3) и сплюснутого (л ) 1/3) эллипсоидов в положение, соответственно параллельно и перпендикулярно к полю. Для проводящего зллипсоида (е -э оо) имеем [1 — Зл[ К= 'г'е э1п 2О. 8хл(1 — л) 2.

Диэлектрический полый шар (диэлектрическая проницаемость е, внутренний и внешний радиусы Ь и а) находится в однородном внешнем электрическом поле е.. Определить поле в полости шара. ) В задачах этого параграфа предполагается, что эллипсоид находится в пустоте. 71 ДИЭЛЕКТРИ ВЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ СМЕСИ А1 уз = — бсозй (т — — ), ~дз = — Вбг соз О, а потенциал поля в дизлектрическом слое (область 2) — в виде В'1 згг = — СКсозд '(г —— гг) где А, В, С, Ю постоянные, определяющиеся из условий непрерывности зг и едгз7дг на границах 1 — 2 и 2 — Я. Таким образом, поле Ез = Вч.

внутри полости оказывается однородным (поле же Ег в шаровом слое неоднородно). Вычисление постоянных приводит к результату. йе Ез — ~б (е Е 2)(2е+ 1) — 2(е — 1)г(6/а)з 3. То же для полого цилиндра в поперечном однородном поле ). Р е ш с н и е аналогично предыдущей задаче и приводит к результату: 4е Ез = х(е -~-1)г — (е — 1)г(Ь7а)г з 9.

Диэлектрическая проницаемость смеси Если вещество представляет собой мелкодисперсную смесь (эмульсия, порошкообразная смесь и т. п.), то можно рассматривать электрическое поле, усредневноо по обьемам, болыпим по сравнению с масштабами неоднородностей. По отношению к такому среднему полю смесь является однородной и изотропвой средой и как таковая может характеризоваться определенным эффективным значением диэлектрической проницаемости, которое мы обозначим ес„. Если Е и зл усредненные указанным образом напряженность и индукция поля, то, по определению Π— есмЕ.

(9.1) Если все частицы смеси изотропны, а разности между их диэлектрическими проницаемостями малы по сравнению с самими сч то оказывается возможным вычислить в общем виде сом с точностью до членов второго порядка по указанным разностям. Напишем местное значение напряженности поля в виде Е = = Й+ 6Е, а местное значение диэлектрической проницаемости как в+ бе, где е = — ) есЛ' 1 Ъ' (9.2) ') В продольном поле ответ очевиден: Ез = к. Р е ш е н и с.

Аналогично тому, как было сделано в тексте для сплошного шара, ищем потенциал поля в пустоте снаружи шара (область 1) и внутри полости (область 3) соответственно в виде 72 ЭЛЕКТРОСТАТИКА ДИЭЛЕКТРИКОВ гл. и получается усреднением по объему. Тогда среднее значение индукции 1) = (е+ бе)(Е+ бЕ) = йЕ+ бе бЕ (9.3) (так как, по определению бе и бЕ, их средние значения равны нулю). В нулевом приближении е,„= е; первый отличный от нуля поправочный член будет, естественно, второго порядка по бе, как зто видно и из (9.3). Из неусредненного уравнения йу АА = О, с точностью до малых членов первого порядка, имеем йт(е+бе)(Е+ бЕ) =ейкбЕ+ Еибе = О.

(9.4) Усреднение произведения бебЕ в (9.3) проводим в два агапа. Прежде всего, усредняем по объему частиц одного и того жс вещества, т. е. при заданном значении бе. Усредненное таким образом значение бЕ легко получить из уравнения (9.4). Именно, ввиду изотропии смеси в целом имеем — бЕ, = — бЕу — — — бЕ, = — йубЖЕ. де дУ " де 3 Если, скажем, вектор Е направлен по оси х,то из (9.4) имеем д бЕ Л'. дбв д д* откуда бЕ = — — *бе. Зе Ввиду произвольности выбора направления оси х, зто равенство можно написать в векторном виде; Ж = — — бе.

ЗГ Умножив на бе и произведя окончательное усреднение по всем компонентам смеси, получим бе бЕ = — — (бе)з. Зй Наконец, подставив зто выражение в (9.3) и сравнив с (9.1), получим искомый результат: есм = е ~бе) (9.5) Эта формула может быть представлена и в другом виде, если заметить, что с точностью до членов второго порядка 1~з У+ б )1~з е1!з(1 (бе) 1 02/ з ш тигмодинлмичискив соотнощвния для диэликтгикон 73 Поэтому г/3 ~!з (9.6) Таким образом, можно сказать, что в рассматриваемом приближении оказывается алдитивным кубический корень из е.

Другой предельный случай, допускающий точное рассмотрение, — диэлектрическая проницаемость эмульсии с произвольной разницей между диэлектрическими проницаемостями среды (е1) и диспергированной фазы (е2), но малой концентрацией последней; частицы диспергированной фазы предполагаются сферическими. В интеграле — / (Р— е1Е) Л' = Р— е1Е р / подынтсгральнос выражение отлично от нуля только внутри частиц эмульсии.

Поэтому он пропорционален объемной концентрации эмульсии с и при его вычислении можно считать, что частицы эмульсии находятся во внешнем поле, совпадающем со средним полем Е. Воспользовавшись для сферических частиц формулой (8.2), получим для коэффициента пропорциональности между Р и Е: 3(ез — е1)е1 е,„ = е1 + с ез + 2е~ (9.7) Эта формула справедлива с точностью до членов первого порядка по с. При близких ез и ез она совпадает (с точностью до членов первого порядка по с и второго по ез — е1) с результатом, даваемым при малых с формулой (9.5).

3 10. Термодинамические соотношения для диэлектриков в электрическом поле ы ) Мы отвлекаемся здесь от энергии связи заряда с веществом проводника; зта знергия будет рассмотрена н 3 23. Вопрос об изменении термодивамических свойств благодаря наличию электрического поля не возникает для проводников. Поскольку электрическое поле внутри проводника отсутствует, то все изменение его термодинамических величин сводится просто к добавлению энергии создаваемого им в окружающем пространстве поля к его полной энергии 1). Эта величина вообще не зависит от термодинамического состояния (в частности, от температуры) тела и потому, например, не сказывается на его энтропии. гл.

и ЗЛЕКТРОСТАТИКА ДИЗЛЕКТРИКОВ Напротив, на термодинамические свойства диэлектриков электрическое поле, проникая внутрь тела, оказывает глубокое влияние. Для изучения этих свойств, прежде всего, определим работу, производимую над теплоизолированным диэлектриком при бесконечно малом изменении поля в нем. Электрическое поле, в котором находится диэлектрик, надо представлять себе как создаваемое некоторыми посторонними заряженными проводниками, а изменение поля можно тогда рассматривать как результат изменения зарядов проводников ).

Предположим для краткости, что имеется всего один проводник с зарядом е и потенциалом гр. Работа, которую надо произвести для того, чтобы увеличить его заряд на бесконечно малую величину де, равна (10.1) бть = грде; зто есть механическая работа, производимая заданным полем над зарядом де, переносимым из бесконечности (где потенциал поля равен нулю) к поверхности проводника и проходящим, следовательно, разность потенциалов, равную гр. Преобразуем б)ь к виду, выраженному через значения поля в окружающем проводник пространстве, заполненном диэлектриком.

Если Рп проекция вектора электрической индукции на направление нормали к поверхности проводника, внешней по отношению к диэлектрику (и внутренней по отношению к проводнику), то поверхностная плотность зарядов на проводнике равна — Р„((4х), так что е = — — ф Р„его = — — ф В гК. Имея в виду, что потенциал гр постоянен вдоль всей поверхности проводника, пишем б)гь = гр бе = — — / гр БВ Л = — — ~ с)гт (гр бВ) гЛг'. 4гг 4гг Последний интеграл справа берется по всему объему вне проводника. Поскольку варьированное поле, как и первоначальное, удовлетворяет уравнению поля, то с)гт ДВ = О, так что г))т (грдВ) = огс)гн дВ+ бВ атас) гр = — ЕбВ.

) Окончательные выражения, которые будут нами получены, содержат только значения поля внутри диэлектрика и потому не зависят от происхождения поля. Ввиду этого нам не нужно особо оговаривать случаи, когда поле создается нс заряженными проводниками, а, например, внесенными в самый диэлектрик сторонними зарядами или же его пирозлектрической (см.

З 13) ггыгяризацией. 1 ш тнгмодинлмичнскин соотношвния для диэлкктгикон 75 Таким образом, получаем окончательно следующую важную формулу: Ебо (10.2) Подчеркнем, что интегрирование в этой формуле производится по всему полю, в том числе и по области вакуума, если диэлектрическая среда занимает не весь объем пространства вне проводника. Работа, произведенная над тег1лоизолированным телом, есть не что иное,как изменение энергии тела при постоянной его энтропии.

Поэтому выражение (10.2) должно быть добавлено к термодинамичсскому соотношению, определяющему бесконечно малое изменение полной энергии тела, включающей в себя также и энергию электрического поля. Обозначив зту энергию через Ф, имеем, следовательно, дЖ' = Т о.У' + — ~ Е бо Л' (10.3) (Т вЂ” температура, .У вЂ” энтропия тела) ). Соответственно для полной свободной энергии т = тг' — Т,У ~) имеем глЯ = —,.У 5Т + — ~ Е БВ с1К (10.4) Аналогичные термодинамические соотношения могут быть написаны и для величин, относящихся к единице объема тела.

Пусть У, Я и р — внутренняя энергия, энтропия и масса единицы объема тела. Как известно, обычное термодинамическое соотношение (в отсутствие поля) для внутренней энергии в заданном объеме гласит: 1и=Т 1Я+б1р, где ~ химический потенциал вещества ). При наличии поля в диэлектрике сюда должен быть добавлен член, взятый из подынтегрального выражения в (10.3): Ю = Тс1Я+ ~др+ — ЕНВ.