V.-Статистическая-физика-часть-1 (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 4

Таким образом, давая возможность вычислять средние значения величин, характеризующих макроскопические тела, статистика тем самым позволяет делать предсказания, оправдывающиеся с весьма болыпой точностью для подавляющей части любого промежутка времени настолько большого, чтобы полностью сгладилось влияние начального состояния тела. В этом смысле предсказания статистики приобретают практически определенный, а не вероятностный характер. (Ивнев все 1 ) Приведем пример, наглядно показываюогий, с какой огромной точностью выполняется это правило.

Если выделить в каком-либо газе участок, содержащий, скажем, всего 1/100 грамм-молекулы, то оказывается, что среднее относительное отклонение, испытываемое энергией этого количества вещества, от своего сродного значения составляет всего 10 ". Вероятность же найти (при однократном наблюдении) относительное отклонение, ска— з ~о'о жем, порядка 10 ", изображается чудовищно малым числом, 10 19 стлтистичвскля нвзлвисимость это в виду, мы в дальнейшем при употреблении средних значений макроскопических величин почти никогда не будем писать черты над буквой.) Если замкнутая макроскопическая система находится в таком состоянии, в котором для любой ее части, являющейся самой по себе макроскопическим телом, макроскопи веские физические величины с болыпой относительной точностью равны своим средним значениям, то говорят, что система находится в состоянии статистического равновесия (о нем говорят также как о термодинамическол«или шспловом равновесии).

Из предыдущего видно, что если замкнутая макроскопическая система наблюдается в течение достаточно большого промежутка времени, то подавляющую часть этого промежутка она проводит в состоянии статистического равновесия. Если в какой-нибудь начальный момент времени замкнутая макроскопическая система не находилась в состоянии статистического равновесия (например, была искусственно выведена из такого состояния внешними воздействиями, после чего была вновь предоставлена самой себе, т.е. вновь стала замкнутой системой), то в дальнейшем она обязательно перейдет в состояние равновесия.

Промежуток времени, в течение которого должен обязательно произойти переход к статистическому равновесию, называют временем реликсации. Говоря выше о «достаточно больших» промежутках времени, мы по существу имели в виду времена, большие по сравнению со временем релаксации. Теорию процессов, связанных с переходом в состояние равновесия, называют кинетикой; она не рассматривается собственно статистикой, изучающей системы, находящиеся в статистическом равновесии. я 2. Статистическая независимость Подсистемы, о которых шла речь в ~1, не являются сами по себе замкнутыми. Напротив, они подвергаются непрерывному воздействию со стороны прочих частей системы.

Но благодаря тому, что эти части, малые по сравнению со всей большой системой, являются сами по себе тоже макроскопическими телами, мы можем все же считать, что в течение не слишком больших промежутков времени они ведут себя приблизительно как замкнутые системы. В самом деле, во взаимодействии подсистемы с окружающими частями участвуют преимущественно те частицы, которые находятся вблизи ее поверхности. Но относительное число этих частиц по сравнению с полным чишюм частиц в подсистеме быстро падает при увеличении размеров последней, и при достаточной величине подсистемы энергия ее 20 ос:новнык пеинлипы статистики гл. 1 взаимодействия с окружающими частями будет мала по сравнению с ее внутренней энергией.

Таким образом, можно сказать, что подсистемы являются квазизамкнутыми. Подчеркнеы лишний раз, что квазизамкнутость подсистем имеет место лишь на протяжении не слишком длительных промежутков времени. В течение же достаточно большого промежутка времени влияние взаимодействия подсистем -- сколь бы оно ни было слабым -- все равно проявится. Больше того, именно это сравнительно слабое взаимодействие и приводит в конце концов к установлению статистического равновесия.

Тот факт, что различные подсистемы можно считать слабо взаимодействующигли друг с другом, приводит к тому, что их можно считать независимыми также и в статистическом смысле. Стагпиегпическал независимость означает, что состояние, в котором находится одна из подсистем, никак не влияет на вероятности различных состояний других подсистем. Рассмотрим какие-либо две подсистемы, и пусть дрП)ддП) и др~г)с1д~г) элементы объема их фазовых пространств.

Если рассматривать совокупность обеих подсистем как одну составную подсистему, то с математической точки зрения статистическая независимость подсистем означает, что вероятность составной подсистеме находиться в элементе ее фазового объема Йр~ )си)~ ) = с~р~ )сии ) Йр~ )егере ) разбивается на произведение вероятностей нахождения каждой из подсистем соответственно в ИРР)4у(') и др~г)дерг), причем каждая из этих вероятностей зависит только от координат и импульсов данной подсистемы. Та~~~ об)завом, гзож|ю написатгл ,1 Пг),1 Пв),1 П),1 П),1 Рг),1 Р) или Ргг = Ргрг (2.1) где р1г статистическое распределение составной подсистемы, а рм рг функции распределения отдельных подсистем; аналогичное соотношение можно написать и для совокупности нескольких подсистем ').

Можно, очевидно, утверждать и обратное: если распределение вероятностей для некоторой сложной системы распадается на произведение множителей., каждый из которых зависит только от величин, описывающих одну из частей системы, то это значит, что эти части статистически независимы, причем 1 ) При условии, конечно, чтобы совокупность этих подсистем все еще составляла малукз часть всей замкнутой системы. стлтистическля нвзлвисимость 21 каждый из множителей пропорционален вероятности состояний соответствующей части. Если 11 и 1г две физические величины, относящиеся к двум различным подсистемам, то из (2.1) и определения средних значений согласно (1.5) непосредственно следует, что среднее значение произведения ~~~г равно произведению средних значений каждой из величин г1 и гг в отдельности: .Ыг = г1Л.

(2.2) Рассмотрим какую-либо величину г", относящуюся к некоторому макроскопическому телу или его отдельной части. С течением времени эта величина меняется, колеблясь вокруг своего среднего значения. Введем величину, характеризующую в среднем ширину интервала этого изменения. В качестве такой характеристики нельзя взять среднее значение разности Ь~ = 1' — 1, так как величина 1 отклоняется от своего среднего значения как в ту, так и в другую сторону, и среднее значение разности г — 1, попеременно то положительной, то отрицательной, окажется равным нулю независимо от того, насколько часто 1 испытывала значительные отклонения от среднего значения. В качестве искомой характеристики удобно взять среднее значение квадрата этой разности.

Так как величина (гл1) всегда положительна, то ее среднее значение стремится к нулю лишь если она сама стремится к нулю; другими словами, оно окажется малым только тогда, когда значительные отклонения г от 1 обладают малой вероятностью. Величину ((гл1)г)'~г называют средней квадратичной флуктуацией величины 1".

Раскрыв квадРат У вЂ” Х), найдем, что ((~~)г) =Р-Р (2.З) т. е. средняя квадратичная флуктуация определяется разностью между средним квадратом величины и квадратом ее среднего значения. Отношение ((лл1)~) ~~,1~ называют относительной флуктуацией величины 1. Чем это отношение меньше, тем более ничтожную часть времени тело проводит в таких состояниях, в которых отклонение величины 1 от ее среднего значения составляет заметную часть этого последнего.

11окажем, что относительная флуктуация физических величин бьк:тро уменьшается при увеличении размеров (числа частиц) тел,. к которым опи относятся. Для этого заметим предварительно, что большинство величин, представляющих физический интерес, являются аддитивными; это обстоятельство следствие квазизамкнутости отдельных частей тела и состоит в 22 основныв пвинципы стлтистики гл, г том, что значение такой величины для всего тела равно сумме значений этой величины для отдельных его (макроскопических) частей. Действительно, поскольку, например, внутренние энергии этих частей, согласно сказанному выше, велики по сравнению с энергиями их взаимодействия, то энергию всего тела можно с достаточной то шостью считать равной сумме энергий его частей.

Пусть 1" такая аддитивная величина. Разобьем мысленно рассматриваемое тело на большое число Л примерно одинаковых малых частей. Тогда г=1 где величины ~; относятся к отдельным частям тела. Ясно, что с увеличением размеров тела ~ растет примерно пропорционально Х. Далее, определим среднюю квадратичную флуктуацию величины 1. Имеем Но в силу статистической независимости разли 1ных частей тела средние значения произведений Ь~1Ь|~ = Ьл Ь~~ = 0 (г ф й) (поскольку каждое Ь~г = О). Следовательно, (2.4) Отсюда следует, что при увеличении ггг средний квадрат ((Ь~)з) тоже будет расти пропорционально Х.