V.-Статистическая-физика-часть-1 (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 3

Другими словами, положение точек этой системы в пространстве характеризуется н координатами, которые мы будем обозначать буквами ззо где индекс г пробегает значения 1,2,...,л. Тогда состояние этой системы в данный момент будет определяться значениями в этот же момент в координат д, и в соответствующих им скоростей д,. В статистике принято пользоваться для характеристики системы ее координаталзи и импульсами р,, а ве скоростями, так как это дает ряд весьма существенных преимуществ. Различные состояния системы можно математически представить точками в так называемом фазовом пространстве (являющевзся, конечно, чисто математическим понятием); на координатных осях этого пространства откладываются зназения координат и импульсов данной системы.

При этом каждая система имеет свое собственное фазовое пространство, число измерений которого равно удвоенному числу ее степеней свободы. Всякая точка фазового пространства, соответствуя определенным значениям координат системы д; и ее импульсов р,, изображает собой определенное состояние этой системы. С течением времени состояние системы изменяется, и, соответственно, изображающая состояние системы точка фазового пространства (мы будем ниже говорить просто «фазовая точка системыв) будет описывать в нем некоторую линию, называемую фазовой траекторией. Рассмотрим теперь какое-либо макроскопическое тело или систему тел. Предположим, что система замкну.та, т.

е. не взаимодействует ни с какими другими телами. Выделим мысленно 15 ОТАтиоти |еокОе РАспРеделение из этой системы некоторую часть, весьма малую по сравнению со всей системой, но в то же время макроскопическую; ясно, что при достаточно большом числе частиц во всей системе чис ю частиц в ее малой части может еще быть очень большим. Такие относительно малые, но макроскопические части мы будем называть глодсллсгпемпмчл. Подсистема есть опять механическая система, ио уже отшодь ие замкнутая, а, напротив, испытывающая всевозможные воздействия со стороны остальных частей системы.

Благодаря огромному чис.|у степеней свободы этих остальных частей, эти взаимодействия будут иметь весьма сложный и запутанный характер. Поэтому и состояние рассматриваемой подсистемы будет меняться со временем весьма сложным и запутанным образом|. Точное решение задачи о поведении подсистемы возможно только путем решения задачи механики для всей замкнутой системы, т.е.

путем составления и реш|.ния всех дифференциальных уравноний движения при данных начальных условиях, что, как уже отмечалось, представляет собой невыполнимую задачу. Но| к счастью, именно тот чрезвычайно сложный ход изменения состояния подсистем, который делает неприменимыми методы механики, дает возможность подойти к решению задачи с другой стороны. Основой для этого подхода является то обстоятельство,что, в силу чрезвычайной сложности и запутанности внешних воздействий со стороны остальных частей, за достаточно большой промежуток времени выделенная нами подсистема побывает достаточно много раз во всех возможных своих состояниях.

Точнее это обстоятельство надо сформулировать следую|цим образом. Обозначим через ЬрЬ|1 некоторый малый участок «объема» фазового пространства подсистемы,. соответствующий значепиЯм ее кооРдинат «1, и импУльсов Рм лежащими в некоторых малых интервалах Ь|1, и Ьр,. Можно утверждать, что в течение достаточно большого промежутка времени Т чрезвычайно запутанная фазовая траектория много раз пройдет через всякий такой участок фазового пространства.

Пусть лал есть та часть полного времени Т, в течение которой подсистекла «находилась» в данное| участке фазового пространства с»р Ь|1 ') . При неограниченном увеличении полного времени '1' отношение лхлллТ будет стремиться к некоторому пределу ол = 1пп —.

лм' (1.1) т ) Для краткости»|ы будем обычно говорить, как зто принято, о том, что система «находится в участке ларцу фазового пространства», подразумевая при этом, что система находится в состояниях, изображающихся фазовыми точками в этом участке. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ ГЛ. 1 Эту величину можно, очевидно, рассматривать как вероятность того, что при наблюдении подсистемы в некоторый произвольный момент времени мы обнаружим ее находящейся в данном участке ЬР ьхЧ фазового пространства.

Переходя к бесконечно малому элементу фазового объема') ЙЧ ЙР = ЙЧгйЧг ЙЧ»ЙРгйрг ЙР; (1.2) мы можем ввести вероятность Йы состояний, изображающихся точками в этом элементе, т.е. вероятность координатам Ч; и импульсам р, иметь значения, лежащие в заданных бесконечно малых интеРвалах межДУ Ч;, Р, и Ч, + ЙЧЫ Р, + ЙР,. ЭтУ веРоЯтность Йсо можно написать в виде Й = Р(Р!,,Р., Ч! ", Ч.)ЙРЙЧ, (1 3) где р(р!,...,Р„Ч!...,Ч») есть функция всех координат и импульсов (мы будем обычно писать сокращенно Р(р, Ч) или даже просто р).

Функцию Р, игравшую роль «плотности» распределения вероятности в фазовом пространстве, называют функцией статистического распределения (или просто функцией распреденения) данного тела. Функция распределения должна, очевидно, удовлетворять условию нормировки (1.4) РЙРЙЧ =1 (интеграл берется по всему фазовому пространству), выражающему собой просто тот факт, что сумма вероятностей всех возможных состояний должна быть равна единице. Чрезвычайно существенным для статистики является следующее обстоятельство.

Статистическое распределение данной подсистемы не зависит от начального состояния какой-либо другой малой части той же системы, так как влияние это!-о начального состояния будет в течение достаточно большого промежутка времени совершенно вытеснено влиянием остальных, гораздо более обширных частей системы. Оно не зависит также от начального состояния самой выделенной нами малой части, поскольку она с течением времени проходит через все возможные состояния и каждое из них может быть выбрано в качестве начального. Поэтому статистическое распределение для малых частей системы можно найти., не решая задачи механики для этой системы с учетом начальных условий. ') В дальнейшем мы будем всегда условно обозначать через Йр и Йд произведения дифференциалов соответственно всех иьшульсов и всех Координат системы.

17 ОтАтиоти !Коков РАспРеделение Нахождение статистического распределения для любой подсистемы и является основной задачей статистики. Говоря о «малых частяха замкнутой системы, следует иметь в виду, что макроскопические тела, с которыми нам приходится иметь дело, обычно уже сами по себе являются такими амалыми частями л большой замкнутой системы, состоящей из этих тел вместе с внепшей средой, в которую они погружены.

Если указанная зада.га репгена и статистическое распределение данной подсистеллы известно, то лложно вычислить вероятности различных значений любых физических величин, зависящих от состояния этой подсистемы (т.е. от значений ее координат о и импульсов р). Мы можем также вычислить среднее значение любой такой величины 7" (р, д), получающееся путем умножения ее возможных значений на соответствующие вероятности и интегрирования по всем состояниям.

Обозначая усреднение чертой над буквой, можно написать формулу У = й, Ч)улар, г1М 4Ь (1.5) по которой вычисляются средние значения различных величин с помощью функции статистического распределения' ) . Усреднение с помощью функции распределения (или, как говорят, статиппическое усреднение) освобождает нас от необходимости следить за изменением истинного значения физической величины 7 1р, г7) со временем с целью определения ее среднего значения. В то же время очевидно, что в силу самого определения понятия вероятности, согласно формуле (1.1), статистическое усреднение полностью эквивалентно усреднению по времени.

Последнее означало бы, что, следя за ходом изменения величины со временем, мы должны были бы построить функцию 7 = у(л), после чего искомое среднее значение определилось бы как 1гш — Я) пй о Из изложенного ясно, что выводы и предсказания о поведении макроскопических тел, которые позволяет делать статистика., имеют вероятностный характер.

Этим статистика отличается от механики (классической), выводы которой имеют вполне ') В этой книге мы будем обозначать усреднение чертой над буквой или угловыми скобками: Г" или (Д, руководствуясь при этом исключительно удобством записи формул, второй способ предпочтительнее для записи средних значений громоздких выражений. 18 ооновныв пгинпипы статистики гл о однозначный характер.

Следует, однако, подчеркнуть, что вероятностный характер результатов классической статистики сам по себе отнюдь не лежит в самой природе рассматриваемых ею объектов, а связан лишь с тем, что эти результаты получаются на основании гораздо меньшего количества данных, чем это нужно было бы для полного механического описания (це требуются наэальные значения всех координат и импульсов).

Практически, однако, при применении статистики к макроскопическим телам ее вероятностный характер обычно совершенно не проявляется. Дело в том, что если наблюдать любое макроскопическое тело (находящееся в стационарных, т. е, не зависящих от времени, внешних условиях) в течение достаточно большого промежутка времени, то окажется, что все характеризующие это тело физические величины являются практически постоянными (равными своим средним значениям) и лишь сравнительно очень редко испытывают сколько-нибудь заметные отклонения; при этом разумеется, речь идет о макроскопических величинах, характеризующих тело в целом или его отдельные макроскопические же части, но не отдельные частицы').

Это основное для статистики обстоятельство следует из весьма общих соображений (изложенных в стедующем параграфе) и тем более справедливо, чем сложнее и больше рассматриваемое тело. В терминах статистического распределения можно сказать,что если с помощью функции р(р, д) построить функцию распределения вероятностей различных значений величины 1(р, а), то эта функция будет иметь чрезвычайно резкий максимум при 1 = )', буду пл сколько-нибудь заметно отличной от нуля лишь в самой непосредственной близости к точке максиму.ма.