V.-Статистическая-физика-часть-1 (1109683), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Относительная же флук- туация будет, таким образом, обратно пропорциональна тггг': ЙЬ|) г) Пв 1 - — '-г (2 б) С друтой стороны, если условиться разделять однородное тело на участки определенной малой величины, то ясно, что число таких частей будет пропорционально полному числу частиц (молекул) в теле. Поэтому полученный результат можно сформулировать также, сказав, что относительная флу.ктуация всякой аддитивной величины г" убывает обратно пропорционально твогвмл лиувиллн квадратному корню из числа частиц макроскопического тела, а потому при достаточно большом их числе самая величина у может считаться практически постоянной во времени и равной своему среднему значению. Этот вывод был уже использован в предыдущем параграфе. й 3. Теорема Лиувилля Вернемся к дальнейшему изучению свойств функции статистического распределения.
Предположим, что мы наблюдаем в течение весьма длительного промежутка времени некоторую подсистему. Разделим этот промежу.ток времени па очень большое (в пределе бесконечное) количество одинаковых малых интервалов, разделенных моментами времени ~~., ~з,... В каждый из этих моментов рассматриваемая подсистема изобразится в ее фазовом пространстве точкой (назовсы эти точки АБА2, Аз,...). Совокупность полученных точек распределится в фазовом пространстве с плотностью, в пределе пропорциональной в каждом данном месте значению функции распределения р(р, о), по самому смыслу последней, как определяющей вероятности различных состояний подсистемы.
Вместо того чтобы рассматривать точки, изображающие состояния одной подсистемы в различные моменты времени 1ы 1з,..., можно формальным образом ввести в рассмотрение одновременно очень большое (в пределе бесконечное) число совершенно одинаковым образом устроенных подсистем'), находящихся в некоторый момент времени (скажем, 1 = 0) в состояниях, изображающихся точками Ам Ав,... Будем теперь следить за дальнейшим передвижением фазовых точек, изображающих состояния этих подсистем, в течение це слишком болыпого промежутка времени --такого, чтобы квазизамкнутую подсистему можно было с достаточной точностью рассматривать как замкнутую. Передвижение фазовых точек будет происходить тогда согласно уравнениям механики, содержащим координаты и импульсы только частиц подсистемы.
Ясно, что в каждый момент времени б с тем же правом, что и в момент б = О, все эти точки будут распределены в фазовом пространстве согласно той же функции распределения р(р,д). Другими словами, передвигаясь с течением времени, фазовые точки остаются распределенными с неизменной в ) Такую воображаемую совокупность одинаковых систем обычно называют статисти мским ансамблем. 24 оановныв пгинпипы стлтистики гл. ) каждом данном месте плотностью, пропорциональной соответствующему. значению р. Чисто формальным образом это передвижение фазовых точек можно рассматривать как стационарное течение «газа» в 2я-мерном фазовом пространстве и применить к нему известное уравнение непрерывности., выражая)щее собой неизменность общего числа «частиц» (в данном случае -- фазовых точек) газа. Обычное уравнение непрерывности имеет вид др д! — Р + с1!в(рт ) = О (р — плотность, тс — скорость газа), а для стационарного течения с1ст(рт) = О.
Обобщение последнего соотношения на случай 2в-мерного пространства ⻠— (рп;) = О. д дт, с=! В данном случае «координатами» я; являются координаты () и импульсы р, а «скоростями» я, = л! -- производные по времени с) и р, определяемые уравнениями механики. Таким образом, имеем Г ~ ~ (~д;)» ~ (~»;)1 = о. (=! Раскрывая производные, пишем ~ '~д — +р — ~+р~ '~ — + — ~ =О (31) Написав уравнения механики в форме Гамильтона дН . дН где Н = Н(р,()) функция Гамильтона рассматриваемой подси- стемы, мы видим, что дд, д»Н др, д(ь дд, др, др, Поэтому второй член в (3.1) тождественно обращается в нуль. Первый же член есть не что иное, как полная производная от функции распределения по времени. Таким образом, имеем 25 РОЛЬ ЭНЕРГИИ Мы приходим, следовательно, к существенному выводу, что функция распределения постоянна вдоль фазовых траекторий подсистемы 1так называемая шеорема Лиувилля); напомним, что поскольку мы говорим о квазизамкнутых подсистемах, то полученный результат справедлив лишь для не слишком больших промежутков времени, в течение которых подсистема с достаточной точностью ведет себя как замкнутая.
~ 4. Роль энергии Из теоремы Лиувилля непосредственно следует, что функция распределения должна выражаться лишь через такие комбинации переменных р, д, которые при движении подсистемы как замкнутой остаются постоянными. Это -- так называемые механические инварианты или инипегралы движения, являющиеся, как известно, первыми интегралами уравнений движения. Можно, следовательно, сказать, что функция распределения., являясь функцией механических инвариантов, сама есть интеграл движения. Оказывается возможным чрезвычайно сузить число интегралов движения, от которых может зависеть функция распределения. Для этого надо учесть, что распределение рГ2 для совокупности двух подсистем равно произведению функций распределения рГ и рэ этих подсистем в отдельности: рш = рГрэ. Поэтому 1прГз = 1прГ + 1пръ (4.1) т.е.
логарифм функции распределения есть величина аддитивная. Мы приходим, следовательно, к заключению, что логарифм функции распределения должен быть не просто интегралом движения, но и аддитивным интегралом движения. Как известно из механики, существует всего семь независимых аддитивных интегралов движения; энергия, три компоненты вектора импульса и три компоненты вектора момента импульса.
Обозначим эти величины для а-й подсистемы (как функции координат и импульсов ее частиц) соответственно через Е„(р.,у), Р„(р,д), М,(р,д). Единственная аддитивная же комбинация этих величин есть линейная комбинация вида 1п р, = ГГ, + ~Е,(р, д) + уР„(р, а) + 6М,(р, д) (4.2) с постоянными коэффициентами о, р, 'у, 6, причем 11, у, 6 должны быть одинаковыми для всех подсистем данной замкнутой системы.
К подробному изучению распределения (4.2) мы вернемся в дальнейшем (гл. 1П). Здесь же для нас существенно лишь следу- ос:новныв пгинципы статистики гл. 1 ющее обстоятельство. Коэффициент гт есть просто нормировочная постоянная, определяющаяся условием / растр~')с)д~') = 1. Постоянные же р', у, б — всего семь независимых величин— могут, очевидно, быть определены по семи же постоянным значениям аддитивных интегралов движения всей замкнутой системы. Таким образом, мы приходим к важнейшему для статистики выводу. Значения аддитивных интегралов движения энергии, импульса и момента полностью определяют статистические свойства замкнутой системы, т.
е. статистические распределения любых ее подсистем, а с ними и средние значения любых их физических величин. Эти семь аддитивных интегралов движения заменяют собой то невообразимое множество данных (начальных условий), которое требовалось бы при механическом подходе. Изложенные соображения непосредственно позволяют составить для замкнутой системы простую функцию распределения, пригодную для описания ее статистических свойств. Поскольку, как мы теперь знаем, значения неаддитивных интегралов движения не оказывают влияния на эти свойства, то для описания последних можно воспользоваться любой функцией р, зависящей только от значений аддитивных интегралов движения системы и удовлетворяющей теореме Лиувилля. Простейшей такой функцией является функ11ия, равная р = сопв1 для всех точек фазового пространства, соответствующих заданным постоянным значениям энергии (Ес), импульса (Рс) и момента (Мс) системы (вне зависимости от значений неаддитивных интегралов), и р = О для всех прочих точек.
Ясно, что определенная таким образом функция во всяком случае остается постоянной вдоль фазовой траектории системы, т.е. удовлетворяет теореме Лиувилля. Данная формулировка, впрочем, не вполне точна. Дело в том, гго точки, определяемые уравнениями Е(р с1) = Ео, Р(р с1) = Ро М(р,г1) = Мс (43) образуют некоторое многообразие всего 2в .-7 измерений (а не 2» измерений, как фазовый объем). Поэтому, для того чтобы интеграл ) р ггр с61 был отличен от нуля, функция р(р,п) должна обращаться в этих точках в бесконечность. Правильная запись функции распределения замкнутой системы гласит; р = сопвС 6(Š— Ео)б(Р— Ро)б(М вЂ” Мо). (4.4) Наличие д-функций' ) обеспечивает обращение р в нуль во всех ') Определение и свойства д-функций — см., напримср, 111, 5 5. 27 РОЛЬ ЭНЕРГИИ точках фазового пространства, в которых хотя бы одна из величин Е, Р, М не равна своему заданному значению Ео, Ро, Мо.
Интеграл же от р по всякому фазовому объему, заключаюгцему в себе хотя бы часть указанного выше многообразия точек, конечен. Распределение (4.4) ыазывается микрокпноническпм ') . Импульс и момент замкнутой системы связаны с ее движением как целого -равномерным поступателыгым движением и равномерным вращением. Поэтому можно сказать, что статистическое свето»гнив системы, совершающей заданное движение, зависит только от ее энергии.
Благодаря этому энергия приобретает в статистике совершенно исключительную роль. Для того чтобы в дальнейшем совсем исключить из рассмотрения момент и импульс, можно применить следующий прием: будем представлять себе систему заключенной в твердый «ящик» и пользоваться системой координат, в которой «ящик» покоится. В таких условиях момент и импульс вообще не будут уже интегралами движения, и единственным аддитивным интегралом движения останется энергия; в то же время на статистических свойствах малых частей системы (подсистега) наличие «ящика», очевидно, всюбще не скажется.
Поэтому для логарифмов функций распределения подсистем будем иметь вместо (4.2) еще более простые выражения: (4.5) 1гг гои — сга + НЕа(Р1гг) ' Микроканоническое же распределение для всей системы напишется в виде Р = сОпвб. ЙŠ— Ео). (4.6) До сих пор мы предполагали, что вся замкнутая система находится в статистическом равновесии. Другими словами, мы рассматривали ее в течение времен, болыпих по сравнению с ее временел1 релаксации. На практике, однако, обычно возникает необходимость рассматривать систему в течение времен, сравнимых или даже малых по сравнению со временем релаксации. Для болыпих систем это оказывается возможным благодаря существованию наряду с полным статистическим равновесием всей замкнутой системы так называемых неполных (или частичных) равновесий. ) Подчеркнем лишний раз, что зто распределение отнюдь не является истинным статистическим распределением замкнутой системы.
Признание его истинным эквивалентно утверждению, что фазовая траектория замкнутой системы в течение достаточно длительного времени пройдет сколь угодно близко к любой точке многообразия, определяемого уравнениями (4.3).но такое утверждение (известное под названием зрго0пческай гипотезы) в обпшм случае заведомо неправильно.
28 оановныв пгннпнпы стлтнстнкн гл ~ Дело в том, что время релаксации растет с увеличением размеров системы. В силу этого обстоятельства отдельные малые части системы сами по себе приходят в равновесное состояние значительно быстрее, чем происходит установление равновесия между различными малыми частями. Это значит, что каждая малая часть системы описывается своей функцией распределения вида (4.2), но значения параметров распределения р', ~, д различны для разных частей. В таком случае говорят, что система находится в неполном равновесии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
