V.-Статистическая-физика-часть-1 (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 8

г)б. (Е. Жгдпег, 1932). Действительно, поскольку его (г2 + — ) г)гр (г2 — — ) Мр = 5 (Я + — — 9 -г- — ) = б(1), интеграл ( 1ггир = р(9,9'). Интеграл жс ( 1и гго после замены переменных д -Р 112 — > д, д — бгг2 — > д' совпадает с интегралом 1 1 г)д, В отличие от 1(д,р), функция 1гг(д,р) вещественна (е чем легко убедиться с учетом армитовости матрицы р(д, д'), по, вообще говоря, не везде положительна. ) В предыдущем параграфе мы говорили о матрице плотности подсистемы, имея в виду ее основные статистические применения. Разумеется, матрицей плотности может описываться и замкнутая система, находяпгаяся в смешщгном состоянии. ос:новнык пгинципы статистики гл, г где Н „элементы матрицы гамильтониана Й системы, диагональной в принятом нами энергетическом представлении. Поэтому (6.2) г иг = — г'гггН вЂ” Нйг) й У вЂ”,~ щпг ггп; (6.3) ') Поскольку это утверждение связано в известном смысле с ггревебрежением взаимодействиями подсистем друг с другом, то точнее можно сказать, что недиагональные элементы ш,„етремятея к нулю по мере уменьшЕния относительной роли этих взаимодействий, а следовательно,по мере увеличения числа частиц в подсистемах.

(Обратим внимание на то, что это выражение отличается знаком от обычного квантовомеханического выражения для оператора производной от величины по времени.) Мы видим, что для обращения в нуль производной по времени от статистической матрицы, оператор и должен быть коммутативен с гамильтониапоы системы. Этот результат и представляет собой квантовомехапический аналог теорелгы Лиувилля: в классической механике требование стационарности функции распределения приводит к тому, что и оказывается интегралом движения; коммутативность же оператора какой-либо величины с гамильтонианом как раз и является квантовомеханическим выражением сохраняемости этой величины.

В интересующем нас энергетическом представлении условие стационарности формулируется в особенности просто: как видно из (6.1), матрица пгшп должна быть диагональной, - опять- таки в соответствии с обычныгн матричным выражением квантовомеханической сохраняемости величины (матрица сохраняющейся величины приводится к диагональному виду одновременно с гамильтонианом). Подобно тому как это было сделано в 33, мы можем теперь применить полученные результаты к квазизамкнутым подсистемам, рассматривая промежутки времени, в течение которых они ведут себя с достаточной точностью как замкнутые.

Поскольку статистические распределения (здесь — статистические матрицы) подсистем должны быть по самому определению статистического равновесия стационарными, то мы, прежде всего, заключаем, что матрицы пгшп всех подсистем диагональны') . Задача об определении статистического распределения сводится, следовательно, к вычислению вероятностей игп — игпп, которые и представляют собой «функцию распределения» в квантовой статистике. Формула (5.4) для среднего значения какой-либо величины 1 упрощается и гласит: з б отатиатичеакое »Аспгеделение вкваитовои стАтиотике 39 в нее входят теперь только диагональные матричные элеменг г'г Хпп, Далее, учитывая, что ю должно быть квантовомеханическим интегралом движения и используя квазинезависимость подсистем, аналогично выводу формулы (4.5) найдем, что логарифм функции распределения подсистем должен иметь вид 1гг ю~') = стг~) + (3К"„ (6.4) (индекс а отличает различные подсистемы).

Таким образом, вероятности ю„могут быть выражены в виде функции только от величины уровня энергии: юп = ю(Ев). Наконец, полностью сохраняют свои» силу все изложенные в з 4 соображения о роли аддитивных интегралов движения, в особенности энергии, как определяющих все статистические свойства замкнутой системы. Это снова дает возможность составить для замкнутой системы простую функцию распределения, пригодную для описания ее статистических свойств, хотя отнюдь н не являющуюся (как и в классическом случае) истинной функцией распределения. Для математической формулировки этого «квантового микроканоннческого распределения» надо применить следующий прием. Имея в виду «почти непрерывность» энергетического спектра макроскопических тел, введем понятие о числе квантовых состояний замкнутой системы, «приходящихся» на определенный бесконечно малый инте;рвал значений ее энергии') . Обозначим это число через «1Г; оно играет здесь роль, аналогичную роли элемента фазового объема «1р «1г) в классическом случае.

Если рассматривать замкнутую систему как состоящую из подсистем, пренебрегая при этом взаимодействием последних, то каждое состояние системы в целом можно характеризовать заданием состояний всех отдельных подсистем, .и число сгГ представится в виде произведения =П (6.5) а чисел «1Г квантовых состояний подсистем (тагсих, чтобы сумма энергий всех подсистем лежала, как раз в рассматриваемом инервале значений энергии всей замкнутой системы).

54ьг кложем теперь сформулировать микроканоническое распределение в виде, аналогичном классическому выражению ) Напомним, что мы условились Я4) полностью исключать из рассмотрЕния импульс и момент сиетемы как пелего, для чегО достаточно представлять себе систему- заключенной в твердый «ящик», рассматриваемый в системс координат,в которой он покоится. 46 ОСНОВНЫВ ПРИНПИПЫ СТАТИСТИКИ ГЛ. ! (4.6), написав для вероятности Гйп нахождения системы в каком- либо из Г(Г состояний следующее выражение: 1ш = сопв1 йЕ Ео) П «Га. (6.6) й 7. Энтропия Будем рассматривать замкнутую систему в течение времени, болыпого по сравнению с ее временем релаксации; тем самым подразумевается, что система находится в полном статистическом равновесии.

Проведем нижеследующие рассуждения сначала для квантовой статистики. Разделив систему на большое число макроскопических частей (подсистем), будем рассматривать какую-либо одну из них. Пусть ь н есть функция распределения этой подсистемы; для упрощения формул будем пока опускать у ю„(и других величин) индекс, отличающий подсистемы. С помощью функции юВ можно, в частности, вычислить распределение вероятностей для различных значений энергии Е подсистемы. Мы видели, что ю„может быть написано как функция только от энергии юн = ю(ЕВ).

Для того чтобы получить вероятность ИГ(Е)Г1Е подсистеме иметь энергию в интервале между Е и Е + дЕ, надо умножить и(Е) на число квантовых состояний с энергиями, лежащими в этом интервале; мы пользуемся здесь тем же представлением о «размазанном» энергетическом спектре, которое было введено в конце предыдущего параграфа. Обозначим через Г(Е) число квантовых состояний с энергиями, меньшими и равными Е; тогда интересующее нас число состояний с энергией между Е и Е + Г(Е можно написать ИГ(Е) 0Е а распределение вероятностей по энергии будет (7.1) Условие нормировки ИГ(Е)Г1Е = 1 означает геометрически, что площадь, заключенная под кривой ИГ = И'(Е), равна единице.

Б соответствии с общими утверждениями, сделанными в ~1, функция И'(Е) имеет чрезвычайно резкий максимум при Е = Е, энтеопия будучи сколько-нибудь заметно отличной от нуля лишь в непосредственной близости от этой точки. Введем эширнну» ЬЕ кривой И' = %(Е), определив ее как ширину прямоугольника, высота которого равна значению функции И'(Е) в точке максимума, а площадь равна единице: %(Е)ЬЕ = 1. (7.2) Принимая во внимание выражение (7.1), можно переписать это определение в виде (7.3) ю(Е)ЬГ = 1, где Ы'= ~ )ЛЕ (7.4) 0Е есть число квантовых состояний, соответствующее интервалу ЬЕ значений энергии. Об определенной таким образом величине ЬГ можно сказать, что она характеризует эстепень размазанности» макроскопического состояния подсистемы по ее микроскопическим состояниям.

Что же касается интервала ЬЕ, то по порядку величины он совпадает со средней флуктуацией энергии подсистемы. Сделанные определения непосредственно переносятся в классическую статистику, но только вместо функции ю(Е) надо говорить о классической функции распределения р, а вместо ЬГ об объеме участка фазового пространства, определяемом форм ~лей р(Е)Ьр Ьд = 1. (7 б) Фазовый объем Ьр Ьд аналогично ЬГ характеризует размеры той области фазового пространства, в которой данная подсистема проводит почти все время.

Не представляет труда установить связь между ЬГ и Ьр Ьц при предельном переходе от квантовой теории к классической. Как известно (см. П1, 848), в квазиклассическом случае можно установить определенное соответствие между объемом какой- либо области фазового пространства и «приходящимся» на него числом квантовых состояний:, именно, можно сказать, что на каждое квантовое состояние приходится в фазовом пространстве клетка с объемом (2яй)' (э число степеней свободы системы).

Поэтому ясно, что в квазиклассическом случае число состояний ЬГ можно написать в виде ЬГ = (2кя)' (7.6) где а число степеней свободы данной подсистемы. Эта формула и устанавливает искомое соответствие между ЬГ и Ьр Ьд. 42 ОСНОВНЫВ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ ГЛ. ! Величину ЬГ называют статистическим весом макроскопического состояния подсистемы, а ее логарифм Я =1п АГ (7.7) называют э!«ГпрГ!п!«ей подсистемы. В классичгскоэ! случае энтропия определяется, соответственно, выражением (7.8) (2!Гя)' Определенная таким образом энтропия, как и самый статистический вес! есть безразмерная величина. Поскольку число состояний ЬГ во всяком случае не меныпе единицы, то энтропия не может быть отрицательной. Понятие энтропии одно из важнейших в статистике.

Уместно отметить, что если оставаться целиком на позициях классической статистики, то никакого понятия о «числе микроскопических состояний» вообще нельзя ввести, и мы были бы принуждены определить статистический вес просто как ве.личину !."!равд. Но эта величина, как и всякий объем фазового пространства, имеет размерность произведения в импульсов и стольких же координат, т.е, размерность н-й степени действия; (эрг с)'. Энтропия, определенная как 1НЬр ЬГ7, имела бы при этом своеобразную размерность логарифма действия. Это значит, что при изменении единиц действия энтропия изменилась бы на аддит!лвнуГо постоянную: если изменить единипу действия в а раз, то Ахр !Ад перейдет в а»Ьр Ь!7, а 1НЬр ААГ7-- в 1НЬр ЬГ7+ в 1па. Поэтому в чисто классической статистике энтропия представляет собой величину, определенную лишь с точностью до аддитивной постоянной, зависящей от выбора единиц.