V.-Статистическая-физика-часть-1 (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 7

совокупность всех квантовых чисел, отличающих различные стационарные состояния, энергии этих состояний будем обозначать через Еп. Предположим, что в данный момент времени подсистема находится в некотором полно описанном состоянии с волновой функцией |и. Последнюю можно разложить по образующим полну.ю систему функциям ф„(д). Напишем это разложение в виде Ф = ~ снап.

и (5.1) Среднее значение любой величины | в данном| состоянии может быть, как известно, вычислено по коэффициентам сп с помощью формулы с„с (5.2) где (5.3) У = ~ нйпп1пт. (5.4) птп Совокупность величин н|„„„(вооб|це говоря, функций времени) и представляет собой ыатрицу плотности в энергетическом --. матричные элементы величины ~ О --. соответствующий ей оператор). Переход от полного к неполному квантовомеханическому описанию подсистемы можно рассматривать в некотором смысле как усреднение по ее различным |и-состояниям. В результате такого усреднения произведения с„*с|в дадут двойной (ио двум индексам) набор некоторых величин, которые мы обозначим через ш,пп и которые не могут уже быть выражены в виде произведений каких-либо величин, образующих ординарный набор.

Среднее значение величины ~ выразится теперь формулой вида стдтисти квакая мдтгида представлении; в статистике ее называют статистическо6 мптрицсй ') . Если рассматривать ш „как матричные элементы некоторого статистического оператора и, то сумма изтгь1пт бУДет Диагональным матРичным элементом пРоизведения операторов юу, а среднее значение 1 напишется в виде следа (суммы диагональных элементов) этого оператора ~ = ,';М)вв = ~р(ш~) 15.5) и Такая форма записи обладает тем преимуществом, что дает возможность производить вычисления с помощью произвольного полного набора взаимно ортогональных и нормированных волновых функций: след оператора не зависит от выбора системы функций, по отногпению к которыми определяются матричные элементы (см. И1, ~ 12).

Аналогичным образом видоизменяются и другие квантовомеханические выражения, в которые входят величины с„, всякий раз произведения с„*от должны заменяться на «усредненные значения» изтц: сост З Ютп. Так, вероятность подсистеме находиться в умм состоянии будет равна соответствующему диагональному элементу ю„„матрицы плотности (вместо квадрата модуля с*„св), Очевидно, что эти элементы, которые мы будем обозначать ниже через и„, всегда положительны (5.6) гоп — тцп ~ и и удовлетворяют условию нормировки 'ор ш = ~ ~гоп = 1 и ( соответствующему условию ~„~с„~ = 1) . (5.7) РЫЧ ) = ~шш 'т' 'г1)Ф~ М. 2 Л.Д. Ландау, Е. М.

Лифшиц, тои У ') Мы говорим об энергетическом представлении, так как именно оно обычно применяется в статистике. Однако до сих пор мы енге нигде не воспользовались непосредственно тем, что 11 — волновые функции стационарных состояний. Ясно поэтому, что тем же самым способом можно определить матрипу плотности по отношению к лк>бой полной системе волновых функций. Укажем также, что обычная координатная матрица плотности р(д, е') (сас 111, З 14) выражается через матрицу ши,„формулой оановныв пгинципы стлтистики гл 1 Необходимо подчеркнуть, что усреднение по различным уу-состояниям, которые мы ввели с целью сделать наглядным переход от полного квантовомеханического описания к неполному, имеет лишь весьма условный смысл.

В частности, было бы совершенно неправильным считать, что описание с помощью матрицы плотности соответствует тому, что подсистема может с различными вероятностями находиться в различных уу-состояниях, а производимое усреднение есть усреднение по этим вероятностям: такое утверждение вообще противоречило бы основным прннпипам квантовой механики, Состояния квантовой системы, описывающиеся волновыми функциями, иногда называют чистьлми сосп~олниями в отличие от смешанных сосшолний, описывающихся матрицей плотности. Следует, однако, предостеречь от неправильного понимания поспедних в указанном вылив смысле. Усреднение с помощью статистической матрицы, определяемое формулой (5.4), имеет двоякую природу. Оно включает в себя как усреднение, связанное с вероятностным характером квантового описания даже наиболее полного самого по себе, так и статистическое усреднение, необходимость в котором возникает в результате неполноты наших сведений о рассма.- триваемом объекте.

В случае чистого состояния остается лишь первое усреднение, в статистических же случаях всегда присутствуют оба элемента усреднения. Необходимо, однако., иметь в виду, что эти элементы отнюдь не могут быть отделены друг от друга; нсе усреднение производится единым образом., и его невозможно представить как результат последовательно производимых чисто квантовомеханического и чисто статистического усреднений.

Статистическая матрица заменяет в квантовой статистике функцию распределения классической статистики. Все сказанное в предыдущих параграфах применительно к классической статистике но поводу практически определенного характера делаемых ею предсказаний полностью относится и к квантовой статистике. Изложенное в З2 доказательство стремления к нулю (при увеличении числа частиц) относительных флуктуаций аддитивных физических величин вообще пе использовало каких- либо особенностей, специфических для классической механики, и потому полностью относится и к квантовому случаю. Мы можем, следовательно, по-прежнему утверждать, что макроскопическис величины остаются практически равными своим средним значениям.

В классической статистике функция распределения р(р,ц) непосредственно дает распределение вероятностей различных значений координат и импульсов частиц тела. В квантовой же СТАТИСТИЧЕОКАЯ МАТРИПА и т так что вероятность координатам иметь зна тения в данном интервале 4у = Йд1Йуг... Й~, равна Йвч = Я Йд. Переход к смешанному состоянию производится путем замены произведений с„*с,„элементами опт статистической матрицы, в результате чего )ф(~ переходит в сумму ттп~т'и Т'т ° п т Но по определению матричных элементов можно написать: и! ПФт = ЩФп.

Е Поэтому Таким образом, находим следующую формулу для распределения вероятностей по координатам: Йшт — — ~ ф„'й~ф„Йц. (5.8) В написанном в такой форме выражении можно пользоваться в качестве функций фп любой полной системой нормированных волновых функций.

сгатистике это не так; величины шп дают лишь вероятности найти тело в том или ином квантовом состоянии, без всякого непосредственного указания на значения координат или импульсов частиц. В силу самой природы квантовой механики, в основанной на ней статистике речь может идти лишь о нахождении распределения вероятностей для координат или импульсов в отдельности, а не тех и друтих вместе, поскольку координаты и импульсы частицы вообще не могут одновременно иметь определенных значений. Искомые распределения вероятностей должны учитывать как статистическую неопределенность, так и неопределенность, присущую кваптовомеханическому описанию самому по себе.

Для нахождения этих распределений снова воспользуемся примененным выше способом рассуждений. Предположим сначала, что тело находится в чистом квантовом состоянии с волновой функцией (5.1). Распределение вероятностей для координат определяется при этом квадратом модуля: Основные пгинципы стАтистики Гл. 1 Далее, определим распределение вероятностей для импульсов. Квантовыс состояния, в которых все импульсы имеют определенные значения, соответствуют свободному движению всех частиц. Обозначим волновые фУнкции этих состоЯний чеРез гдр(9), где индекс р условно обозначает совокупность значений всех импульсов. Как мы знаем, диагональные элементы матрицы плотности представляют собой вероятности нахождения системы в соответствующих квантовых состояниях.

Поэтому, определив матрицу плотности по отношению к системе функций г)ур, мы получим искомое распределение вероятностей для импульсов по формуле') (5.9) Йлар = корр ЙР = ЙР ф„*юг)зр Йд, где Йр = ЙргЙрз ... Йрк Любопытно, что оба распределения-- по координатам и по импульсам могут быть полу чены интегрированием одной н той же функции (5.10) Проинтегрировав ее по Йц, мы получим распределение по им- пульсам (5.9). Интегрирование же по Йр дает (5.11) Йюе — — Йд амбр(г))й>ф„(д) Йр в согласии с общим определением (5.8).

Отметим также, что функция (5.10) может быть выражена через координатную матрицу плотности р(д, д') сог:ласно (5.12) Подчеркнем, однако, что сказанное отнюдь не означает, что функцию 1(д, р) можно рассматривать как распределение вероятностей для координат и импульсов одновременно; не говоря уже о том, что такая точка зрения вообще противоречила бы основным принципам квантовой механики, выражение (5.10) комплексно ' ) .

1 ) Функции Щ,(Ч) — плоские волны в конфигурационном пространстве системы; онн предполагаются нормированными на Б-функции всех импульсов. ') Ввиду отсутствия у 1(д, р) прямого физического смысла естественно, что определение функции, обладающей указанными свойствами, неоднозначно. Так, распределения по е и по р могут быть получены тем же способом из З 6 ОтАтистичеокОВ РАспРеделение ВЕВАнтОВОй стАтиотике 37 й 6. Статистическое распределение в квантовой статистике В квантовой механике можно доказать теорему, аналогичную теореме Лиувилля, полученной в 93 на основании классической механики. Для этого выведем предварительно общее квантовомеханическое уравнение, определяющее производную по времени от статистической матрицы любой (замкнутой) системы ') .

Следуя методу, примененному в предыдущем параграфе, предположим сначала, что система находится в чистом состоянии с волновой функцией, представленной в виде ряда (5.1). Ввиду замкнутости системы, ее волновая функция будет иметь такой же вид и во все последующие моменты времени, причем только коэффициентьг сп будут теперь функциями времени, пропорционалыгыми множителям ехр( — гЕ„1ггй). Поэтому имеем (д(д1)спс~ = (ЦБ)(Еп — Ен,)с„"с„,. Переход к статистической матрице в общем случае смешанных состояний производится теперь путем замены произведений с„'с на ю „.

Таким образом, получаем искомое уравнение игглп = Яйг)(ń— Егл)гоп,в. (6 1) Это уравнение можно переписать в общем операторном виде, заметив, что (Еп Еог)гптп = ~~ (гптгНггг Нтггпггг)г функции 1И (ч,р) = / р (д -~- —, д — — ) агр (д т — ) г В (д — -) гЦ, (бяоа) где 1 обозначает совокупность вспомогательных переменных бг,...,б„а огб = г)бг...