IX.-Статистическая-физика-часть-2 (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 7

Действительно, для вырожденного ферми-газа предельный импульс рр оценивается по формуле (1.1), СОГЛаСНО КОтОРОй РР(й (Х/Рг) ~Э << ))ГО. Мы будем рассматривать здесь лишь парное взаимодействие между частицами, причем для простоты будем считать это взаимодействие 11(т) не зависящим от свинов частиц. Напга цель состоит в вычислении первых членов разложения термодинамических величин по степеням отношения го~11 путем применения квантовомеханической теории возмущений. Затруднение заключается в том, что, ввиду быстрого возрастания энергии взаимодействия на малых расстояниях между частицами, теория возмущений (так называемое борновское приближение) к столкновениям частиц в действительности неприменима.

Это затруднение можно, однако, обойти следующим образом. В предельном случае имедленных» (какими они являются при условии (6.1)) столкновений, амплитуда взаимного рассеяния частиц с массой ти стремится к постоянному пределу — а, который в борновском приближении дается выражением (см. П1, (126.13)) ,=1 (™, 4хйе (6.2) причем этот предел отвечает е-состоянию пары частиц (со спином 1/2); постоянную величину а называют длиной рассеяния'). Поскольку эта величина полностью определяет свойства столкновений, то она же должна определять и термодинамические свойства газа.

Отсюда вытекает возможность применения следующего приема (его называют неренормировкой). Формально заменяем истинную энергию 11 (г) другой функцией, с тем же самым значением а, но допускающей применение теории возмущений. До тех пор (т. е. до такого приближения) пока окончательный ') Выражение (6.2) нс учитывает квантовомеханической тождественности частиц. В предельном случае медленных столкновений тождественных частиц со спинами 1/2 рассеяние происходит только при антипараллельных спинах, причем дифференциальное сечение рассеяния в телесный угол до (в системе центра инерции) есть дп=4а до;полное сечение получается интегрированием до по полусфере: п=8ха (см.

111,8 137). 36 ИОРмАлънАИ ФЯРми-жидкость результат вычислений содержит ьг только в виде амплитуды рассеяния, этот результат будет совпадать с том, к которому привело бы истинное взаимодействие. Радиус действия истинного взаимодействия, вообще говоря, совпадает по порядку величины с длиной рассеяния а. Для фиктивного же поля Й1(т), введенного в качестве вспомогательного понятия, условие применимости борновского приближения означает, что а « то. Истинным малым параметром разложения теории является, конечно, величина аргггй. Ниже нам понадобится связь между Уо и а не только в первом (формула (6.2)), но и во втором борновском приближении. Для ее нахождения вспомним, что если вероятность некоторого перехода системы под влиянием постоянного возмущения Р определяется в первом приближении матричным элементом 1 оп, то во втором приближении Ров заменяется на + х-" ~о.ь;а оо йо — Л' где суммирование производится по состояниям (и ~ 0) невозмущенной системы (см.

Ш, 343). В данном случае речь идет о системе двух сталкивающихся частиц, а возмущением является их взаимодействие Йг(г). Матричные элементы возмущения для переходов с изменением импульсов частиц ры рг -+ ры рг (причем рг + рг = р, + рг) равны (Р',ГГГ, Ргггг~У~РГггы Ргог) = — ~У(г)е '~' "гг х, (6.3) где Р = рг — рг = — (р~ — РГ); ввиду независимости взаимодействия от спинов проекции спинов частиц (указываемые индексами аы гтг) при столкновении нс меняются.

Роль Рос играет матричный элемент при нулевых импульсах: ба/$". Таким образом, для перехода от первого ко второму приближению надо заменить Уо на г г+ г 'г 'гг-Г г г + 1 Ъ Рг+Рг Рг Рг ~ -гРГГГг гз О р, гяг Р'г (суммирование производится при заданных ры рг по РГфрГ, рг). Поскольку в нашем случае импульсы частиц предполагаются малыми, то во всех существенных членах в сумме можно заменить матричные элементы их значениями при р = О. Сделав это, 37 выгожденный по гти идеАльный ФеРми-ГАЗ получим следующее выражение для длины рассеяния '): (6.4) С той же точностью имеем отсюда 4хт1~а ~ 4ггбга ~~- 2тп ~ ( 1 Расходимость суммы в (6А) (при болыпих р1, р12) связана с произведенной заменой всех матричных элементов постоянными значениями и несущественна, так как при дальнейпгем использовании этого выражения для вычисления энергии системы все равно получится сходящееся выражение, в котором большие импульсы не играют роли.

Мы понимаем под а длину рассеяния медленных частиц, не зависящую от их энергии. Формула же (6.4) содержит, на первый взгляд, зависимость от импульсов р1, р2. В действительности эта зависимость заключена лишь в мнимой части амплитуды рассеяния, возникающей при надлежащем определении способа суммирования (см. 111, (130.9)), на которую можно не обращать внимания, поскольку нам заранее известно, что окончательный результат будет все равно вещественным; к этому вопросу мы еще вернемся в 2 21. В этом параграфе мы рассмотрим модель ферми-газа с отталкивательным характером взаимодействия между частицами; для такого взаимодействия а > О. Именно в этом случае газ имеет энергетический спектр описанного в 2 1, 2 фермиевского типа.

Гамильтониан системы частиц (со спинам 1 1'2) с парным взаимодействием между ними записывается в методе вторичного квантования в виде 2тп ра + ~~' (Р1С"1 Р2СГ2~1' ~Р1Г"1 Р2СГ2)а~>'а ар'а аргагаргаг (6 6) (см. Ш, 264). Здесь ар и ара -. операторы рождения и уничтожения свободной частицы с импульсом р и проекцией спина сг ) Во всех промежуточных формулах мы пишем суммы по дискретным значениям импульсов частиц, заключенных в конечном объеме Ъ', при окончательном вычислении суммирование заменяется, по общему правилу, интегрированием по т1т~рт1(2хб) . 38 ноРмАльнАН ФеРми-жидкость Гл. ! (с2 = ш1/2). Первый член в (6.6) отвечает кинетической, а второй потенциальной энергии частиц; в последнем суммирование производится по всем значениям импульсов и проекцией спинов с соблюдением закона сохранения импульса при столкновениях.

В соответствии с предположением о малости импульсов частиц снова заменяем матричные элементы в (6.6) их значением при нулевых импульсах: (Осг!, Ос!2)ЦОсг!, Ос!2)=Ус/Р'. Далее, замечаем, что в силу антикоммутативности операторов ар, „арз 2 в статистике Ферми, их произведение антисимметрично по отношению к перестановке индексов; то же самое относится к произведениям а~, а~, . В результате взаимно сокращаются все Р',!11 Рзоз' члены во второй сумме в (6.6), содержащие пары одинаковых индексов сг!, с!2 (физически это связано с упомянутым уже обстоятельством, что в пределе медленных столкновений взаимно рассеиваться могут лишь частицы с противоположными спинами).

Таким образом, гамильтониан системы принимает вид 2 Н = ~ ~Р ар~ про+ — ' ~ а!~ а2' аз агт, (6.7) Ро Ргрзр', где агт = аргт, а!ч = ар т и т. п., а индексы+ и — здесь и ниже Р1 стоят вместо +1/2 и -1/2. Собственные значения этого гамильтониана вычисляются с помощью обычной теории возмущений, причем второй член в (6.7) рассматривается как малая поправка к первому члену. Последний уже имеет диагональный вид и его собственные значения равны Е(а)=Х Р и 2т ро (6.8) Е!') = — ' ~ и! п2 —, Р1Р2 (6.9) гдеп!т=пр, ит.п. ) Предполагая, что частицы обладают определенными значениями проекции спина, мы тем самым предполагаем приведенной к диагональному виду также и статистическую матрипу и э(р); функции же и (р) с а = к1/2 являются при этом се диагональными компонентами.

где пр„--. числа заполнения состояний рсг '). Поправка первого порядка дается диагональными матричными элементами энергии взаимодействия: 39 ВыРО2кденный по гти идеАльный ФеРми-ГАз Для нахождения поправки второго порядка пользуемся известной формулой теории возмущений Е(2) ń— Е,„ где индексы п, т нумеруют состояния невозмущенной системы.

Простое вычисление (с использованием известных матричных элементов опеРатоРов йрсо арв ) пРиводит к РезУльтатУ ое ~ ~~ пгтп2 — (1 — п(т)(1 — п2 ) Р2Р2Р2 (6.10) Структура этого выражения вполне понятна; квадрат матричного элемента перехода р1, р2 — + р1м р~2 пропорционален числам заполнения состояний р1, р2 и числам свободных мест в состояниях рг, р2. Входящий в (6.9), (6.10) интеграл б'е должен быть выражен через реальную физическую величину амплитуду рассеяния и.

В членах второго порядка это может быть сделано по (6.2), а в членах первого порядка требуется более точная формула (6.5). Произведя зти подстановки, получим для поправки первого порядка по а: Е = — ~ П1ФП2 (1) $' Ргр2 и для поправки второго порядка: Е(2) 2тй ~ ~пгтпг — ((1 — пье)(1 — п2 ) — Ц Ргр2Р( ) После перенормировки амплитуды рассеяния эта величина уже отнюдь не совпадает с постоянной Уе, фигурирующей в (6.2)! (для краткости вводим в промежуточных формулах «константу связи» частиц газа') я = 42гбза/т). Раскрывая выражение в числителе, замечаем, что члены с произведениями четырех п взаимно сокращаются, поскольку их числители симметричны, а знаменатели антисимметричны по отношению к перестановке р1, р2 и р1, р2, .суммирование же по этим переменным производится симметричным образом.