IX.-Статистическая-физика-часть-2 (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 5

Наличие у квазичастиц магнитного момента приводит, в свою очередь, к парамагнетизму жидкости. Вычислим соответствующую магнитную восприимчивость. Для «свободной» квазичастицы оператор дополнительной энергии, приобретаемой ею в магнитном поле Н, был бы — )ЗгтН. Но в ферми-жидкости необходимо учесть тот факт, что в силу взаимодействия квазичастиц энергия каждой из них изменится еще и в результате изменения функции распределения в магнитном поле. При вычислении магнитной восприимчивости надо поэтому писать оператор изменения энергии квазичастицы в виде бГ = — )за Н + Яр'~/6й' г)т'. (3.1) Изменение же функции распределения само выражается через оЕ согласно дй = (дп/дс)бГ) '); таким образом, для 6Г получаем уравнение бГ(р) = — ДггН+ Бр'//(р, р') — "6Г(р') г1т'. (3.2) Нам понадобится ниже решение этого уравнения лишь на поверхности ферми-сферы.

Ищем его в виде бГ = — — втгН, (3.3) 2 где я — постоянная. Для ступенчатой функции п(р ) =0(р ) имеем — = — д(я — яр), Нп й' ) При вычислении добавки 6п, зависящей от поля, изменение химического потенциала можнО не учитывать. Изменение макроскопичсской величины и а изотропной жидкости может быть лишь квадратичным но полю Н (являющимси при вычислении восприимчивости малой величиной), между тем как 6е первого порядка малости по полю. Отметим также, что ввиду малости магнитной восприимчивости жидкости здесь можно не делать различия между напряженностью и индукцией поля в ней. 25 НУЛЕВОЙ ЗВУК так что интегрирование по др = Пе /ер сводится к взятию значения подынтегрального выражения на ферми-поверхности.

Подставив функцию / из (2.4) и заметив, что для матриц Паули Бр о = О, Яр'(~т~т')о' = -о Яр'~т'сг' = 2а, находим в' = 2 — дС(д), или К= 1-~- Сф) ' (3.4) где черта снова (как и в (2.12)) означает усреднение по направлениям. Восприимчивость,"~ определяется из выражения для магнитного момента единицы объема жидкости: ХН=РВр~-5 1т=~Вр~ ~бе — 1т дя или, после интегрирования со ступенчатой функцией п(р): ХН = — )3 "~,'", Бр сгбм(рр). Наконец, подставив сюда (3.3), (3.4) и заметив, что Яр (о Н)а =2Н, получим „Зз Здз Ж= язкз(г+ ~) .УП+ ~) ' 13.5) где у — коэффициент в линейном законе теплоемкости (1.15). Выражение у = 3)Д~/к~ есть восприимчивость вырожденного ферми-газа из частиц с магнитным моментом )3 (см. Ъ', (59.5)). Множитель же (1+С) 1 выражает собой отличие ферми-жидкости от ферми-газа').

Отметим, что условие устойчивости (2.20) с 1 = О совпадает с условием т ) О. 34. Нулевой звук Неравновесные состояния ферми-жидкости описываются функциями распределения квазичастиц, зависящими не только от импульсов, но также и от координат и времени. Эти функции й(р, г, 1) подчиняются кинетическому уравнению вида — = Я1й, (4.1) ~й ') Для зНЕ: С вЂ” 2/3. ноРмАльнАИ ФеРми-жидкость где В1 и - - так называемый интеграл столкновений, определяющий изменение числа квазичастиц в данном элементе фазового объема, обусловленное их столкновениями друг с другом ').

Полная производная по времени в (4.1) учитывает как явную зависимость и от 1,так и неявную зависимость, связанную с изменением координат, импульса и спиновых переменных квази- частицы согласно ее уравнениям движения. Специфика ферми- жидкости состоит в том, что поскольку энергия квазичастицы является функционалом от функции распределения, то в неоднородной жидкости вместе с и зависит от координат также и е. Для распределений й, слабо отличающихся от равновесного по, пишем пй(р, г, ~) = пе(р) + бй(р, г, 1). (4.2) При этом энергия квазичастицы е = ес + бе, где ео энергия, отвечающая равновесному распределению, а бе дается выражением (2.1), так что йà — = — = Вр'/ Др, р') Р й'.

(4.3) В отсутствие внешнего магнитного поля ео и пс от спина не зависят. Явная зависимость и от времени дает в !Тй!Ж член дй дбй д! д! Зависимость же черсз координаты и импульс дает члены дп -. дй -. — г+ — р. дг др Роль гамильтоновой функции квазичастицы играет ее энергия е. В силу уравнений Гамильтона имеем де —.

де г= —, р= — —. др' дг Поэтому имеем, с точностью до членов первого порядка по ой: дбй део дпа дбс дг др др дг ) Содержание этого параграфа предполагает знакомство с понятием кинетического уравнения и в этом смысле выпадает из профиля данного тома. Однако без кинетического уравнения (и его применения в этом и следующем параграфах) формулировка теории ферми-жидкости была бы недостаточно полна. Нам понадобится здесь лишь уравнение без интеграла столкновений; вопросы, связанные с конкретным видом интеграла столкновений, будут рассмотрены в другом томе, посвященном физической кинстике. 27 НУЛЕВОЙ ЗВУК Наконец, изменение со временем функции й как оператора по спиновым переменным дается, по общим правилам квантовой механики, коммутатором (4 4) Однако при не зависящих от спина пе и ео члены первого порядка по бй в этом коммутаторе отсутствуют.

Собирая написанные члены, получим уравнение ддй + де дбй дде дн Б1- = В1й. 14 О! д1 др дг дг др Прежде, чем приступить к использованию кинетического уравнения, остановимся на условиях его применимости. Использовав классические (по координатам и импульсу) уравнения, мы тем самым предполагали движение квазичастиц квазиклассическим; это же предположение лежит по существу уже в основе самого описания жидкости функцией распределения, зависящей одновременно от координат и импульсов квазичастиц. Условие квазиклассичности состоит в малости де-бройлевской длины волны квазичастиц 6/рр по сравнению с характерной длиной А, на которой существенно меняется функция п. Введя вместо Ь «волновой вектора неоднородности 6 1/Ь, запишем это условие в виде' ) 66 « рр.

(4.6) Частота ы изменения функции распределения, устанавливающаяся при заданном 6, порядка величины ы прй и автоматически удовлетворяет условию 6со « ер. (4. 7) Соотношение же между 6со и температурой Т может быть любым. Если 6со» Т, то роль ширины области размытости функции распределения играет именно величина бгл; тогда (4.7) есть обязательное для применимости всей теории условие, обеспечивающее малость квантовой неопределенности энергии квазичастицы (связанной с их столкновениями) по сравнению с 6со. Применим теперь кинетическое уравнение к исследованию колебательных движений ферми-жидкости.

При низких, но отличных от нуля температурах в ферми- жидкости происходят взаимные столкновения квазичастиц, причем время их свободного пробега т сс Т з. Характер распространяющихся в жидкости волн существенно зависит от величины произведения ыт. ') Согласно определению (1.Ц 6/ре порядка величины межатомных расстояний, так что условие (4.6) — очень слабое.

28 ноРНАльнАН ФвРми-жидкость ГЛ. 1 (4.9) ') При 22т«1 коэффициент поглощения звука ч и~у/ри~, где и — вязкость жидкости. По порядку величины имеем и ег, у/р еР1 еет, где 2 ег — скорость квазичастиц (не зависящая от температуры), так что и ы Т (И. Я. Помераичук, 1950). При атом "~и(22 22т сс 22)Т . При шт « 1 (что фактически эквивалентно условию малости длины пробега квазичастицы 1 по сравнению с длиной волны Л) столкновения успевают установить термодинамическое равновесие в каждом (малом по сравнению с Л) элементе объема жидкости.

Это значит, что мы имеем дело с обычными гидро- динамическими звуковыми волнами, распространяющимися со скоростью и =;/дР(др. Поглощение звуковых волн при ыт « 1 мало, но при увеличении ат оно возрастает и при ит 1 становится очень сильным, так что распространение звуковых волн становится невозможным '). При дальнейшем увеличении ыт, когда уже ют» 1, в ферми- жидкости снова становится возможным распространение волн, имеющих, однако, другой физический характер.

В этих колебаниях столкновения квазичастиц не играют роли и термодинамическое равновесие в каждом элементе объема не успевает устанавливаться. Процесс можно рассматривать как происходящий при абсолютном нуле температуры. Эти волны называют нулевым звуком. Согласно сказанному выше, при ют» 1 в кинетическом уравнении можно опустить интеграл столкновений; тогда дбй + ддй — д дбг 0 (4.8) д1 дг др дг где те = дв/др скорость квазичастиц, вычисленная по невозмущснной энергии в (тг = ерп, где и единичный вектор в направлении р); индекс О у в здесь и ниже опускаем. При Т = 0 равновесная функция распределения но представляет собой ступенчатую функцию д(р), обрывающуюся у предельного импульса р = рр. Ее производная дпе — = — пб(р — рр) = — нЫ,д — ер).

д12 Предполагая, что зависимость бй в волне от времени и координат дается множителем ехр[2()сг — озе)), будем искать решение кинетического уравнения в виде 5й = б( — Вр)22(П)се~ус е~). Тогда уравнение (4.8) с дбв/дг из (4.3) принимает вид ( — и )с) (и) = и Р, Вр /~(п, и')12(п) 102, (4.10) (2ЛЬ)2 29 НУЛЕВОЙ ЗВУК (ьг — 1су)и(п) = 1стгз~Г(д)и(п') —.

4гг (4.11) Выберем направление 1с в качестве полярной оси, и пусть углы В, гл определяют направление и. Введя также скорость распространения волны ис = ьг/й и обозначение я = ис/ггр, напишем окончательно полученное уравнение в виде (я — сояВ)и(В, ггг) = соя В/ Р(д)и(В', у') —. (4.12) Это интегральное уравнение определяет, в принципе, скорость распространения волн и функцию и(и') в них. Сразу жс отметим, что для незатухающих колебаний (которые здесь нас только и интересуют) величина я должна превышать 1, т. е.

должно быть по > пг (4.13) Происхождение этого неравенства можно понять, переписав (4.12) в виде й(В, ггз) = соя В/Г(д)  — созгг' 4гг где вместо и введена другая неизвестная функция Р=(я — соя В)и. При я = ьг/йси ( 1 подынтегральное выражение имеет полюс в точке сояВ' = я, и для придания интегралу смысла этот полюс должен быть обойден по определенному правилу в плоскости комплексного переменного соя В'. Этот обход вносит в интеграл мнимую часть, в результате чего приобретает мнимую часть где и и и' " единичные векторы в направлениях р и р, а интегрирование производится по направлениям п'.

Рассмотрим колебания (нулевой звук), не затрагивающие спиновых характеристик жидкости. Это значит, что от спиновых переменных не зависит не только равновесная функция распределения, но и ее «возмущение» Оп. В такой волне изменение функции распределения при колебаниях сводится к деформации граничной ферми-поверхности (сферы в невозмущенном распределении), остающейся при этом резкой границей между заполненными и незаполненными состояниями квазичастиц. Функция же и(п) представляет собой величину смещения (в единицах энергии) этой поверхности в заданном направлении и. Поскольку и(п') не зависит от спиновых переменных, то операция Яр' в (4.10) применяется только к функции ~. Написав последнюю в виде (2.4), будем иметь Яр'/ = (2ггзггя/р» пг«)Р(д).

Таким образом, оператор о выпадает вовсе из уравнения, принимающего теперь вид ЗО ноРмАльнАН ФеРми-жидкость также и частота ы (при заданном вещественном Й), что и означает затухание волны. Физический смысл равенства сов д = ие/пр (отвечающего полюсу) состоит в том, что это есть условие черенковского излучения волн нулевого звука квазичастицами ').