IX.-Статистическая-физика-часть-2 (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 11

/ д4„(Х,)-Р дй ~ дй ФУНКЦИг! ГРИНА ИДЕАЛЬНОГО ФЕРМИ-ГАЗА 59 где уже положено С~,~~ = О,У,~С(е), а индекс (0) у С указывает (о) на отсутствие взаимодействия между частицами. Преобразуем это уравнение по Фурье: р' +„С(о)( 2т Определяя отсюда гриновскую функцию, надо добавить к ы бесконечно малую мнимую часть таким образом, чтобы мнимая часть С имела правильный знак (в соответствии с (8.14))! г 2 — ! С(О)(ьг, р) = ьг — Р +)А+ ГО втяпьг~ . (9.7) 2ти Полюс этого выражения лежит при ы +,и = е(р) = р~/2т в соответствии с тем, что в идеальном газе квазичастицы совпадают с реальными частицами. Химический потенциал идеального ферми-газа )г = р~р/2т.

Для слабо возбужденных состояний р близко к рг, так что можно заменить р2/2тп — )г + ЦР(р — рг) (где гл = рр/т) и для таких состояний переписать функцию Грина в виде С1~)(ьг! р) = (ы — НР(р — рг) +!0.З)8пы) !. (9.8) При всяких интегрированиях с участием функции С(~) наличие бесконечно малой мнимой части в ее знаменателе существенно только вблизи полюса, когда ы = нр(р — рг). В этом смысле э)ив а! в (9.7) можно заменить на э)8п (р — рг) и написать С!е) в виде г 2-1 С(е)(ы, р) = ы — ~ + )г+ ГО э)8п(р — рг)~ . (9.9) 2т Такая замена существенна в том отношении, что в виде (9.9) С!е) оказывается единой аналитической во всей плоскости функцией комплексной переменной ш и для вычисления интегралов можно пользоваться методами теории аналитических функций.

Так, для вычисления интеграла (7.23) (распределение частиц по импульсам) при отличном от нуля отрицательном 1 замыкаем путь интегрирования (вещественная ось ьг) бесконечно удаленной полуокружностью в верхней полуплоскости (после этого можно положить 1 = 0). Интеграл г 2кг' м — рг/2тп+ !!+ то зтеп(р — рР) ОО ГРинсеские Функции ФеРми-системы ИРи т = е ГЛ. И определяется теперь вычетом подынтегрального выражения в полюсе, находящемся в верхней полуплоскости. При р ) рг такой полюс отсутствует, так что Л(р) = О. Если же р < рг, то находим Х(р) = 1 как и должно было быть для основного состояния идеального ферми-газа. З 10.

Распределение частиц ферми-жидкости по импульсам Гриновская функция ферми-жидкости нс может быть, конечно, вычислена в общем виде, как это было сделано для ферми- газа. Но утверждение о том, что ферми-жидкость обладает спектром описанного в з 1 типа означает, что ее функция Грина имеет полюс при ы = е(р) — р — !!Р(р — рк), сг = рг(!Г1*. (10.1) Другими словами, она может быть представлена в виде где 8(!с, р) функция, конечная в точке (10.1).

Как уже было отмечено в связи с (8.17), коэффициент Я (вычет функции С в полюсе) положителен. Из выражения (10.2) можно сделать интересное заключение о характере распределения частиц жидкости (не квазичастиц!) по импульсам. Именно, вычислим разность значений функции распределения Х(р) (фактически зависящей лишь от абсолютной величины р) по обе стороны поверхности ферми-сферы, т. е. предел разности й'(РР— 7) — й'(РР + 1) при д = +О. Распределение 1у'(р) выражается через функцию Грина интегралом (7.23).

Ввиду конечности функции 8(с!! р) заранее очевидно, что разность интегралов от нее будет стремиться при !7 -+ 0 к нулю. Поэтому достаточно рассмотреть лишь разность интегралов от полюсных членов в (10.2). Поскольку при интегрировании член 10 в знаменателе существен только вблизи полюса, можно (как уже было указано в ~ 9) писать з!Еп (р — рр) вместо з!яп!с.

Тогда имеем У!!, — !! — Уь, !-~! = -'1! ( у я \ж Ы+ Р٠— !О Ы вЂ” ЕРд+ !О,~ 2Е вычисление тегмсдинАмических величии (ввиду сходимости этого интеграла от разности, множитель е "' с ~ = — 0 в нем можно опустить). Замыкая теперь путь интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью (все равно в которой из полуплоскостей), найдем, что весь интеграл равен Я и не зависит от д. Таким образом, имеем (10.3) (А. В. Мигдал, 1957). Выше было указано, что Я > О. Поскольку Л(р) < 1, то из (10.3) следует, что (10.4) О<г<1 1 (причем значение Я = 1 достигается лишь в предельном случае идеального газа). Таким образом, распределение частиц по импульсам в ферми-жидкости Рк Р при Т = 0 имеет, как и в газе, скачок на поверхности ферми-сферы, умень- РЕС, 1.

шаясь в направлении изнутри сферы наружу. В отличие от случая газа, величина скачка, однако, меньше единицы, и функция Л(р) остается отличной от нуля также и при р > рг, как это показано на рис. 1 сплошной кривой (штриховая линия отвечает газу). 3 11. Вычисление термодинамических величин по функции Грина (11.1) Поскольку зависимость рг от Х/'Р' известна, согласно (1.1), рн = (Зя~)~'~(К7/1")н~а (11.2) Знание гриновской функции системы достаточно для описания ее термодинамических свойств.

При Т = 0 эти свойства выражаются зависимостью энергии системы (совпадающей с энергией основного состояния ее) от плотности х/'Р'. После того как решением уравнения (8.16) определен закон дисперсии кввзичастиц е(р), эту зависимость можно найти, воспользовавшись тем, что 62 ГРинсвские Функции ФеРми-системы пРи т = е ГЛ. П равенство (11.1) определяет функцию р(44~/1Г) (хотя и в неявном виде, так как и закон дисперсии е(р) содержит, вообще говоря, 14 как параметр). При Т = 0 (а потому и Я = 0) химический потенциал 44 = (дЕе/дЛ)~4: интегрируя это равенство, найдем искомую энергию Ео = / р ( — ) !14"4~ о (11.3) (при Х = О, разумеется, и Ее = 0).

Другой способ описания термодинамических свойств при Т=О состоит в вычислении термодинамического потенциала П. Согласно общему определению (см. Ч, З 24), этот потенциал П = Š— ТБ — рК = — РЪ'и его дифференциал 410 = — ЯГП' — 747 Г1р; при Т = 0 имеем также и Я = О, и эти выражения сводятся к (11.4) (11.6) Напомним также, что по смыслу потенциала П он описывает свойства системы при Ъ' = сопв1.

Простейший способ выразить П через функцию Грина состоит в использовании связи (7.24) Х/'у' с С. Подставив Х из (7.24) в (11.6) и интегрируя по др (при у' = сопэ1), получим Й(,и) = 2Л' др 1пп С(4С, р)е ' ", (11.6) 4-4 — О У (2Е)4 о поскольку, опять-таки, П = 0 при 44 = О. З 12. 4Р-операторы в представлении взаимодействия Гриновскую функцию системы взаимодействующих частиц нельзя, разумеется, вычислить в общем виде. Существует, однако, математическая техника (подобная диаграммной технике квантовой теории поля), позволяющая вычислять ее в виде ряда по степеням энергии взаимодействия частиц. При этом каждый член ряда выражается через функции Грина системы свободных частиц и оператор взаимодействия. з 12 бз 'Р-ОПЕРАТОРЫ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ Й Й ( о ) + ~ Й ( о ) ~ + ('Р' — оператор взаимодействия), а гамильтонианом свободных частиц Й (о): Фе(г, г) = ехр (гй ~~~1) ф(г) ехр ( — гй ~~~~).

(12.1) Операторы и волновые функции в этом представлении (так называемое представление взаимоде11сгпвил) будем отличать индексом О. Выразив функцию Грина через операторы Фо (вместо гейзенберговских Ф), мы тем самым сделаем первый шаг к достижению поставленной цели выражению С через С~ ~ и Р. Обозначим в этом параграфе буквой Ф (или у) волновые функции в «пространстве чисел заполнения» (в отличие от координатных волновых функций Ф или ф); на эти функции действуют вторично-квантованные операторы. Пусть у " такая функция в шредингеровском представлении; ее зависимость от времени определяется волновым уравнением ,' =(Й»+Ч),, (12.2) В гейзенберговском представлении, где вся временная зависимость перенесена на операторы, волновая функция системы Ф вообще не зависит от времени: Ф = сопв1.

В представлении же взаимодействия волновая функция Фо зависит от времени, но эта зависимость связана только со взаимодействием частиц в системе и определяется уравнением 1 — Фо(1) = 1оИ)ФаИ), д1 (12.3) где 'Ро = ехр(гН ~~~1) Р' ехр( — гН (~)1) (12.4) оператор взаимодействия в том же представлении (в операторах вида (7.6), (7.7) переход к этому представлению сводится просто к замене Ф на Фо). Уравнение (12.3) легко получить, заметив, что преобразованию операторов, согласно (12.1), отвечает Введем, наряду с гейзенберговским, еще и другое представление операторов представление, в котором их зависимость от времени определяется не истинным гамильтонианом системы 64 ГРиновские Функции ФеРми-системы пРи т = о ГЛ. Н преобразование волновых функций согласно Фа = ехр 1гХХ !~)г)~р 112.5) 1см.

П1,212). Дифференцируя это выражение с учетом 112.2), получим 112.3) '). В силу 112.3) значения Фа1г) в два бесконечно близких момента времени связаны друг с другом равенством Фа11+ й) = 11 — гб1 ~а11)) Фа11) = ехр1 — гб1 ~о11)) Фа11). Соответственно значение Фа в произвольный момент 1 может быть выражено через значение в некоторый начальный момент 1ю 1га < г) как Фа(1) = З(1 1ю)Фа(1ю) 112.6) где У(1 1ю) = П ехр1! — зб1 Й11')зг! 112.7) причем сомножители в этом произведении расположены, очевидно, справа налево в порядке возрастания времени 11; подразумевается предел произведения по всем бесконечно малым интервалам Й между 1а и 1.

Если бы ЪЪ1Т) было обычной функцией, то этот предел сводился бы просто к р(-ф;о)р!~. !о Рар же! =т Р (-Р) Р!Р!Р!~), 112.8) со где Т -- символ хронологического расположения множителей в той же последовательности, что и в 112.7), т. е. справа налево от меньших времен к большим. ') Уравнение !12,3) совпадает с уравнением 172,о)1см.

1Ч), и следующий ниже процесс его решения повторяет изложение в 1У,1 72. Но такое сведение основано на коммутативности множителей, взятых в различные моменты времени, подразумевающейся при переходе от произведения в 112.7) к суммированию в показателе. Для оператора ую1г) такой коммутативности нет и сведение к обычному интегралу невозможно. Вместо этого можно записать 112.7) в символическом виде 3 12 '»-ОПЕРАТОРЫ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ Оператор О унитарен (о 1=О+) и обладает очевидными свойствами: О(»З> 12)О(>2> 11) О(>3> 11)> («2> »1)О («3> 12) = О (13> с1).

(12.9) Для упрощения дальнейших рассуждений сделаем формальное предположение (не отражающееся на окончательных результатах), что взаимодействие 1>0(1) адиабатически «включается» от 1 = — оо к конечным временам и адиабатически «выключается» при 1 = +Со. Тогда при 1 -+ — оо, до включения взаимодействия, волновая функция Ф0(1) совпадает с гейзенберговской функцией Ф. Положив в (12.6) 10 = — оо, получим Ф = У- (3> — )ФОУ(1, — ).