IX.-Статистическая-физика-часть-2 (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 13

Переход к импульсному представлению осуществляется путем разложения Фурье (7.21), (7.22), которое запишем в «четырехмерном» виде ') . С(Х) = С(Р)е1РА ', С(Р) = С(Х)е1РА с14Х, (13.8) где «4-импульс» Р = (н1, р), а РХ = н11 — рг. Аналогичным 1 ) Используя для удобства изложения и обозначений четырехмерную терминологию, подчеркнем лишний раз, что она не имеет здесь никакого отношения к релятивистской инвариантности! 72 ГРинсеские Функции ФеРми-системы ПРи т = з ГЛ.

г! образом разложим также и потенциал взаимодействия: (7(Х) = БИ)(7(г) = /(7Юе 'ах — ~, (13.9) где Я = (47о, с1); при этом (! Я) совпадает с компонентой трех- мерного разложения 17(~) = 17(с)) ~ 17(г)е — сч (~т (13.10) Ввиду четности функции с!(г) очевидно, что (г'( — с() = (7(с)). Произведем это разложение для поправки первого порядка С„=..

С (Х! — Хэ). Для этого умножаем равенство (13.6) на ехр (зР(Х! — Хз)) и интегрируем его по 444 (Хг — Хо). В первом члене пишем е гР(Х! — Хз) гР(Х! — Хз) гР(Хз — Хз) =е е и, заменив переменные интегрирования, получаем (О) /С(О)(Х Х ) гР(Х! — Хз) 444(Х Х ) х~С,,О(Хз — Хэ)ес ( ' ') 41 (Хз — Хэ)~() (Хз — Х4)д (Хз — Х4). Первые два интеграла дают С (Р)С (Р), а третий равен (о) (о) 17(0) = ( 17(г) 41зх — значению 17(с1) при с1 = О. Аналогичным образом, во втором члене пишем е гР(Х! — Хз) гР(Х! — Хз) гР(Хз — Хг) гР(Х4 — Хз) =е е е и после перехода к интегрированию по Х! — Хз, Хз — Х4, Х4 — Хт, получаем Оставшийся интеграл выражается через фурье-компоненты функции С 4 и 17 с помощью формулы для фурье-компонент (о) 113 73 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ ФЕРМИ-СИСТЕМ произведения двух функций ') ~~(Х)фХ)е' с)~Х =~~(Р1)фР— Р1) — г.

(13.11) Таким образом, для поправки первого порядка в функции Грина в импульсном представлении окончательно находим гС( ~)(Р) = гп~ )У(0)С~ )(Р)С( )(Р)— — /С(о)( )С~~)(Р )Сб(д)(Р)17(р — р ) ~р'„. (13.12) Каждому из двух членов в (13.12) ставится в соответствие определенная диаграмма Фейнмана, и выражение (13.12) записывается в виде О .СИ) (Р) Р Р а б (13.13) Точки пересечения линий называют вершиналги диаграммы. Каждая диаграмма имеет 2п вершин, где п -- порядок теории возмущений.

В каждой вергпине сходятся две сплошныс и одна штриховая линии. Каждой сплошной линии приписывается 1 ) Для доказательства этой формулы надо в се левую часть подставить сами функции 7(Х) и я(Х) в виде фурье-разложений: ч«4Р чг«Р 7(Х)К(Х)е,гх б«Х ~ у(р К(рг)е И' Р, — гнх б«Х г г (2я)4 Интегрирование по Н Х осуществляется по формуле 4 ег б Х = (2я) б~ ~(Р), где «четырехмерная» б-функция бьп определяется как произведение бфункций от компонент «4-вектора» Р. Множитель быя(Р-Рг-Рг) устанавливается интегрированием по б Рг, и мы в результате приходим к правой 4 части (13.11).

74 ГРиноеские Функции ФеРми-системы ИРи т = е ГЛ. П свой 44-импульс» Р в направлении, указанном стрелкой (причем вдоль каждой непрерывной последовательности сплошных линий направление стрелок не меняется). Каждой штриховой линии приписывается 4-импульс Я, причем и для этих линий условно выбирается какое-либо (любое) направление стрелки '). В вершинах диаграммы выполняется «закон сохранения 4-импульсаь: сумма 4-импульсов входящих линий равна сумме 4-импульсов выходящих из вершин линий.

Вершине приписывается также и определенный спиновой индекс сс Каждая диаграмма имеет две внешние линии (входящую и выходящую), 4-импульс котоРых есть аРгУмент искомой фУнкции ГРина Сод(Р); выходЯ- щей и входящей линиям приписываются также спиновые индексы сг и )з' этой функции. Остальные линии диаграммы называют внутренн ми. Аналитическая запись членов, отвечающих каждой диаграмме, производится по следующим правилам: 1) Каждой сплоп!ной линии между вершинами ст и ф ставится в соответствие множителыС Э(Р), каждой штриховой линии (0) множитель — г(7Я).

Замкнутой петле с одной вершиной сопоставляется множитель и( )()Ф). 2) В каждой вершине выполняется закон сохранения 4-импульса. По остающимся неопределенными 4-импульсам внутренних линий производится интегрирование по й4Р)(241)4.

В каждой вершине производится суммирование по паре немых спиновых индексов — по одному от каждого из соседних С( )-множителей. 3) Общий множитель, с которым диаграмма входит в !С л, равен ( — 1), где Л -- число содержащихся в ней замкнутых петель сплошных линий с более чем одной вершиной. Последнее правило имеет следующее происхождение. Замкнутая петля с Й ) 1 вершинами происходит от свертки Ф(1-операторов вида Ф ФФ,Ф.,ФЙФ. Й Здесь все свеРтки Равны 4С10, ..., 4СЕ ю а последнЯЯ Рав(е) . (О) на — !Сь . Что касается петель с одной вершиной, то их пра- (О) вильный знак учитывается уже введением и( ) по правилу 1.

) «Временные» компоненты 4-векторов Я = (ое, Ч), вообще говоря, отличны от нуля, но функция (Г(42), по определению (13.10), от ое не зависит. Условность направления п!Триховой линии связана с четностью функции (г(-Ю) = (г(12). 1 13 75 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ ФЕРМИ-СИСТЕМ Для примера изобразим совокупность диаграмм, определяющих поправку второго порядка в функции Грина: (13.14) Наконец вернемся к теореме Вика и дадим ее доказательство в применении к «макроскопическому пределу» (т.

е. при ~' — + со или, что то же при заданной плотности системы, при 4т' — 4 ос), который только и существен в статистических применениях. Рассмотрим, например, среднее от произведения четырех 4р-операторов типа (4о14Ро24РоозФоь4) = —, ~~ (ар,ар,аг,ар4) ехР (...) (13.15) Р4 -Р4 (ф-операторы представлены в виде (9.3); очевидные, но громоздкие показатели экспонент не выписываем). В этой сумме отличны от нуля лип4ь члены, в которых содержится по одинаковому числу операторов ар и а' с одинаковыми значениями импульсов. Среди них есть члены, в которых импульсы равны попарно, 76 Гриневские Функции ФеРми-системы при т = е Гл.

и например, р! = р4 и рэ. = рз. Эти члены отвечают попарной свертке «»ее и выражаются суммой вида (ар! Ор! ) 11артар ) ЕХР( ) Р1, Рэ В пределе»' — » со суммирование по р! и рэ. заменяются интегрированием по $'~!1эр411эрэ/(2к)б, объем Р' сокращается и зто выражение остается конечным. В сумме (13.15) отличны от нуля также и члены с Р! = Рз = Рз = Р4; эти члены обРазУют сУммУ вида — ) (арара~а ) схР(...); р но после перехода в ней к интегрированию один множитель 1/Р остается, и в пределе $" — + со выражение обращается в нуль. Ясно, что этот результат имеет общий характер: в пределе $' -+ оо в среднем значении от произведения ф-операторов не обращаются в нуль лишь результаты попарных сверток.

Отметим, что в изложенном доказательстве по существу не использовалось, что усреднение производится именно по основному состоянию, и поэтому оно остается справедливым и при усреднении по любому квантовому состоянию системы '). З 14. Собственно-энергетическая функция Сформулированные в предыдущем параграфе правила диаграммной техники обладают важным свойством: общий коэффициент в диаграмме не зависит от ее порядка. В силу этого свойства каждая «фигура» на диаграмме имеет определенный аналитический смысл независимо от того, в какую диаграмму ) Но если усреднение производится по основному состоянию, то теорема Вика справедлива не только в макроскопическом пределе.

Соответствующее доказательство теоремы в статистике совпадает с ее доказательством в квантовой ю1ектродинамике (см. 111, 1 77). Вдннственное отличие между этими случаями — разные основные состояния: в вакууме частицы отсутствуют, а в идеальном газе заполняют ферми-сферу с радиусом рр. Для операторов ор, ор рождения и уничтожения частиц с р > рр это отличие вообще несущественно и доказательство переносится буквально. Для операторов же с Р < РР наДо пРеДваРительно пеРеобозначить ор — — Ьр, ор — — Ьр, т, е, пеРейти от частиц к дыркам, которые в основном состоянии внутри ферми-сферы отсутствуют.

77 СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕ'ГИ ГЕСКА55 ФЕНКЦИЯ она входит, .так что ее можно вычислять независимо, заранее. Мало того, можно заранее вычислить сумму некоторых фигур, имеющих определенное число концов, и затем вставить этот «блок» в более сложные диаграммы. Это одно из важнейп5их преимуществ диаграммной техники. Одним из таких «блоков55, имеющих также и существенное самостоятельное значение, является так называемая собсгпвенноэнергетическ и функция(), Чтобы прийти к этому понятию, рассмотрим все диаграммы для функции Грина, которые нельзя разделить на две части, соединенные лишь одной сплошной линией. К таковым относятся, например, обе диаграммы первого порядка теории возмущений (13.13) и диаграммы (13.14а- е) второго порядка. Все эти диаграммы построены однотипно: по одному множителю (С д по концам и некоторая внутренняя часть (0) (функция от Р), которую и называют собственно-энергетической функцией.

Сумму всех возможных таких частей называют точной или полной собственно-энергетической функцией или массовыл5 оператором; обозначим ес через — гЕ д(Р). Все диаграммы собственно-энергетического типа дают в гриновскую функцию вклад, равный (С й(Р)( — 4Г(5, (Р)')4С ~ (Р) = гС( ~(Р)Е(Р)С~ ~(Р)6 д, (14.1) где помимо С д — — С б (5 написано также и (О) (а) Вол(Р) = болЕ(Р). (14.2) Полная же функция Грина (изображаемая графически жирной сплошной линией) дается суммой бесконечного ряда = — 5 — Π— .5 — О-Π— + .