IX.-Статистическая-физика-часть-2 (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 14

С 5.5) где кружки изображают точные собственно-энергетические функции ( — гЕ д). Каждый член этого ряда (начиная с третьего) представляет собой совокупность диаграмм, которые могут быть рассечены на две, три и т. д. части, соединенные между собой одной сплошной линией. Если от всех членов ряда (14.3), начиная со второго, «отсечь» один кружок с присоединенной к нему справа линией, то оставшийся ряд будет снова совпадать с полным рядом. Это значит,что (14.4) ) Ср, аналогичное определение в квантовой злектродинамике, где такая функция называлась компактной собственно-энергетической (1У, ~ 103, 10о) .

78 ГРинсвские Функции ФеРми-системы пРи т = о гл. н В аналитическом виде зто равенство записывается как С(а) + С В С1о) (14.5) или, разделив на С1 )С: 1 1 гз1р) гз!о! гр) Отметим, что знак мнимой части Е совпадает со знаком 1ш С и, согласно (8.14), в!Ип 1!и Е(оз, р) = — в)йп ш, (14.7) Это следует из (14.6) с учетом того, что знак 1!и С противоположен знаку 1ш С, а согласно (9.7), 1ш С1е) 1 = О. Таким образом, вычисление С сводится к вычислению Е, требующему рассмотрения меныпего числа диаграмм. Это число еще более уменьшается в связи с тем, что часть оставшихся диаграмм сразу суммируется к очень простому выражению. Именно выделим из всей совокупности диаграмм, определяющих Е (при парном взаимодействии между частицами), те, которые представляют собой различные «отростки», присоединенные к концевым линиям одной штриховой линии: их сумму обозначим через Е .

Все такие диаграммы содержатся в одной скелетной диаграмме вида') (14.8) Остальную же часть Е обозначим через Ем Так, среди диаграмм первого и второго порядков к первой категории относятся следующие: Я Д с' () (14у) б в ) Как и в квантовой теории поля, скелетными называют диаграммы, составленные из жирных линий и блоков; каждая такая диаграмма эквивалентна определенной совокупности бесконечного числа обычных диаграмм различных порядков. 79 СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ФРНКЦИЯ а ко второй: (14.10) + М вЂ”;а — 'С вЂ”.М вЂ” 'М вЂ” + М вЂ” 'Ф вЂ” '~— г д — 1Е, = — гп(1ь) У(0).

(14.11) Таким образом, Е = п(р)У(0) + Еь, так что особого вычисления требуют лишь диаграммы, входящие в Ем Закон дисперсии квазичастиц определяется уравнением (8.16). Выразив в нем С через Е, согласно (14.6), и взяв С(Е~ из (9.7), получим это уравнение в виде = е(р) — ~ = Е(е — 1ь, р). (14.13) (14.12) На границе ферми-сферы при р = рг энергия квазичастицы сов- падает с ьь. Отсюда видно, что р-Е(0,.р,) = 2т (14.14) В результате уравнение закона дисперсии принимает (при зна- чениях р вблизи ря) вид е(р) — р = — (р — рг) + Е(е — 1ь, рг) — Е(0, рр). (14.15) Подчеркнем, что здесь ре точное значение граничного импульса для системы взаимодействующих частиц.

Соотношением р~~/Зя~ = п оно связано с точной плотностью п(р), а не с приближенной п(е~, как в (13.5). Жирной петле на диаграмме (14.8) отвечает точная плотность системы п(1ь) (подобно тому, как тонкой петле на диаграмме (13.13а) отвечает плотность идеального газа п(~~ (ьь) ). Поэтому из определения (14.8) следует, что 80 ГРиновские Функции ФеРми-системы ИРи т = 0 ГЛ.

Н 9 15. Двухчастичиая функция Грина К другим важным понятиям диаграммной техники мы придем, рассмотрев усредненное по основному состоянию Т-произведение четырех гейзенбсрговских 141-операторов '): К34 12 = (Т%3%4 т1 зр~ ). (15.1) Эту функцию называют двухчастичной функцией Грина (в отличие от функции Грина (7.9), называемой в этой связи одно- частичной) . Для применения теории возмущений и построения диаграммной техники надо снова перейти к 1)1-операторам в представлении взаимодействия. Как и в случае функции С, это приведет к появлению множителя Я под знаком Т-произведения: К34,12 (Трез р04р01 я02Я). (15.2) (Ж В нулевом приближении (т.

е, при о=1) это выражение распадается на сумму произведений двух сверток, выражающихся через С(0)- нк ии К34,12 ~31 ~42 ~32 ~41 (О) (О) (О) (О) (О) фу ц (15.3) Дальнейшее обсуждение свойств определенной таким образом двухчастичной функции Грина будем проводить в импульсном представлении. Для однородной системы функция К34 12 зависит фактически лишь от трех независимых разностей аргументов, например, от Х3 — Х2, Х4 — Х2, Х1 — Х2. В импульсном представлении это свойство выражается тем, что компонента разложения Фурье по всем переменным Х1, ..., Х4 содержит б-функцию: К34,12 ехр11(РЗХ3 + Р4Х4 — Р1Х1 — Р2Х2)) д Х1...

44 Х4 = = (2л) б( )(Рз+ Р4 — Р1 — Р2)К24 оз(Р3! Р4; Ры Р2). (15.4) В этом легко убедиться, заметив, что РЗХ3 + Р4Х4 — Р1Х, — Р2Х2 = = Рз(Х3 — Х2)+Р4(Х4 — Х2) — Р1(Х1 — Х2) — Х2(Р1+Р2 — Р3 — Р4), 1 ) Мы снова применяем упрощенные обозначения, где индексы 1, 2, . обозначают совокупности 4-координат н спннового индекса Хго, Хзд, .

(ср. примечание на с. 69). В полной записи Лз4,11 = Л !4 В(Хз, Х4; Х1, Хз) 3 15 81 ДВУХЧАСТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА и перейдя к интегрированию по Хз — Х4, Х4 — Х2, Х1 — Х2, Х2. Отметим, кстати, что формулу обратного фурье-преобразования можно записать как К34дв = /Ктв о3(РЗ Р4; Рм Рз+Р4 — Р1)х х ехр ( — 4 [ РЗ(ХЗ вЂ” Х2)+Р4(Х4 — Х2) — Р1(Х1 — Х2)] ) 444 Р1 444 Р344 Р4 (2к)11 (15.5) Определенную таким образом функцию КТЗ 3(РЗ, Р4, Р1, Р2) мы и будем называть двухчастичной функцией Грина в импульсном представлении; ес аргументы связаны равенством Р1 + Р2 = РЗ + Р4.

В нулевом приближении имеем для нее (в соответствии с (15.3)) К„.,(Р3, ЄЄР,) = (0) =(2к) [5 (~ 1 РЗ)СТо(Р1)С33(Р2) 5 (~ 1 1 4)СТ13(Р2)СЗа( 1)]1 (15.6) т. е. К сводится к сумме двух произведений одночастичных гриновских функций. В следующих приближениях теории возмущений появляются члены, сводящиеся к введению поправок к этим одночастичным функциям. Наряду с ними, однако, возникают также и члены, не укладывающиеся в произведения С-функций. Именно эта часть двухчастичной функции Грина представляет самостоятельный интерес. Для ее выделения представим К в виде К4„1414 <11аг(РЗ, Р4, 'Р1, Р2) =(2гг) [б (Р1 — РЗ) Сагаг(Р1 ) С414аг(Р2)— (Р1 Р4)СагагР2)Со4аг(Р1)]+ +Сагдг(РЗ)Со434(Р4)1Г13104,3143г(~ З~ 1 41Р1~ Р2)Сагаг(Р1)С13гог(~ 2)' (15.7) Определенную таким образом функцию Г называют вершинной функцией.

Согласно определению (15.1), двухчастичная функция Грина в пространственно-временном представлении антисимметрична по отношению к перестановкам аргументов (вместе со спиновыми индексами) первой и второй пары: 1 и 2 или 3 и 4. Отсюда 82 ГРиновские Функции ФеРми-системы пРи т = 0 ГЛ. Н Гчз „д(Рз, Р4; Р1, Р2) = — Гзт,„гу(Ра, Рз; Р1! Р2) = = — Гчз до(Рз, Р4; Р2, Р1). (15.8) Смысл выделения четырех С-множителей в определении Г (последний член в (15.7)) становится ясным, если проследить за характером диаграмм, возникающих при раскрытии выражения (15.2) для двухчастичной функции Грина.

Следующие ниже рассуждения снова предполагают парное взаимодействие между частицами. В нулевом приближении функции К сопоставляются диа- граммы Р4 =Р, Рз =Р! 1 4 — Р2 Рз Р2 отвечающие двум членам в (15.6). В первом порядке теории воз- мущений появляются диаграммы типов ') представляющие собой поправки к каждому из отдельных мно- жителей в (15.6) . Кроме них, однако, появляются также диаграм- мы, не разбивающиеся на две отдельные части: Рз Р! гр!" Р2~.~1 Р4~Р1 + , '(15.9) Р4 ~~ Р2 Рз ~~ Р2 Р2 Четыре стрелки Р1, ..., Р4 отвечают четырем С-множителям в посггеднем члене в (15.7)! а «внутренняя» часть диаграмм определяет (в первом порядке) вершинную функцию — кружок в левой части диаграммного равенства (15.9).

Раскрыв зти диаграммы в аналитическом виде, получим Гтз ор(Р3, Р4; Р1, Р2) = оотод417(гР1 РЗ) + оободтгггР1 Р4). ) Как н в случае одночастнчной функции Грина, множитель го) ! в определсннн (15.2) приводит к исчезновению диаграмм, содержащих отсоеднненные замкнутые петли сплошных линий. следует аналогичное свойство симметрии для функции Грина и вершинной функции в импульсном представлении: 3 15 83 ДВУХЧАСТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА Диаграммы более высоких порядков содержат поправки трех категорий: 1) дальнейшие поправки к двум не соединенным между собой сплошным линиям, 2) поправки собственно-энергетического типа к концевым линиям на диаграммах (15.9), 3) поправки, образующие фигуру, заменяющую собой штриховую линию на диаграммах (15.9); сумма всех возможных таких фигур и дает точную вершинную функцию гТ.

В графическом представлении двухчастичной функции Грина суммой скелетных диаграмм Рз 'Я Рз =Рг Р4 — Рг + (15.10) Р4 — Рз Рз=Р2 Рг в б (15.11) 3 + ~ ) + ,', :+,') +(3444). в г жирные линии изображают точные С-функции, а кружок условно обозначает вершинную функцию. Вычисление вершинной функции в различных порядках теории возмущений должно производиться по сформулированным в 3 13 правилам диаграммной техники, причем должны рассматриваться диаграммы с четырьмя внешними концами (а не с двумя, как при вычислении С). Правило 3), определяющее общий знак диаграммы, должно быть дополнено следующим указанием; если непрерывными последовательностями сплошных линий связаны концы 1 с 4 и 2 с 3 (вместо 1 с 3 и 2 с 4), то знак диаграммы меняется на обратный. Изобразим, для примера, все диаграммы, определяющие вершинную функцию во втором порядке теории возмущений: 84 ГРиновские Функции ФеРми-системы ИРи т = е гл.

и Собственно-энергетическая и вершинная функции (Е и Г) не независимы; они связаны друг с другом определенным интегральным уравнением (так называемым уравнением Дайсона) '). Для его вывода воспользуемся уравнением (9.5), справедливым (как было отмечено там же) и при учете взаимодействия частиц.

Разница по сравнению с выводом в 29 состоит, однако, в том, что теперь ф-оператор удовлетворяет уравнению (7.8). Опустив в последнем член с внешним полем и подставив из него производную д!Р/д!1 в (9.5), получим — + — ' + 11~) С,з(Х1 — Хз) — бе~5(~)(Х1 — Х2) = д!! 2т 4|(ТЬ (Хз)(7(Х1 — Хз)Ф7(Хз)с( Хз !р (Х1)!рф(Х2)) = = — 4/Кзо 7!з(Хз, Х1, Хз, Х2)(71з !4 Хз. (15.12) Это равенство решает, .в принципе, поставленный вопрос, так как К выражается через Г согласно (15.7).