IX.-Статистическая-физика-часть-2 (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 10

Гу', О 75). 53 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИИ СПЕКТР И ФРИКЦИИ ГРИНА Аналогичным образом вычисляется интеграл по Ж от — сс до О. При 1 ( 0 вместо (8.5) имеем Д(1 г) ~,-](т]ф (0)]0)] е*(~,.ог- г) (8 б) где ююо = Ею(Х вЂ” 1) — Ее(Х) +,и. Вычислив теперь интеграл от — оо до 0 и сложив оба интеграла, получим ( )' ~ А,4( —,.) ~ ] „Е.(Х) — Е,„(Л Ц О+ + (1 ), (8.7) + и+ К„(Х вЂ” 1) — йоР') — 1О) ' где обозначено А = ](0]ф (0)]т)]~, В = ](тп]у) (0)]0)]2.

(8.8) Это и есть искомое разложение '). Введем обозначения е~~~ = Егв(Х+ 1) — Ео(Х), .е~ ~ = Ее(Х) — Е (Х вЂ” 1) (8.9) для энергий возбуждения, определенных по разностям между возбужденным уровнем системы с определенным числом частиц и основным уровнем системы, содержащей на одну частицу больше или меньше. Индексы (+) и ( — ) указывают, что эти энергии (8.10) Действительно, заметив, что Ее(Х+1) — Ее(Х) — дЕе1'дХ = 1А химический потенциал при Т = О, получим, например, емэ = Е (Х + 1) — Ео(Х + 1) + Ео(Х + 1) — Ео(Х) = — (Е~(Х + 1) — Ео(Х + 1)] + )А. Но разность в квадратных скобках (где обе энергии относятся к системам с одинаковым числом частиц) положительна по определению основного состояния, откуда и следует, что к'+~ ) )А. К смыслу определения (8.9) мы еще вернемся ниже.

') Аналогичное разложение в квантовой теории поля называют формулой Челлена — Лемана (см. 1У, 1104,11Ц. ГРИНОЕСКИЕ ФРИКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ 2' = Е гл. и Сдвиг полюсов членов суммы (как функций е(), выражаемый слагаемыми хгО в нх знаменателях, эквивалентен появлению б-функционных мнимых частей согласно правилу ') (8.11) = Р- ~ зяб(х). хх(0 х Применив его к (8.7), найдем вещественную часть гриновской функции ~Р(В ю(В-В (, В !ЬВВ (1 ( (ы ( .( ! и се мнимую часть (здесь надо учесть, что все разности е( ( — )з> О, а все разности е~ ( — )з< О); 1тпС(о(, р) = — 4п~ ~~ А б(р — Р,„) б((о+)з — е(т() при е! > О, (8.13) 4я~ ~ ~В б(р+Р ) б((с+)з — е~ () при о( < О. Отсюда видно, что всегда (8.14) в(8п 1пт С(о!, р) = — е(яп е(. Отметим также асимптотическое поведение функции С(а(, р) при (и — Р сс.

Из (8.7) имеем С(а(, р) = — ~ ~(А б(р — Р )+В б(р+Р )). Коэффициент при 1('е! равен, как легко убедиться, компоненте ) См. 111, (43.10). Знак Р означает, что при интегриронании выражений вида 1 (х)(((х х (0) интеграл должен пониматься н смысле главного значения (1х = (1х ~ вяу(0). ххвО,/ х Второй член возникает от обхода полк(са х = — (0 (или х = (0) по повгу- окружности сверху (или снизу). 55 энеРГК'Гический спектР и Функции ГРинА Фурье по г1 — г2 от 2 -~Ф,„(1, гг)1Р„(1, г2) + Ф~(1, г2)Ф,„(1, гг)) = б(г1 — г2), т.

е. единице. Таким образом, С(ы, р) -+ 1/м при ~ш~ -+ ос. (8.15) С ~(е —,и,р)=0 (8.16) определяется закон дисперсии квазичастиц (В. Л. Бонч-Бруевич, 1955). Подчеркнем, что способ определения энергии возбуждения, согласно (8.9), как раз соответствует определению энергии квазичастиц в теории Ландау. Действительно, разность е'~' есть изменение энергии системы при добавлении к ней одной частицы; приписав все это изменение одной квазичастице, мы определяем Главное свойство функции Грина в импульсном представлении состоит в том, что ее полюсы могут лежать только в точках ш = е — р, где е —. определенные указанным выше образом дискретные энергии возбуждения системы.

Каждая из этих энергий отвечает определенному значению импульса системы Р,„, о чем свидетельствует наличие соответствующей б-функции в каждом полюсном члене функции Грина. Нас, однако, интересует здесь функция Грина макроскопического тела. Это значит, что рассматривается предел, когда объем И и число частиц Х стремятся к бесконечности (при заданном конечном значении отношения Х/Ъ'). В этом пределе расстояния между уровнями системы стремятся к нулю, полюсы функции С(м, р) сливаются и можно утверждать лишь, что эта функция имеет мнимую часть при значениях ш + р в непрерывной области возможных значений энергии возбуждения системы. Исключение составляют, однако, .возбуждения, в которых весь импульс р макроскопической системы может быть приписан всего одной квазичастице с определенным законом дисперсии е(р) (напомним, что в основном состоянии системы р = О); таким значениям отвечают изолированные полюсы функции Грина.

Если же импульс р складывается из импульсов нескольких квазичастиц, то энергия системы уже не определяется однозначно значением р: заданный импульс системы может складываться различным образом из импульсов квазичастиц, сумма энергий которых пробегает при этом непрерывный ряд значений; интегрирование по всем таким состояниям устраняет полюс. Таким образом, уравнением ГРинсвские Фтнкции ФеРми-системы НРи т = о гл.

и е в соответствии с (1.3). Аналогичным образом., — е~;,' есть изменение энергии при удалении одной частицы, так что е~ 1 есть энергия удаленной квазичастицы. Естественно поэтому, что е~ ' < )1, так как в теории Ландау квазичастица может быть удалена только изнутри ферми-сферы '). Поскольку все фигурирующие в разложении (8.7) возбужденные состояния получаются из основного состояния добавлением или удалением одной частицы (со спином 1/2), то ясно, что для системы фермионов полюсы функции Грина определяют лишь спектр элементарных возбуждений фермиевского типа.

Как определяется бозевская ветвь, будет показано ниже, в 8 18. Описание спектра макроскопической системы с помощью понятия о квазичастицах с определенной зависимостью е от р приближенное описание, .точность которого падает с увеличением ~е — )«~. Отклонение от картины независимых квазичастиц проявляется в сдвиге полюса функции Грина в комплексную областги энергия е(р) становится комплексной.

Согласно общим правилам квантовой механики (см. Ш, 8 134), комплексность уровней энергии означает конечность времени жизни т возбужденного состояния системы (т 1/)1ше~). Сама же величина 1ше характеризует степень «размазанностиа значений энергии квазичастицы (ширина уровня). Разумеется, такая трактовка имеет смысл лишь при условии достаточной малости мнимой части: ~1пге~ << ~е — )т~. Как было объяснено в 81, это условие действительно выполняется для слабо возбужденных состояний системы, поскольку ~1ше~ 1(т сс (р — рр), в то время как Ке е — )т) сх (р — рр~.

еобходимый знак 1пг е обеспечивается определенностью знака мнимой части функции Грина. Действительно, вблизи своего полюса эта функция имеет вид ~( )=,() (8.17) причем постоянная У ) О, как это следует из положительности коэффициентов А, В в разложении (8.7); величину Я часто называют (по аналогии с квантовой электродинамикой) перенормировочной постоянной.

Мнимая часть функции Грина 1шС = г1ше +и — 4' ) Обратим внимание на то, что в определение энергии квазичастиц «1 возбужденный уровень системы Е входит со знаком минус. С этим связан и тот факт, что импульс этих квазичастиц р = — Р, как видно из б-функции б(р -~- Р ) в соответствующих членах разложения (8.7). 57 ФУНКЦИИ ГРИНА ИДЕАЛЬНОГО ФЕРМИ-ГАЗА 1ш е < О при Ке е > р, 1ше ) О при Нее < р, (8.18) как и должно быть: такой знак 1ш е в обоих случаях (е'~~ и е~-' в (8.9)) соответствует правильной отрицательной мнимой добавке к энергии возбужденного состояния Е К аналитическим свойствам гриновской функции мы вернемся в з36, где этот вопрос будет рассмотрен сразу для общего случая произвольных температур.

5 9. Функция Грина цдеального ферми-газа Для иллюстрации рассмотренных в предыдущем параграфе общих соотношений вычислим функцию Грина идеального газа. Шредингеровские ф-операторы всегда можно представить в виде разложения (9.1) по полному набору функций фр„(г, О) спинорных волновых функций свободной частицы с импульсом р и проекцией спина О, т.

е. по плоским волнам УГ=У (9.2) (и спинорная амплитуда, нормированная условием и и* = 1); такой выбор функций фр не имеет отношения к реальному взаимодействию частиц в системе. Но для системы невзаимодействующих частиц может быть записан в явном виде также и гейзенберговский Гд-оператор. В этом случае переход от шредингеровского к гейзснберговскому представлению сводится к введению в каждый член суммы в (9.1) соответствующего временного множителя 1АГ (1, г) = ~~~ аи фн (г, О) ехр ~ — г(~ — рт~$1. (9.3) ии В этом легко убедиться, заметив, что матричные элементы гейзенберговского оператора для всякого перехода г -+ ~ должны Заметив, что это выражение относится к значениям ш е — д и сравнив его знак с правилом (8.14), найдем, что 58 ГРинсвские Функции ФеРми-системы ИРи т = е ГЛ.

И содержать множители ехр( — 1(Е! — Е~)1], где Е,', Е~ энергии начального и конечного состояний (в данном случае это .. собственные значения гамильтониана Й' = Й вЂ” 1ТЛ). Для перехода с уменьшением числа частиц в состоянии р сг на 1 разность Е! — Е~ — — р~/2т, — д, так что указанное требование выполнено. Однако вместо прямого вычисления функции Грина с помощью (9.3) по определению (7.10), удобнее свести сначала это определение к эквивалентному ему дифференциальному уравнению. Для этого продифференцируем функцию С д(Х! — Х2) по 1!.

При этом надо учесть, что в точке 1! = 12 эта функция разрывна. Действительно, согласно определению (7.10), скачок функции (Са!3] = Сад]!г=!г-Ре Сад~]!г=!г — Е = = — !(геа(1!, г!)1Р~~(2!, г2) + гР~~(1г, г2)гРа(1г, г!)) или в силу (7.3) ') (С я] = — !б дб(г! — г2). (9.4) Наличие скачка приводит при дифференцировании к появлению члена (С д]5(~! — 12). Поэтому Для системы свободных частиц гейзенберговский ф-оператор удовлетворяет уравнению дге' 1 1 = — — Ьгга — РгРа дс 2нг (ср. с (7.8)).

Подставив эту производную в (9.5) и снова воспользовавп!ись определением (7.10), получим уравнение для функции Грина (т' — + — + д) С!~) (1! г) = 6(1) 5(г), (9.6) ') Подчеркнем, что величина этого скачка вообще не зависит от взаимодействия частиц! — С и = — 1! Т " гй' (Х2) — 1б дб(г! — Г2)б(!! — 12). (9.5) д .