IX.-Статистическая-физика-часть-2 (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 6

Рассмотрим в качестве примера случай, когда функция Е(д) сводится к постоянной (обозначим ее ЕО). Интеграл в правой стороне уравнения (4.12) не зависит при этом от углов д, у. Поэтому искомая функция и имеет вид и = сопв1. (4.14) з — сов В Ферми-поверхность приобретает, таким образом, форму поверхности вращения, вытянутой вперед по направлению распространения волны и сплюснутой в обратном направлении. Эта анизотропия является проявлением неравновесности состояния жидкости в каждом элементе ее объема: в равновесии вге свойства жидкости должны быть изотропными и тем самым ферми- поверхность — сферической. Укажем для сравнения, что обычной звуковой волне соответствует сферическая ферми-поверхность колеблющегося радиуса (граничный импульс рр колеблется вместе с плотностью жидкости), смещенная как целая на величину, связанную со скоростью движения жидкости в волне; соответствующая функции и имеет вид и = Врр+ сопз1.

сов д. Для определения скорости распространения волны нулевого звука ио подставляем (4.14) в (4.12) и находим / соа В 2я зва ВВВ до~ ,/ з — сов В 4я о Произведя интегрирование, получим уравнение, определяющее в неявном виде скорость ио по заданной величине го. — 1п — 1 = —. (4.15) 2 з — 1 В'с Функция в левой стороне уравнения убывает от оо до О при изменении з от 1 до оо, оставаясь всегда положительной. Отсюда следует, что рассматриваемые волны могут существовать только при РО > О.

ПОдчсркнвм, чтО вОЗмОжнОСть раСпрОСтранЕния нулевого звука зависит, таким образом, от свойств взаимодействия квазичастиц в ферми-жидкости. ) Такой механизм затухания называют затуханием Ландау; оно будет подробно изучено в томе Х в связи с колебаниями плазмы. Правило обхода полюса в интеграле устанавливается заменой ю на ы + гО (т. е.

з — ~ а + 10), смысл которой состоит в том, что ею обеспечивается конечность возмущения во все предыдущие моменты времени (в том числе при 1 — ~ — со). 31 НУЛЕВОЙ ЗВУК При Ро -+ 0 найдем из (4.15), что е стремится к 1 по закону  — 1 = 2е 2е заре (4.16) Этот случай имеет более общее значение, чем формула (4.15), предполагающая Г = сопе1 = го, он соответствует нулевому звуку в почти идеальном ферми-газе при произвольном виде функции г'(д). Действительно, почти идеальному газу соответствует малая по абсолютной величине функция Р(д).

Из уравнения (4.12) видно, что при этом з будет близким к 1, а функция и заметно отличной от нуля лишь при малых углах О. На этом основании, рассматривая лишь область малых углов, можно заменить в интеграле в правой стороне (4.12) функцию и'(д) ее значением при д = 0 (при д = 0 и д' = 0 также и д = 0).

В результате мы снова вернемся к формулам (4.14) и (4.16) с заменой константы Ре на Р(0) '). Отметим, что в слабо неидеальном газе скорость нулевого звука превышает скорость обычного звука в ~' 3 раз. Действительно, для первой имеем ио — ир, а для второй находим из формулы (2.17) (пренебрегая в ней г' и положив т* тп), и2 рр73т*~ = и~~/3. В общем случае произвольной зависимости Г(0) решение уравнения (4.12) неоднозначно. Оно, в принципе, допускает существование различных типов нулевого звука, отличающихся друг от друга угловой зависимостью их амплитуды р(В, у) и распространяющихся с различными скоростями. При этом наряду с аксиально-симметричными решениями и(д) могут существовать и асимметричные решения, в которых и содержит азимутальные множители е. '~т, где т целыс числа (см.

задачу). Отметим, что для всех таких решений интеграл ) рдо = О, т. е. объем, заключенный внутри ферми-поверхности, остается неизменным; это значит, что колебания происходят без изменения плотности жидкости. Возможность распространения волн в ферми-жидкости при абсолютном нуле означает, что ее энергетический спектр может содержать ветвь, отвечающую элементарным возбуждениям с импульсом р = Яс и энергией е = йго = иор — «кванты нулевого звука» . Тот факт, что нулевой звук (с любым заданным 1«) может иметь произвольную (малую) интенсивность, в терминах элементарных возбуждений означает, что последние могут заполнять свои квантовые состояния в любом числе; другими словами, ') Колебания, соответствующие нулевому звуку в слабо неидеальном ферми-газе, были впервые рассмотрены Ю.

Л. Климонглоеинем и В. П. Силиным (1952). 32 нОРмАльнАя ФеРми-жидкость они подчиняются статистике Бозе и образуют, как говорят, бозевскдю ветвь спектра ферми-жидкости. Подчеркнем, однако, что в рамках теории, Ландау было бы неправильным вводить соответствующие этой ветви поправки в термодинамические величины ферми-жидкости, поскольку они содержат более высокие степени температуры (Т в теплоемкости), чем уже первые поправки к изложенной приближенной теории. Вопрос о поглощении нулевого звука требует рассмотрения столкновений квазичастиц и не относится к содержанию этого тома.

Задача Найти скорость распространения асимметричных волн нулевого звука при Г = Го+ Г1 соед. Решение. При Г = Ге+ Г1(созО сов О' 4-япдяв0'сов(1Р— 1Р)) могут существовать решения с Р сг ешт. действительно, положив и = у(0)е1", подставив в (4.12) и произведя интегрирование по 11у', получим (з — созО)г = — созВяиВ~Е1п О'у(0') с~0'.

1 а Отсюда ешд сов В 1„ и = сопзс. е1", е — сов В Подставив зто выражение обратно в уравнение, получим соотношение з1из В соз 0 4 з — соз В Г1 а определяющее зависимость скорости распространения от Г1. Интеграл в левой стороне равенства является монотонно убывающей функцией е. Позтому его наибольшее значение достигается при е = 1. Вычислив интеграл при е = 1, найдем, что распространение асимметричной волны рассмотренного вида возможно при Г1 ) 6 ).

2 5. Спиновые волны в ферми-жидкости Наряду с рассмотренными в предыдущем параграфе решениями ип, не зависящими от спина, уравнение (4.10) имеет также и решения вида р = 1тр(п), (5.1) 1 ) Для жидкого 1Не можно вычислить Ге и Г1 по известным значениям т* и и с помощью формул (2.12) и (2.17); Ге=10,8, Г1=6,3 (при нулевом давлении). 33 СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ в которых изменение функции распределения квазичастиц зависит от проекции их спина. Такие волны можно назвать спиновими. Подставив (5.1) в (4.10), снова взяв функцию г" в виде (2.4) и заметив, что Яр' о'(о о') = 2сг, получим (после сокращения на о ) (е — соеВ)м(В, ~о) = соеВ~С(В)р(В, ~р') — ". (5.2) 4в Таким образом, для каждой из компонент вектора м получается уравнение, отличающееся от (4.12) лишь заменой В' на С.

Поэтому все дальнейшие вычисления, произведенные в 2 4, могут быть применены и к спиновым волнам '). Спиновые волны другого типа могут распространяться в ферми-жидкости в присутствии магнитного поля (В. П. Силин, 1958). Мы ограничимся здесь рассмотрением колебаний с )с = О, в которых бй не зависит от координат. При наличии магнитного поля Н уже «невозмущенные» колебаниями энергия квазичастиц и функция их распределении зависят от спина.

Эти зависимости связаны друг с другом и выражаются формулами (см. 2 3) ее = ео(р) — )31сгН )31 = )3/(1+ С) (5 3) пд = по(р) — — "')31оН = по(р) + б(е — Ер)ЯоН, (5.4) |Й где ео(р) энергия в отсутствие поля; индекс О снова напоминает о том, что эти выражения относятся к равновесной жидкости. Снова ищем малую переменную часть функции распределения в волне в виде бй = б(в — вр) т,и(п)е '"'.

Соответствующее изменение энергии квазичастицы: бГ= о 4«(п')С(д) — е ' '. 4к В кинетическом уравнении должен быть учтен теперь член (4.4) с коммутатором 1Г, йз1; для не зависящих от координат распределений оно принимает вид + -1Г, й) = О. (5.5) С точностью до линейных по бй членов имеем 1Г, й) = — )311оН, бй1+ )з1б(е — ер)1бГ, оН1. ) В жидком зНе величина Се = С(д) < О (см.

примЕчание на С. 2о). Поэтому распространение таких волн в этой жидкости невозможно. 2 е м.лф вл.п,п вс и ИОРмАлъиАЕ ФЯРми-жидкость Стоящие здесь коммутаторы определяются формулой 1о а, !тЬ1 = 2мг[аЬ], где а, Ь вЂ” произвольные векторы (см. 111, (55.10)); в результате кинетическое уравнение приводится к виду !ыр(п) = — ![Нр(п)], 6 (5.6) где р(п) = !М(п) + / р(п') С(д) —.

(5.7) ть!вор = — [Н!и]' гр 6 колебания поперечны к полю (р 1 Н). Расписав уравнение в компонентах (в плоскости, перпендикулярной Н) и составив определитель этой системы, найдем частоту ыео = 2ро(й. (5.8) Напомним, что !6 — магнитный момент частицы (истинной) жидкости. Таким образом, частота ыоо оказывается вовсе не зависящей от специфических свойств жидкости.

Значения же всех остальных частоты! зависят от конкретного вида функции С(д). й 6. Вырожденный почти ццеальный ферми-газ с отталкиванием между частицами В этом параграфе мы рассмотрим свойства почти идеального вырожденного ферми-газа. Этот вопрос представляет существенный методический интерес, несмотря на то, что такие газы не существуют в природе как равновесные системы, поскольку все газы при температуре абсолютного нуля конденсируются.

Тем не менее, разреженный ферми-газ может быть осуществлен как метастабильный объект с достаточно большим временем жизни. Излагаемая ниже теория, в которой конденсация исключена характером сделанных приближений, пригодна для описания таких систем на временах, много меньших времени жизни. В общем случае решение уравнения (5.6) может быть разложено в ряд по шаровым функциям У! (д, !р) (с полярной осью вдоль Н). Каждый член разложения представляет определенный тип колебаний со своей частотой ы! Первой из них, шее, отвечают колебания с р = сопй; при этом р = гг(1+ С) и уравнение (5.6) сводится к 35 выгожденный по гти идеАльный ФеРми-ГАЗ Условие слабой неидеальности газа заключается в малости радиуса действия молекулярных сил го по сравнению со средним расстоянием между частицами 1 (Ъ'/Х)~(~. Вместе с условием го « 1 будет справедливо также и неравенство Рго)" « 1 (6.1) для импульсов р частиц.