IX.-Статистическая-физика-часть-2 (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 3

Энергия же элементарного возбуждения е в общем случае является не только функцией от импульса, но и оператором по отношению к спиновым переменным, который можно выразить через оператор спина квазичастицы Й. В однородной и изотропной жидкости (не находящейся в магнитном поле и не ферромагнитной) оператор в может входить в скалярную функцию е тоже лишь в виде скаляров Й или (Йр); первая степень произведения Йр недопустима, поскольку в виду аксиальности вектора спина она является псевдоскэляром. Квадрат Й~ = я(я + 1), а для спина я = 1/2 сводится к не зависящей от Й постоянной также и скаляр (Йр)2 = р2/4. Таким образом, в этом случае энергия квазичастицы вовсе не зависит от оператора спина, т. е, все уровни энергии квазичастиц двукратно вырождены. По существу утверждение о наличии спина у квазичастицы и выражает факт существования этого вырождения.

В этом смысле можно утверждать, что спин квазичастиц в данном типе спектра всегда равен 1/2, вне зависимости от величины спина истинных частиц жидкости. Действительно, для любого отличного от 1/2 спина э члены вида (Йр)~ привели бы к расщеплению (2Я+1)- кратно вырожденных уровней на (2э + 1)/2 уровней с двукратным вырождением. Другими словами, появляются (2э+1) /2 различных ветвей функции е(р), каждая из которых соответствует <квазичастицам со спином 1/2Р. Как уже было отмечено, с учетом спина квазичастиц функция распределения становится матрицей или оператором й(р) по отношению к сливовым переменным. В явном виде этот оператор записывается как эрмитова статистическая матрица и д(р), где а, ф спиновые матричные индексы, пробегающие два значения 3:1/2.

Диагональные матричные элементы определяют числа квазичастиц в определенных спиновых состояниях. Поэтому условие нормировки функции распределения квазичастиц надо писать теперь в виде ,1з Вр/ййт = ~п йт = —, г1т = " (1.2) (2Я6)з 1 элементАРные Возвяждения В кВАнтОВОЙ ФеРми-жидкОсти 15 (1. 5) (1. 7) ') Здесь и везде ниже по дважды повторяющимся индексам, как обычно, подразумевается суммирование. (символ Яр означает взятие следа матрицы по спиновым индексам)'). Оператором матрицей по спиновым переменным является в общем случае также и энергия квазичастицы е. Ее определение надо записывать так: — = Ър~ ебйс1т =~К Ебпа с1т.

6Е (1.3) $' Если спиновая зависимость функции распределения и энергии отсутствует, т. е. п„я и е д сводятся к единичной матрице и д = пб д, е я = еб„д, (1.4) то взятие следа в (1.2), (1.3) сводится просто к умножению на 2: 2~пот = —, — = 2~ебпсгт. Х 6Е и' Легко видеть, что в статистическом равновесии функция распределения квазичастиц имеет вид распределения Ферми, причем роль энергии играет определенная согласно (1.3) величина е. Действительно, в силу совпадения классификационных свойств уровней энергии жидкости и идеального ферми-газа энтропия Я жидкости определяется таким же комбинаторным выражением — = — Яр 1(й1пй+ (1 — й) 1п(1 — й)) с1т, (1.8) р как и в случае газа (см. Ъ', 355). Варьируя это выражение при дополнительных условиях постоянства полного числа частиц и полной энергии 6% Г 6Š— = Вр~ бйг1т = О, — = Бр~ ебйг1т = О, / мы получим искомое распределение [ 1е — ру(г 1 1] — 1 где д — химический потенциал жидкости.

При не зависящей от спина энергии квазичастиц формула (1.7) означает такую же связь между величинами п и е: п=[е1' "1~ +Ц (1.8) При температуре Т = О химический потенциал совпадает с граничной энергией на поверхности сферы Ферми: дат=О = ер — = е(рр). (1.9) ногмалъная Финми-?кидкость Подчеркнем, что несмотря на формальную аналогию выражения (1.8) с обычным распределением Ферми, оно нс тождественно с ним: поскольку е само есть функционал от и, формула (1.8) представляет собой, строго говоря, сложное неявное определение зи Вернемся к сделанному предположению о том, что каждой квазичастице может быть приписан определенный импульс.

Условие справедливости этого предположения требует, чтобы неопределенность импульса (связанная с конечностью длины свободного пробега квазичастицы) была мала не только по сравнению с величиной самого импульса, но и по сравнению с шириной глр «области размытости» распределения -- области, в которой оно существенно отличается от «ступенчатой» функции'): (1.10) Легко видеть, что это условие соблюдается, если распределение п(р) отличается от (1.10) лишь в малой области вблизи поверхности ферми-сферы. Действительно, в силу принципа Паули взаимно рассеиваться могут только квазичастицы в области размытости распределения, причем в результате рассеяния они должны переходить в свободные состояния в той же области. Поэтому вероятность столкновения пропорциональна квадрату ширины этой области. Соответственно пропорциональна (Ьр)~ и неопределенность энергии, а с нею и неопределенность импульса квазичастицы.

Отсюда ясно, что при достаточно малом глр неопределенность импульса будет мала нс только по сравнению с рР, но и по сравнению с Ьр. Таким образом, излагаемый метод справедлив только для таких возбужденных состояний жидкости, которые описываются функцией распределения квазичастиц, отличающейся от «ступеньки» лишь в узкой области вблизи поверхности Ферми. В частности, для термодинамически равновесных распределений допустимы лишь достаточно низкие температуры. Ширина (по энергии) области размытости равновесного распределения порядка Т.

Квантовая же неопределенность энергии квазичастицы, связанная со столкновениями, порядка величины Цт, где т время свободного пробега квазичастицы. Поэтому ) Отметим для дальнейшего, что производная В'(Р) = — 6(Р— Рг). Действительно, обе стороны »того равенства дают одинаковый результат (едннипу) при интегрировании по любому интервалу Р, содержащему точку Р = Ря. 1 элементАРиые ВОзнеждения В квантовой ФеРми-жидкОсти 17 условие применимости теории Ь7т « Т. (1.11) При этом, согласно сказанному выше, время т обратно пропорционально квадрату ширины области размытости, т. е. т сс Т так что (1.11) заведомо выполняется при Т -+ О. Для жидкости, в которой взаимодействие между частицами не является слабым, все энергетические параметры по порядку величины совпадают с граничной энергией ер; в этом смысле условие (1.11) эквивалентно условию Т « )ер ~ ').

Для распределений, близких к «ступенчатому» (распределение при Т = 0), можно, в первом приближении, заменить функционал е его значением, вычисленным для п(р) = д(р). тогда е становится определенной функцией величины импульса, и формула (1.7) становится обычным распределением Ферми. При этом вблизи поверхности ферми-сферы, где функция е(р) только и имеет непосредственный физический смысл, ее можно разложить по степеням разности р — рр.

Имеем е — ер - -нр(Р— Рр), где чр =— (1.13) ар , „, есть «скорость» квазичастиц на ферми-поверхности. В идеальном ферми-газе, где квазичастицы тождественны с истинными частицами, имеем е = р2/2т, так что пр = рг/т. По аналогии можно ввести для ферми-жидкости величину тп" = рр/пр, (1.14) назвав ее эффективной массой квазичастицы: эта величина положительна (см. конец З 2). В терминах введенных таким образом величин условие применимости теории можно записать как Т « пррр, причем реальным смыслом обладают лишь квазичастицы с импульсами р, для которых ~р — рр~ << рр. Подчеркнем лишний раз последнее обстоятельство и отметим, что оно придает в особенности нетривиальный характер соотношению (1.1) между рр и плотностью жидкости, поскольку его наглядный вывод (для ферми-газа) ') Для жидкого 'Не, однако, область количественной применимости теории, как показывает эксперимент, фактически ограничена температурами Т < 0,1К (между тем как ~ЕР~ 2,5К).

18 ИОРмАлъиАя ФеРми-жидкость основан на представлении о частицах в состояниях, заполняющих всю ферми-сферу, а не только окрестность ес поверхности '). Эффективная масса определяет, в частности, энтропию Я и теплоемкость С жидкости при низких температурах. Они даются той же формулой, что и для идеального газа (Ъ',358), в которой надо только заменить массу частицы гп эффективной массой т*: Я=С=)гут, у= "' = ( ) (") (1.15) ) Доказательство соотношения (1.1) требует применения бачее сложных математических методов и будет дано ниже, в 120. )Для жидкого эНе (при нулевом давлении): рр/6=0,8 10" см ~; гп* = = 3,1 ш (э Не); рг определяется по плотности жидкости; т" — по теплоемкостн ) Напомним (ср.

У, 163), что в таких условиях чиню квазичастиц Жкв определяется условием термодинамического равновесия — минимальностью свободной энергии г как функции Лгкв нри заданных температуре и объеме; (дГ(дЯкв)т, Р = 0; но эта производная и есть «химический потенциал квазичастиц» (не смешивать его с химическим потенциалом д жидкости, определяемым производной от г по числу истинных частиц дг). (ввиду линейной зависимости от Т величины Я и С совпадают).

Действительно, выражение (1.6) энтропии через функцию распределения одинаково для жидкости и для газа, а при вычислении этого интеграла существенна лишь область импульсов вблизи рр, в которой функции распределения квазичастиц в жидкости и частиц в газе даются одним и тем же выражением (1.8) '). Перед тем как продолжить развитие теории, сделаем следующее замечание. Хотя излагаемый способ введения понятия квазичастиц в ферми-жидкости в полной аналогии с частицами газа наиболее удобен для систематического построения теории, связанная с ним физическая картина имеет тот недостаток, что в ней фигурирует ненаблюдаемая заполненная ферми-сфера квазичастиц. Этот недостаток можно было бы устранить формулировкой, в которой элементарные возбуждения появляются только при Т ф О.

В такой картине роль элементарных возбуждений играют квазичастицы вне ферми-сферы и «дыркиа внутри нее; первым надо приписать (в приближении, отвечающем формуле (1.12)) энергию е = ьр(р — рр), а вторым е = ир(рр — р). Статистическое распределение тех и других дается формулой распределения Ферми с равным нулю химическим потенциалом (в соответствии с тем, что число элементарных возбуждений при этом не постоянно, а определяется температурой')) и= [е' +1) (1.16) 19 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КВАЗИЧАСТИЦ Элементарные возбуждения в этой картине появляются или исчезают лишь парами, так что полные числа возбуждений с импульсами р ) рк и р ( рк всегда одинаковы.