I.-Механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 36

) В специальных случаях может оказаться, что разложение (51.4) не содержит члена с 1 = 1 (см., например, задачу к э~ому параграфу); во всех случаях надо брать член с наименьшим имеющимся в ряду значением 1. ) Если медленность изменения параметра Л выражается в том, что он зависит от 1 лишь в виде отношения Е = 1/т с большим т, то ге = тЦе, где 5с — не зависящая от т особая точка функции Л(Е,).

э) Отметим, что если начальное и конечное значения функции Л(1) совпадают (Лэ = Л ), то экспоненциально малой будет не только разность А!, но вместе с нею также и разность АЕ = Е.~ — Е конечной и начальной энергии; согласно (49.9) будем иметь АЕ = шА1. ) Более подробное доказательство сделаных утверждений, а также вычисление предэкспоненциального множителя в формуле (51.б), можно найти в статье: Слуцкин А.А.О2КЭТФ.

1963.— Т. 45. С. 978. з 81 тОчнОсть сОхРАнениЯ АдиАВАтическОГО инВАРиАнтА 211 Интеграл же (51.5) с ш из (51.8) (и с одним членом ряда (51.4) в качестве дЛт'дтв) принимает вид ЛТ Ве се' (51.10) со(1, А) Отсюда видно, что в качестве конкурирующих (при отборе ближайшей к вещественной оси) особых точек фигурируют особенности (полюсы, точки ветвления) функций )с(1) и 1ттсо(1).

Напомним в этой связи, что заключение об экспоненциальной малости сз1 связано с предположением, что указанные функции не имеют вещественных особых точек. Задачи 1. Оценить Л1 для гармонического осциллятора с частотой, медленно меняющейся по закону 1+ аеот 2 2 ат = соо +е от значения ш = шо при 1 = — со до шт = рта шо при 1 = со (а > О, сс « шо) ) Р е ш е н и е. Понимая под параметром А саму частоту ш, имеем тс сс ( а 1 ш 2 (,е "'+а е от+1) Эта функция имеет полюсы при е са = — 1 и е "т = — а. Вычислив интеграл ( шс1с, найдем, что наименьшее значение 1шюо происходит от одного из полюсов п1о = — 1п( — а) и равно шопттсс при а > 1, 1шюо = шопстаттсс пРи а < 1.

Для гармонического осциллятора Л эш2ю (см. задачу к Збо), так что ряд (31.3) сводится к двум членам с (1 = т2). Поэтому для гармонического осциллятора Л1 со ехр ( — 21шюо). 2. с1астица совершает колебания в потенциальной яме. Определить за- кон изменения ее энергии под действием силы трения 1,р — — — ссх с малым коэффициентом сс (х — декартова координата). Р е ш е н и е. Усредним уравнение (28.13) по периону колебаний, пре- небрегая в первом приближении их затуханием. Имеем т с(Е .о сх 1 .т сс т .т 27сп Г х Г Ф 8С вЂ” — Т / — Т ~' — тиТ о где 1(Е) — адиабатический вариант, тп — масса частицы.

Выражая период колебаний Т через 1 согласно (49.8), находим тс ) Гармоничность осциллятора проявляется в независимости частоты колебаний от энергии. 212 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. Ун Ы1 ЫЕ и = — = — — 1. с1Е дс ш Интегрируя, получаем 1(Е) = 1(Ьа) ехр( — — 1). Формула (Ц определяет в неявном виде зависимость Х(1). Для гармониче- ского осциллятора (1) переходит в (25.5). Решение справедливо при условии иТ(т <( 1.

й 52. Условно-периодическое движение Рассмотрим замкнутую систему со многими степенями свободы, совершающую финитное (по всем координатам) движение. Предположим при этом, что задача допускает полное разделение переменных в методе Гамильтона — Якоби. Это значит, что при соответствующем выборе координат укороченное действие представляет собой сумму ~0 = Е К(%) (52.1) функций, каждая из которых зависит только от одной из координат. Поскольку обобщенные импульсы дно Ж дж йЬ' то каждая из функций К может быть представлена в виде Я; = р, с(дз.

(52.2) Эти функции неоднозначны. Н силу финитности движения каждая из координат может пробегать значения лишь в определенном конечном интервале. При изменении щ в этом интервале «вперед» и «назад» действие получает приращение Лде = ЛЯ1 = 2п1,, где 1; есть интеграл (52.3) 11 = — ~ РАс)Н 2п 1 (52.4) взятый по указанному изменению щ ').

и ) Подчеркнем, однако, что здесь идет речь о формальном изменении координаты Ф во всем допустимом интервале ее значений, а не об изменении за период реального движения (как это было в случае одномерного движения). Реальное финитное движение системы с несколькими степенями свободы не только является в общем случае периодическим в целом, но даже изменение со временем кал,лой из ее координат в отдельности не является периодическим (см. ниже). 1 52 УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 213 Произведем теперь каноническое преобразование аналогично тому, как это было сделано в предыдущем параграфе для случая одной степени свободы.

Новыми переменными будут «переменные действия» 1; и «угловые переменные» ддсИ, 1) ~- дд»01»о 1) (52.5) дй ~ы дй к где производящей функцией снова является действие, выраженное в функции координат и величин 1б уравнения движения в этих переменных 1;=О, ю;= д1, дают (52.6) 1г = соггвФ, ю, = ~ )г+сопвФ. д1, (52.7) ') «Вращательные координаты» — углы <р (см. примеч. на с. 204) — неоднозначно связаны с состоянием системы, так как значения ~р, отличающиеся на целое кратное 2п, отвечают одному и тому же положению системы. Поэтому, если среди координат д имеются такие углы, то они могут входит в функцию Р(д,р) лишь в виде таких выражений, как соз <р или з1п <р, связь которых с состоянием системы однозначна.

Мы найдем также аналогично 150.7), что полному изменению координаты у, («вперед» и «назад» ) отвечает изменение соответствующего ю, на 2рп ,ггю» = 2гг. (52.8) Другими словами, величины ю,(д, 1) являются неоднозначными функциями координат, которые при изменении последних с возвращением к первоначальным значениям могут изменяться на любое целое кратное от 2гг. Это свойство можно сформулировать также и как свойство функции ю;1р, ц) (выраженной через координаты и импульсы) в фазовом пространстве системы. Поскольку сами величины 1,, если их выразить через р и д, являются однозначными функциями этих переменных, то, подставив 1, (р, д) в ю;(д, 1), мы получим функцию ю;(р, ц), которая при обходе по любой замкнутой кривой в фазовом пространстве может измениться на целое кратное от 2тг (либо на нуль).

Отсюда следует, что всякая однозначная функция состояния системы Г1р, д) '), будучи выражена через канонические переменные, является периодической функцией угловых перемен- 214 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Гл. Ун ных с периодом 2п по каждой из них. Ее можно поэтому разложить в кратный ряд Фурье вида г' = 2; ... 2; А~ ~ Н ехр ~г(11ш1+ + 1,ш,)] 11= — оз н= — ао (1ы 12,..., 1, —. целые числа).

Подставив же сюда угловые переменные как функции времени, найдем, что временная зависимость г' определяется суммой вида Г= ~ -.- ~ Ас,г ...Нехр(й(11 — + +Х,— )). (52.9) 11= — со н= — со Каждый из членов этой суммы есть периодическая функция времени с частотой 11ш1+. + 1,ш„ (52.10) представляющей собой сумму целых кратных от основных частот О2; = —. (52.11) Но поскольку все частоты (52.10) не являются, вообще говоря, целыми кратными (или рациональными частями) какой-либо одной из них, то вся сумма в целом не является строго периодической функцией. Это относится, в частности, и к самим координатам и и импульсам р системы. Таким образом, движение системы не является в общем случае строго периодическим ни в целом, ни по какой-либо из координат. Это значит, что если система прошла через какое-либо состояние, то она не пройдет через него повторно ни через какое конечное время.

Можно, однако, утверждать, что по истечении достаточно большого промежутка времени она пройдет сколь угодно близко от этого состояния. Это свойство имеют в виду, называя такое движение условно-периодическим. В различных частных случаях две (или более) из основных частот ы, могут оказаться соизмеримыми (при произвольных значениях величин 1;).

В таких случаях говорят о наличии вырожден л, а если все а частот соизмеримы, то движение системы называют полностью вырожденным. В последнем случае, очевидно, движение строго периодично и тем самым траектории всех частиц замкнуты. Наличие вырождения приводит, прежде всего, к уменьшению числа независимых величин (1;), от которых зависит энергия системы. Пусть две частоты со1 и сов связаны соотношением УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 215 э 52 п1 — = п2 —, дЕ дЕ (52.12) д1, д1,' где п1 и п2 — целые числа.

Отсюда следует, что величины Е1 и 12 входят в энергию лишь в виде суммы п211 + п112. Весьма важной особенностью вырожденных движений является увеличение числа однозначных интегралов движения по сравнению с их числом в общем случае невырол~денной системы (с тем же числом степеней свободы). В последнем случае из полного числа (2в — 1) всех интегралов движения однозначными являются всего э функций состояния системы; их полный набор составляют, например, з величин уь Остальные з — 1 интегралов можно представить в виде разностей Ш; — — зпь —. дЕ дЕ (52.13) ' д1э д1; Постоянство этих величин непосредственно следует из формулы (52.7), но ввиду неоднозначности угловых переменных они не являются однозначными функциями состояния системы.

При наличии же вырождения положение меняется. Так, ввиду связи (52.12) интеграл ю1п2 — тозп1 (52.14) хотя и является неоднозначным, но его неоднозначность сводится к прибавлению любого целого кратного 2п. Поэтому достаточно взять тригонометрическую функцию этой величины, для того чтобы получить новый однозначный интеграл движения. Примером вырожденного движения является движение в поле 11 = — сс7г (см. задачу к этому параграфу). Именно это обстоятельство приводит к появлению нового, специфического однозначного интеграла движения (15.17), помимо двух (рассматриваем движение сразу как плоское) обычных однозначных интегралов, — момента М и энергии Я, — свойственных движению в любом центральном поле.

Отметим также, что появление дополнительных однозначных интегралов приводит в свою очередь еще к одному свойству вырожденных движений — они допускают полное разделение переменных при различных, а не при одном определенном ') выборе координат. Действительно, величины 4 в координатах, осуществляющих разделение переменных, являются однознач- а ) Мы отвлекаемся при этом от таких тривиальных изменений координат, как преобразования вида в', = д',(д1), оэ = дэ(д1). 216 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Гл.

ун ными интегралами движения. Но при наличии вырождения число однозначных интегралов превышает э, и потому становится неоднозначным выбор тех из них, которые мы хотим получить в качестве величин 1,. В качестве примера снова упомянем кеплерово движение, допускающее разделение переменных как в сферических, гак и в параболических координатах. В предыдущем параграфе было показано, что при одномерном финитном движении переменная действия является алиабатическим инвариантом.