I.-Механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 32

В таком виде он был представлен Якоби. При свободном движении частицы У = О, и (44.10) дает тривиальный результат 186 ГЛ. Ун КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ которое представляет собой не что иное, как интеграл уравнения (44.8). Вместе с уравнением траектории оно полностью определяет движение. Задача Из вариационного принципа 144.10) получить дифференциальное уравнение траектории. Р е ш ен и е. Производя варьирование,имеем Ь / ъ/Š— 1362 = — / ( — сУ вЂ” АНУŠ— 11 — с1Ьг) .

Во втором члене учтено, что Ж~ = 4г и потому Ж4Ь1 = 4г4Ьг; произведя в этом члене интегрирование по частям и приравняв затем нулю коэффициент при Ьг в подынтегральном выражении, получим дифференциальное уравнение траектории 2ъ'Ё — 11 — У'Š— Б— 41 1, а,1 а~' Раскрыв производную в левой чвсгн равенства и вводя силу Е = — д11/дг, можно представить зто уравнение в виде д~г Р— (РС)С ДР 2(Š— Ц ' где С = пг/Ж вЂ” единичный вектор касательной к траектории.

Разность Р— (РС)С есть нормальная к траектории компонента силы Р„. Производная же с~~с/сУ~ = сЫ/Ж, квк известно из дифференциальной геометрии, равна п/Н, где Н вЂ” радиус кривизны траектории, а п — единичный вектор главной нормали к ней. Заменив также Š— 11 на тп~/2, получим ше п =Р в соответствии с извесгным выражением для нормального ускорения прн движении по искривленной траектории. $ 45. Канонические преобразования Выбор обобщенных координат д не ограничен никакими условиями ими могут быть любые в величин, однозначно определяющие положение системы в пространстве. Формальный вид уравнений Лагранжа (2.6) не зависит от этого выбора, и в этом смысле можно сказать, что уравнения Лагранжа инвариантны по отношению к преобразованию от координат ц1, д2,...

к любым другим независимым величинам сьЗ1, Щ,... Новые координаты Я являются функциями старых координат д, причем допустим и такой их выбор, при котором эта связь содержит в явном 187 1 45 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (45.4) (причем варьируются независимо все координаты и импульсы). Для того чтобы новые переменные Р и Я тоже удовлетворяли уравнениям Гамильтона, для них тоже должен быть справедлив принцип наименьшего действия 5 /Д-Р, 10,— НЖ) =0. г (45.5) виде также и время, т.е. речь ццет о преобразованиях вида Ф =Ф(7,1) (45.1) (их называют иногда точечными преобразованиями). Наряду с уравнениями Лагранжа при преобразовании (45.1) сохраняют, разумеется, свою форму (40.4) и уравнения Гамильтона. Последние, однако, допускают в действительности гораздо более широкий класс преобразований.

Это обстоятельство естественным образом связано с тем, что в гамильтоновом методе импульсы р играют наряду с координатами ц роль равноправных независимых переменных. Поэтому понятие преобразования может быть расширено так, чтобы включить в себя преобразование всех 2з независимых переменных р и д к новым переменным Р и Я по формулам Ф = Ф(р В~) К = Рг(р Ч 1) ° (45.2) Такое расширение класса допустимых преобразований является одним ьи существенных преимуществ гамильтонового метода механики. Однако отнюдь не при произвольных преобразованиях вида (45.2) уравнения движения сохраняют свой канонический вид. Выведем теперь условия, которым должно удовлетворять преобразование, для того чтобы уравнения движения в новых переменных Р, 11 имели вид (45.3) с некоторой новой функцией Гамильтона Н'(Р, ф.

Среди таких преобразований особенно важны так называемые канонические. К формулам для канонических преобразований можно прийти следующим путем. В конце 8 43 было показано, что уравнения Гамильтона могут быть получены из принципа наименьшего действия, представленного в форме 188 ГЛ. Уп КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГГо два принципа (45.4) и (45.5) эквивалентны друг другу только при условии, что их подынтегральные выражения отличаются лишь на полный дифференциал произвольной функции Р координат, импульсов и времени; тогда разность между обоими интегралами будет несущественной при варьировании постоянной (разность значений Р на пределах интегрирования).

Таким образом, положим ), р; г)г11 — Н <И = ); Р, и'Ч, — Н'ГГг + г)Р. ГГреобразования, удовлетворяющие такому требованию, и называют каноническими '). Всякое каноническое преобразование характеризуется своей функцией Р, которую называют производяп)ей функцией преобразования. Переписав полученное соотношение в виде г)Р = ), р; г)д, — ); Р, й~, + (Н' — Н) й, (45,6) мы видим, что ду,' при этом предполагается, что производящая функция задана как функция старых и новых координат (и времени): Р = Р(д, ь4', 1).

При заданной функции Р формулы (45.7) устанавливают связь между старыми (р,д) и новыми (Р,Я) переменными, а также дают выражение для новой гамильтоновой функции. Может оказаться удобным выражать производящую функ- цИЮ НЕ ЧЕРЕЗ ПЕРЕМЕННЫЕ д И Сь1, а ЧЕРЕЗ СтарЫЕ КООрдИНатЫ д и новые импульсы Р. Для вывода формул канонических преобразований в этом случае надо произвести в соотношении (45.6) соответствующее преобразование Лежандра.

Именно, переписываем его в виде ИГР+ ~ Ре 01) = ~: р;,це + ~: ц, Л; + (Н' - Н) й4. Выражение, стоящее под знаком дифференциала в левой части равенства, выраженное через переменные д, Р, и является новой в ) Заметим, что кроме канонических преобразований, сохраняют канонический вид уравнений движения и преобразования, при которых подынтегральные выражения в (45.4) и (45.5) отличаются постоянным множителем. Примером может служить преобразование вида: Р~ = ар„С), = 4„Н' = аН с произвольной постоянной а. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 189 1 45 производящей функцией.

Обозначив ее через Ф(д, Р,1), имеем ') аж' Аналогичным образом можно перейти к формулам канонических преобразований, выраженных через производящие функции, зависящие от переменных р и Я или р и Р. Отметим, что связь между новой и старой гамильтоновыми функциями всегда выражается одинаковым образом: разность Н' — Н дается частной производной по времени от производящей функции. В частности, если последняя не зависит от времени, то Н' = Н. Другими словами, в этом случае для получения новой функции Гамильтона достаточно подставить в Н величины р, д, выраженные через новые переменные Р, сь'. Широта канонических преобразований в значительной степени лишает в гамильтоновом методе понятие обобщенных координат и импульсов их первоначального смысла.

Поскольку преобразования (45.2) связывают каждую из величин Р,сьЗ как с координатами д, так и с импульсами р, то переменные сь' уже не имеют смысла чисто пространственных координат. Различие между обеими группами переменных становится в основном вопросом номенклатурным. Это обстоятельство весьма наглядно проявляется, например, в преобразовании Яс = рн Р; = — 91 '), явно не меняющем канонический вид уравнений и сводящемся просто ко взаимному переименованию координат и импульсов.

Ввиду этой условности терминологии переменные р и д в гамильтоновом методе часто называют просто канонически сопрлзкенными величинами. Условие канонической сопряженности можно выразить с помощью скобок Пуассона. Для этого докажем предварительно общую теорему об инвариантности скобок Пуассона по отношению к каноническим преобразованиям. ) Заметим, что, взяв производящую функцию в виде Ф = 2 У';й4Д)Р; (где З', — произвольные функции), мы получим преобразование, при котором новые координаты с2, = Яд, $), т.е.

выражаются только через старые координаты (но не импульсы). Это — точечные преобразования, которые естественным образом оказываются частным случаем канонических преобразований. з) Ему отвечает производящая функция Г = ЯдЯ,. 19О КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. УН Пусть 1Ц81р скобка Пуассона величин 7" и я, в которой дифференцирование производится по переменным р,9, а 1181Р О скобка Пуассона тех же величин, дифференцируемых по каноническим переменным Р, Я. Тогда 11"ар,д = Ий т. (45.9) В справедливости этого соотношения можно убедиться прямым вычислением с использованием формул канонического преобразования.

Можно, однако, обойтись и без вычислений с помощью следующего рассуждения. Прежде всего замечаем, что в канонических преобразованиях (45.7) или (45.8) время играет роль параметра. Поэтому, если мы докажем теорему 145.9) для величин, не зависящих явно от времени, то она будет верна и в общем случае. Рассмотрим теперь чисто формальным образом величину я как гамильтонову функцию некоторой фиктивной системы.

Тогда согласно формуле (42.1) 1181р — — — ф/Ж. Но производная 111/Ж есть величина, которая может зависеть лишь от свойств движения (нашей фиктивной системы) как такового, а не от того или иного выбора переменных. Поэтому и скобка Пуассона 17"81 не может измениться при переходе от одних канонических переменных к другим. Из формул (42.13) и теоремы (45.9) получим (Я~ДА)р д: О ) Р Р~гзр д: О ~РАНЦА)р д: 51ь (45 10) Это записанные с помощью скобок Пуассона условия, которым должны удовлетворять новые переменные, для того чтобы преобразование р, 9 — + Р, Я было каноническим. Интересно отметить, что изменение величин р, Ч при самом движении можно рассматривать как канонические преобразования. Смысл этого утверждения состоит в следующем.

Пусть 9мр1 — значения канонических переменных в момент времени г, а 91д,„р1,р, -- их значения в другой момент 1+ т. Последние являются некоторыми функциями от первых (и от величины интервала т как от параметра): Ъ; = Д(ЧНР1Ат), Р1э = Р(В,РИ1,т). Если рассматривать этн формулы как преобразование от пеРеменных 9ИР1 к пеРеменным д1 рт, Рдч и то это пРеобРазование будет каноническим. Это очевидно из выражения (Р1э~ пйд-~ Р1 г1В) (г11,~ г11) пг 161 ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ » 46 для дифференциала действия Я(д»»т, дои), взятого вдоль истинной траектории, проходящей через точки д» и дг»т в заданные моменты времени 1 и 1+ т (ср. (43.7)).

Сравнение этой формулы с (45.6) показывает, что — о есть производящая функция преобразования. й 46. Теорема Лиувилля Для геометрической интерпретации механических явлений часто пользуются понятием о так называемом фазовом пространстве как о пространстве 26 измерений, на координатных осях которого откладываются значения 6 обобщенных координат и 6 импульсов данной механической системы. Каждая точка этого пространства отвечает определенному состоянию системы. При движении системы изображающая ее фазовая точка описывает в фазовом пространстве соответствующую линию, называемую фаэоеой траекторией. Произведение дифференциалов йГ= йд ...йд,йр ...йр, можно рассматривать как «элемент объема» фазового пространства.

Рассмотрим теперь интеграл ) йГ, взятый по некоторой области фазового пространства и изображающий собой ее объем. Покажем, что эта величина обладает свойством инвариантности по отношению к каноническим преобразованиям: если произвести каноническое преобразование от переменных р, д к переменным Р, Я, то объемы соответствующих друг другу областей пространств р, д и Р, Я одинаковы: Как известно, преобразование переменных в кратном интеграле производится по формуле й ~1...