I.-Механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 33

й >, йР1... йР, = ... Т)йд1... йд, йр1... йр„ где а(а„...,а., р„..., р.) (46.2) есть так называемый якобиан преобразования. Поэтому доказательство теоремы (46.1) сводится к доказательству того, что якобиан всякого канонического преобразования равен единице: П = 1. (46.3) 192 ГЛ. Ун КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Воспользуемся известным свойством якобианов, которое позволяет обращаться с ними в определенном смысле, как с дробями. «Разделив числитель и знаменатель> на д(91,..., 9„Р1,..., Р,), получим .О = ( "'''' " "'''' ') (Ф'''''~"~ь'''Нм) .

(464) Согласно другому известному правилу якобиан, у которого в «числителе» и «знаменателе» фигурируют одинаковые величины, сводится к якобиану от меньшего числа переменных, причем при всех дифференцированиях в нем выпавшие одинаковые величины должны считаться постоянными. Поэтому д д(д„...Д.) д(Р„...,Р.) Рассмотрим якобиан, стоящий в числителе этого выражения. Согласно определению это есть определитель ранга э, составленный из элементов дЯ,/дав (элемент на пеРесечении г-й стРоки и й-го столбца). Представив каноническое преобразование с помощью производящей функции Ф(д, Р) в форме (45.8), получим дгф дд«д««дР, ' Таким же образом найдем, что г, й-й элемент определителя в д Ф знаменателе выражения (46.5) равен .

Это значит, что дд,дР« оба определителя отличаются только заменой строк на столбцы и обратно. Поэтому они равны друг другу, так что отношение (46.5) равно единице, что и требовалось доказать. Представим себе теперь, что каждая точка данного участка фазового пространства перемещается со временем согласно уравнениям движения рассматриваемой механической системы. Тем самым будет перемещаться и весь участок.

При этом его объем остается неизменным: (46.6) ЫГ= сопз1. Это утверждение (так называемая теорема Лиувиллл) непосредственно следует из инвариантности фазового объема при канонических преобразованиях и из того, что самое изменение р и д при движении можно рассматривать (как было указано в конце предыдущего параграфа) как каноническое преобразование. 193 УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ 1 47 Совершенно аналогичным образом можно доказать инвариантность интегралов ), Щ ар;, ) й~' ар~ агась ары в которых интегрирование производится по заданным двух-, четырех- и т.д. -мерным многообразиям в фазовом пространстве. э 47.

Уравнение Гамильтона — Якоби В 9 43 было введено понятие о действии как функции координат и времени. Было показано, что частная производная по времени от этой функции о'(д, 4) связана с функцией Гамильтона соотношением — + Н(д,р,1) = О, а ее частные производные по координатам совпадают с импульсами. Заменив в соответствии с этим импульсы р в функции Гамильтона производными до/дд, мы получим уравнение — + Н (дд,..., д„—,..., —; 7) = О, (47.1) которому должна удовлетворять функция о'(д,г). Это уравнение в частных производных первого порядка; оно называется уравнением Гамилъгпона — Якоби.

Наряду с уравнениями Лагранжа и каноническими уравнениями уравнение Гамильтона — Якоби также является основой некоторого общего метода интегрирования уравнений движения. Переходя к изложению этого метода, напомним предварительно, что всякое дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка имеет решение, зависящее от произвольной функции; такое решение называют общим интегралом уравнения. В механических применениях, однако, основную роль играет не общий интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, а так называемый полный ингпеграл; так называется решение дифференциального уравнения в частных производных, содержащее столько независимых произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных.

194 ГЛ. Ун КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В уравнении Гамильтона — Якоби независимыми переменными являются время и координаты. Поэтому для системы с з степенями свободы полной интеграл этого уравнения должен содержать л + 1 произвольных постоянных. При этом, поскольку функция о' входит в уравнение только через свои производные, то одна из произвольных постоянных содержится в полном интеграле аддитивным образом, т.е.

полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби имеет вид о = /(с, дг,..., д,; сс1,..., сс,) + А, (47.2) где сс1,..., сс, и А — произвольные постоянные г). Выясним теперь связь между полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби и интересующим нас решением уравнений движения. Для этого произведем каноническое преобразование от величин д,р к новым переменным, причем функцию у1с, д, сс) выберем в качестве производящей функции, а величины сс1, сс2,..., сс, в качестве новых импульсов. Новые координаты обозначим через Д1, фз,..., р,. Так как производящая функция зависит от старых координат и новых импульсов, мы должны пользоваться формулами (45.8): Но поскольку функция / удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби, то мы видим, что новая функция Гамильтона обращается тождественно в нуль: сэ ) Хотя общий интеграл уравнения Гамильтона — Якоби нам не понадобится, но укажем, что он может быть найден, если известен полный интеграл.

Для этого будем считать величину А произвольной функцией остальных постоянных: д = /(1 дм ..., д,; сс,,..., сс,) + А(пм ..., сс,). Заменив Здесь вЕличины а, функциями координат и времЕни, котОрые на- ходим из э условий — =О, дщ получим общий интеграл, зависящий от вида произвольной функции А(сгь ..., сс,). Действительно, для полученной таким способом функции О имеем Но величины (дд/дщ)„удовлетворяют уравнению Гамильтона — Якоби, поскольку функция о'(й О; сС) есть по предположению полный интеграл этого уравнения.

Поэтому удовлетворяют ему н производные дд/дд,. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ 195 77 = О+ — 7 = Н + — = О. дг дд д~ д4 Поэтому канонические уравнения для новых переменных имеют вцд а, = О, ~; = О, откуда следует,что п4 = сопэ1, Д; = сопэФ. (47.3) С другой стороны, а уравнений дт' ди, дают возможность выразить э координат д через время и 2а постоянных п и Д.

Тем самым мы найдем общий интеграл уравнений движения. Таким образом, решение задачи о движении механической системы методом Гамильтона — Якоби сводится к следующим операциям. По функции Гамильтона составляется уравнение Гамильтона — Якоби и находится полный интеграл (47.2) этого уравнения. Дифференцируя его по произвольным постоянным сг и приравнивая новым постоянным ф, получаем систему э алгебраических уравнений д (47.4) решая которую, найдем координаты д как функции времени и 2э произвольных постоянных. Зависимость импульсов от времени можно найти затем по уравнениям р; = до'/дд;. Если мы имеем неполный интеграл уравнения Гамильтона- Якоби, зависящий от меньшего чем в числа произвольных постоянных, то хотя с его помощью нельзя найти общий интеграл уравнений движения, но можно несколько упростить задачу его нахождения.

Так, если известна функция о', содержащая одну произвольную постоянную 44, то соотношение дд — = сопэФ дп дает одно уравнение, связывающее дн..., д, и 8. Уравнение Гамильтона-Якоби принимает несколько более простую форму в том случае, когда функция 0 не зависит от времени явно, т.е. система консервативна. Зависимость действия от времени сводится при этом к слагаемому — Ей о = оо(д) — Е1 (47.5) (см. ~ 44), и подстановкой в (47.1) мы получаем для укорочен- 196 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. Ун ного действия оо(9) уравнение Гамильтона — Якоби в виде "( '~'- ~")=' 9 48. Разделение переменных 148.2) 148.4) 148.5) где ег1 произвольная постоянная.

Первое из них есть обыкновенное дифференциальное уравнение, из которого функция о'1191) может быть определена простым интегрированием. После этого остается дифференциальное уравнение в частных производных 148.5), но уже с меньшим числом независимых переменных. В ряде важных случаев нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби может быть достигнуто путем так называемого разделения переменных, сущносгь которого состоит в следующем. Допустим, что какая-либо координата обозначим ее через 91 — н соответствующая ей производная дЯ/дд1 входят в уравнение Гамильтона-Якоби только в виде некоторой комбинации 1р191,до/д91), не содержащей никаких других координат 1илн времени)и производных,т.е.

уравнение имеет вид Ф (д;, г, —, —, <р (91, — ) ~ = О, 148.1) где 91 обозначает совокупность всех координат за исключением 91. Будем искать в этом случае решение в виде суммы Я = У(В,~)+31(91) Подставив это выражение в уравнение 148.1), получим Ф (йн 1, —, —, <Р (91, — ') ) = О. 148.3) Предположим, что решение (48.2) найдено. Тогда после подстановки его в уравнение (48.3) последнее должно обратиться в тождество, справедливое, в частности, при любом значении координаты 91.

Но при изменении 91 может меняться только функция <р; поэтому тождественность равенства 148.3) требует, чтобы и функция 1р сама по себе была постоянной. Таким образом, уравнение (48.3) распадается на два уравнения: 197 РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ 1 48 Если таким способом можно последовательно отделить все 8 координат и время, то нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби целиком сводится к квадратурам. Для консервативной системы речь фактически идет лишь о разделении 8 переменных (координат) в уравнении (47.6), и при полном разделении искомый интеграл уравнения имеет вид Я = ) Бь(уь, кн..., сс,) — Е(сц,..., сс,)1, (48.6) ь где каждая из функций оь зависит лишь от одной из координат, а энергия Е как функция произвольных постоянных сгм..., к, получается подстановкой оо = ~ оь в уравнение (47.6).

Частным случаем разделения является случай циклической переменной. Циклическая координата 91 вовсе не входит в явном виде в функцию Гамильтона, а потому и в уравнение Гамильтона — Якоби. Функция <р(дн до/са71) сводится при этом просто к до/дум и из уравнения (48.4) имеем просто 81 = саум так что л = У(д„г) + сг1дн (48. 7) Постоянная сг1 есть при этом не что иное, как постоянное значение импульса р1 = до/дд1, отвечающего циклической координате. Отметим, что отделение времени в виде члена — Е1 для консервативной системы тоже соответствует методу разделения переменных для «циклической переменнойь 1. Таким образом, все рассматривавшиеся ранее случаи упрощения интегрирования уравнений движения, основанные на использовании циклических переменных, охватываются методом разделения переменных в уравнении Гамильтона — Якоби.

К ним добавляется еще ряд случаев, когда разделение переменных возможно, хотя координаты не являются циклическими. Все это приводит к тому, что метод Гамильтона — Якоби является наиболее могущественным методом нахождения общего интеграла уравнений движения. Для разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби существен удачный выбор координат. Рассмотрим некоторые примеры разделения переменных в различных координатах, которые могут представить физический интерес в связи с задачами о движении материальной точки в различных внешних полях. 1. Сферические координаты. В этих координатах (г, 6, д) функция Гамильтона 0 1 ( 2+Р~ + Рт )+Гг(гй 8э) 198 ГЛ. Ун КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ и разделение переменных возможно, если Ь(В) с(т) гр гР вйв 6 где а(г), Ь(9), с(ср) — произвольные функции.