I.-Механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 34

Последний член в этом выражении вряд ли может представить физический интерес, и потому мы рассмотрим поле вида Ы = а(г) + (48.8) В этом случае уравнение Гамильтона — Якоби для функции ос ,— '. (") +.р)~-,', '((",;) ~-~ ые~ ~- + 2 ггэ1в2В 1,,зтг Учитывая цикличность координаты 1р, ищем решение в вице оо Р<р1Р + о1(г) + 52(9) и для функций о1(г) и о2(9) получаем уравнения ( ') + 2тЬ(9) + Интегрируя их, получим окончательно: Я = — Е~+рр р+ с1г. (48.0) Произвольными постоянными здесь являются р,, (5, Е; дифференцируя по ним и приравнивая результат дифференцирования новым постоянным, найдем общее решение уравнений движения.

2. Параболические координаты. Переход к параболическим координатам Ь„11, 1р совершается от цилицдрических координат (которые в этом параграфе мы будем обозначать, как р, <р, з) по формулам (48.10) Координаты г, и 11 пробегают значения от нуля до оо; поверхности постоянных с, и ц представляют собой, как легко убедиться, 199 РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ 1 48 два семейства параболоидов вращения (с осью х в качестве оси симметрии).

Связь (48.10) можно представить еще и в другой форме, введя радиус г = /~2+ р2 = -'(1, + ц). (48.11) Тогда ~ = г+ г, т) = т. — ю (48.12) Составим функцию Лагранжа материальной точки в координатах о„т), тр. Дифференцируя выражения (48.10) по времени и подставляя в 2( (функция Лагранжа в цилиндрических координатах), получим 8 (о +т)) ( + ) + от)тр — от(о,т), тр). (48 13) Импульсы равны рт = ™(г,+т))о„р„= — (с,+т))т), р, =тат)тр 45 ' 4т1 и функция Гамильтона 2 8 -~- 2 Н ~а+ ~о + Р'а ) 1ят(1 т) тр) (48 14) дт 8,+Ч 2т8Ч Физически интересные случаи разделения переменных в этих координатах соответствуют потенциальной энергии вида а(т,) + Ь(Ч) а(т + т) + о(т — о) (48.15) Е+ т1 2т Имеем уравнение я ~ (ая.)' (ая,)'~ (ая,)' (я) ° а( ) Циклическая координата тр отделяется в виде р, тр.

Умножив затем уравнение на т(о,+т)) и перегруппировав члены, получим ,9~ 2 я 24 ( о) +та(с) тс,с +вна+2т)( о) +т5(т)) тст)+Рт в0 11оложив оо Р тр+ от(о) + о2(т)) получим два уравнения 24,( ') +та(с,) — тес,+ Р— ' = Р, Ия т2 г 2т) ( — ') + ттт(т)) — тЕт) + ~ — ~ = — )8 т, я4ч 2т1 200 гл. уп КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ и,интегрируя их,найдем окончательно: г = — Ет + р,р тр + й) (48.16) с произвольными постоянными р,, р, Е. 3. Эллиптические координаты. Эти координаты с„т), тр вводятся согласно формулам Постоянная и является параметром преобразования. Координата с пробегает значения от единицы до со, а координата т) от — 1 до +1. Геометрически более наглядные соотношения получаются, если ввести расстояния т1 и гг до точек А1 и Аг на оси я с координатами я = с и я = — ст '); — ='( .~ Р-~Ф.

Подставив сюда выражения (48.17), получим Г1 = О(1 — т)), Гг = П(~+ т)), (48.18) Преобразуя функцию Лагранжа от цилиндрических координат к эллиптическим, найдем + ~~ (с~ — 1)(1 — т)~)тр~ — 11(~,т), тр). (48.19) Отсюда для функции Гамильтона получим ) Линии постоянных Е представляют собой семейство аллипсоидов г г г + г ого~ ог(с~ — 1) с фокусами в точках Ат и Аг, а линии постоянных и — семейство софокусных с ним гиперболоидов ,г' огпг ог(1 — т1г) 201 РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ Ь 48 + ( г + г)р„,~ + У(~,г), <р). (48.20) Физически интересные случаи разделения переменных соответствуют потенциальной энергии (). о(Ц+Ь(ц) и ( '( гг+ш) + ( (гг гг) ) (18 21) где а(Ц и Ь(г)) произвольные функции.

Результат разделения переменных в уравнении Гамильтона †Яко гласит: о = — ЕЬ+рсрез+ с(г). (48.22) Задачи 1. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби для движения частицы в поле К У = — — Ег г (нвложение кулоновского и однородного полей): найти специфическую для такого движения сохраняюшуюся функцию координат и импульсов.

Р е ш е н и е. Данное поле относится к типу (48.15), причем а(б) = н — — Е, Ь(г|) = и+ — г| . г г г 2 ' 2 Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби дается формулой (48.16) с этими функциями а(Е) и Ь(ц). Для выяснения смысла постоянной 6 пишем уравнения г 2Ьрс~ + та(Е) — тЕЬ+ — т = 6, 2Е 2цр -Ь тЬ(ц) тЕЛ -~- Вычтя одно из этих уравнений из другого и выразив импульсы ре = дд/дЕ и р„= дд/дц через импульсы рр —— дд/др и р, = дд/дг в цилиндрических координатах, получим после простого приведения: 6=- ~ — + — (ре — рр.)+ '(т т г ' трг ~ 2 Выражение в квадратных скобках представляет собой интеграл движения, специфический для чисто кулоновского поля (г-компонента вектора (15.17)). 2.

То же в поле У= — +— гг гг 202 Гл. уп КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (кулоновское поле двух неподвижных центров на расстоянии 2ст друг от друга). Р е ш е н и е. Данное поле относится к гэ гт типу т48.21), причем а(с) = Е„Ь(т1) = т1. 8~ Действие о(1„тй~рД) получается подстанов- аз 2о ат кой этих выражений в (48.22). Смысл постоянной )З выясняется аналогично тому, как это было сделано в задаче 1; она выражает собой в данном случае сохранение следующей величины: 8 = о~(Р + — е ) — М~ + 2то(ат совдт + стз сов эт), Рз / 2 2 М = [гр) = ррз +р„р + " — 2крр,рю рт а Вт и Вэ — углы, указанные на рис. 55. 8 49.

Адиабатические инварианты Рассмотрим механическую систему, совершающую одномерное финитное движение и характеризуютвуюся некоторым параметром Л, определяющим свойства самой системы или внешнего поля, в котором она находится '). Предположим, что параметр Л под влиянием каких-либо внешних причин медленно (как говорят, адиабатичесии) меняется со временем.

Под медленным подразумевается такое изменение, при котором Л мало меняется за время периода движения итмыТ: осе дЛ Т вЂ” «Л. (49.1) При постоянном Л система была бы замкнутой и совершала бы строго периодическое движение с постоянной энергией Е и вполне определенным периодом Т(Е). При переменном параметре Л система не является замкнутой и ее энергия не сохраняется. Но в силу предположенной медленности изменения Л скорость Е изменения энергии будет тоже малой. Если усреднить эту скорость по периоду Т и тем самым сгладить «быстрые» колебания в ее величине, то получающееся таким образом значение Е определит скорость систематического медленного изменения энергии системы; об этой скорости можно утверждать, ) Для краткости записи формул мы предполагаем, что имеется всего один такой параметр, но все результыты остаются в силе и при любом числе параметров.

203 АДИАБАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ 8 49 что она будет пропорциональна скорости Л изменения параметра Л. Это значит, другими словами, что понимаемая в указанном смысле медленно меняющаяся величина Е будет вести себя как некоторая функция от Л. Зависимость Е от Л можно представить в виде постоянства некоторой комбинации из Е и Л. Такую величину, остающуюся постоянной при движении системы с медленно меняющимися параметрами, называют адиабатическим инвариантпом. Пусть Н(д,р; Л) гамильтонова функция системы, зависящая от параметра Л. Согласно (40.5) скорость изменения энергии системы (49.2) Выражение в правой части этой формулы зависит не только от медленно меняющейся переменной Л, но и от быстро меняющихся переменных а и р.

Для выделения интересующего нас систематического хода изменения энергии надо, согласно сказанному выше, усреднить равенство (49.2) по периоду движения. При этом ввиду медленности изменения Л (а с ним и Л) можно вынести Л за знак усреднения: (49.3) а в усредняемой функции дН/дЛ рассматривать как изменяющиеся величины лишь 9 и р, но не Л. Другими словами, усреднение производится по такому движению системы, какое имело бы место при заданном постоянном значении Л. Запишем усреднение в явном виде как т — — — ~Й. дл т/ дл о Согласно уравнению Гамильтона д = дН/др имеем аа ап/0Р' С помощью этого равенства заменяем интегрирование по времени на интегрирование по координате, причем и период Т записываем в виде т (49.4) Т= сМ= о 204 гл.