I.-Механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 35

DJVU-файл I.-Механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 35 Физика (2503): Книга - 1 семестрI.-Механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах) - DJVU, страница 35 (2503) - СтудИзба2019-04-28СтудИзба

Описание файла

Файл "I.-Механика" внутри архива находится в папке "Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах". DJVU-файл из архива "Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 35 - страница

уп КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ знаком ф здесь обозначается интегрирование по полному изменению координаты («вперед» и «назад») за время периода '). Таким образом, формула (49.3) принимает вид ~он7ол„ ое ол1 дн1др (49.5) о« сй Й~ дн1др Как уже было указано, интегрирования в этой формуле должны производиться по траектории движения при данном постоянном значении Л. Вдоль такой траектории функция Гамильтона сохраняет постоянное значение .Е, а импульс является определенной функцией переменной координаты «7 и двух постоянных независимых параметров Е и Л. Понимая импульс именно как такую функцию р(д; Е, Л) и дифференцируя равенство Н(р, д; Л) = Е по параметру Л, получим он ан д он1ол ар ол ар ол или он1ар ал' Подставив это в верхний интеграл в (49.5) и написав в нижнем подынтегральную функцию в виде др7дЕ, имеем ор дг Это равенство можно окончательно переписать в виде — =О, ое (49.6) где 1 обозначает интеграл 1 = — равд, (49.7) ') Если движение системы представляет собой вращение, а координатой о является некоторый угол поворота <р, то интегрирование по п«р должно производиться по «полному обороту», т.е.

от нуля до 2н. взятый по траектории движения при заданных Е и Л. Этот результат показывает, что величина 1 остается в рассматриваемом приближении постоянной при изменении параметра Л, т.е. является адиабатическим инвариантом. Величина 1 является функцией энергии системы (и параметра Л). Ее частная производная по энергии определяет период движения: согласно (49.4) имеем 205 КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ 1 50 2п — = у — 'Рдд = Т, д1 Г д„ дй ~ дЕ (49.8) ИЛИ (49.10) 1 = Е(иу. (49.12) Адиабатическая инвариантность этой величины означает, что при медленном изменении параметров осциллятора его энергия меняется пропорционально частоте.

й 50. Канонические переменные Пусть теперь параметр А постоянен, так что рассматриваемая система замкнута. Произведем каноническое преобразование переменных п,р, выбрав величину 1 в качестве нового «импульса». Роль производящей функции должно при этом играть «укороченное действие» Яо, выраженное в функции от 0 и Х. Действительно, Яо — = сну (49.9) где пу = 2п/Т -- частота колебаний системы.

Интегралу (49.7) может быть приписан наглядный геометрический смысл, если воспользоваться понятием о фазовой траектории системы. В данном случае (одна степень свободы) фазовое пространство сводится к двумерной системе координат р, и, и фазовая траектория системы, совершающей периодическое движение, представляет собой замкнутую кривую в этой плоскости. Интеграл (49.7), взятый вдоль этой кривой, представляет собой заключенную внутри нее площадь. Он может быть написан и как двумерный интеграл по площади: 1 = — дрдд. В качестве примера определим адиабатический инвариант для одномерного осциллятора.

Кто функция Гамильтона Р тшо (49.11) 2т 2 где а> — собственная частота осциллятора. Уравнение фазовой траектории дается законом сохранения энергии Н(р,д) = Е. э у 2 е,~2ууу щ у (деленная на 2п) 206 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. УН определяется как интеграл Но(о, Е, Л) р(о, Е, Л) «Ц, (50.1) взятый при заданном значении энергии Е (и параметра Л). Но для замкнутой системы 1 является функцией одной только энергии; поэтому ов можно с тем же правом выразить в виде функции Я>(О, 1; Л), а чаСтная прОиЗвОдная (дНО/дй)Е = р СОвпадаЕт С прОиЗвОднОй (дЕС/дд)1 при пОСтОяннОм 1.

ПОЭтОму имЕЕм дда(4, 1; Л) (50.2) д4 что соответствует первой из формул канонического преобразования (45.8). Вторая же формула определит новую «координату», которую обозначим через ис дд,(4,1,;Л) (50.3) д1 Переменные 1 и и называют каноническими переменными, причем 1 называется в этой связи переменной действия, а и угловой переменной. Поскольку производящая функция Ео(о, 1; Л) не зависит явно от времени, то новая функция Гамильтона Н' совпадает со старой Н, выраженной через новые переменные.

Другими словами, Н' есть энергия, выраженная в функции переменной действия, Е(1). Соответственно уравнения Гамильтона для канонических переменных имеют вид 1=0 и= (50.4) 61 Из первого имеем, как и следовало, 1 = сопв1 вместе с энергией постоянна и величина 1. Из второго же видим, что угловая переменная является линейной функцией времени: «о = — 1+ сопз1 = «о(1)1+ сопз$; дЕ (50.5) она представляет собой фазу колебаний. Действие Ес(й,1) — неоднозначная функция координат.

По истечении каждого периода эта функция не возвращается к исходному значению, а получает приращение ЛНо = 2п1, (50.6) как это очевидно из (50.1) и определения 1 согласно (49.7). За это же время угловая переменная получает приращение ЛЮ=Л "= — ЛЕ0=2п.

д1 д1 (50.7) 207 КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ 5 50 (50.9) ') Подчеркнем, однако, что определенная таким образом функция ое уже не совпадает с истинным укороченным действием для системы с зависящей от времени гамильтоновой функцией! Обратно, если мы выразим 9 и р (или любую их однозначную функцию Г(9,р)) через канонические переменные, то эти функции не будут менять свои значения при изменении и на 2тс(при заданном значении 1).

Другими словами, всякая однозначная функция г'(д, р), будучи выражена через канонические переменные, является периодической функцией ю с периодом, равным 2п. Уравнения движения могут быть сформулированы в канонических переменных также и для незамкнутой системы с зависящим от времени параметром Л. Преобразование к этим переменным осуществляется по-прежнему формулами (50.2),(50.3) с производящей функцией 50, определяемой интегралом (50.1) и выраженной через переменную 1, определяемую интегралом (49.7). Неопределенный интеграл (50.1) и определенный интеграл (49.7) вычисляются при этом так, как если бы параметр Л(г) имел заданное постоянное значение; другими словами, Я>(д, 1; Л(1) ) — прежняя функция, вычисленная при постоянном Л, замененном затем заданной функцией Л(1) г).

Поскольку производящая функция оказывается теперь (вместе с параметром Л) явной функцией времени, то новая функция Гамильтона Н' уже не будет совпадать со старой, т.е, с энергией Е(1). Согласно общим формулам канонического преобразования (45з8) имеем Н'=Е(1;Л)+ ' = Е(1;Л)+ЛЛ, (50.8) где введено обозначение (ила) причем Л должна быть выражена (после осуществления дифференцирования по Л) с помощью (50.3) через 1 и ш. Уравнения Гамильтона принимают теперь вид гл = = со(1; Л) + ( — ) Л, (50.11) где со = (дЕ7д1)А — частота колебаний (снова вычисленная так, как если бы Л было постоянным). 208 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ.

УН Задача ю = шв): 12Ь' . Г21 д = )) вшю = )~ шпю, р = У21шш совю. у шц,г у тш Отсюда Ес = / р с19 = / р ( — ) йю = 21 / сов ю с)ю (а),, (а)(О) 2 и затем Уравнения (50.10), (50.11) принимают теперь вид ш 1 = — 1 — сов 2ю, ш Ш ю = ш+ — в1п2ю. 2ш $ 51. Точность сохранения адиабатического инварианта Уравнение движения в форме (50.10) позволяет снова убедиться в адиабатической инвариантности переменной действия.

Функция ое(9,1; Л) неоднозначная функция 9; при возвращении координаты к первоначальному значению к ое прибавляется целое кратное от 2п1. Производная же (50.9) -- однозначная функция, так как дифференцирование производится при постоянном 1 и прибавляющиеся к ое приращения при этом исчезают. Как и всякая однозначная функция, функция Л, будучи выражена через угловую переменную ю, будет периодической функцией этой переменной. Среднее же (по периоду) значение производной дЛ/дю от периодической функции обращается в нуль.

Поэтому, усредняя уравнение (50.10) и вынося при этом Л (при медленном изменении Л) из-под знака среднего, получим ( )Л 0 (51.1) что и требовалось. Уравнения движения (50.10), (50.11) позволяют рассмотреть и вопрос о точности, с которой сохраняется адиабатический инвариант. Поставим этот вопрос следующим образом: пусть параметр Л(в) стремится при 1 — > — оо и 1 — > +ос к постоянным Написать уравнения движения в канонических переменных для гармонического осцнллятора (функция Гамильтона (49.1Ц) с частотой, зависящей от времени.

Р е ш е н и е. Поскольку в (50.1) — (50.3) все действия совершаются при постоянном Л (роль которого играет в данном случае сама частота ш), то связь д и р с ю имеет тот же вид, что и при постоянной частоте (когда 1 61 ТОс1НОСТЬ СОХРАНЕНИЯ АдИАВАТИЧЕСКОГО ИНВАРИАНТА 209 пределам 11 и Л», задано начальное (при 1 = — оо) значение 1 адиабатического инварианта, и требуется найти его приращение Л1 = 1 — 1 ко времени 1=+ос. Из (50.10) имеем Аг / ЛЛ,й ды (51.2) При достаточно малом Л производная и положительна (ее знак совпадает со знаком и>, см. (50.11)), т.е.

и — монотонная функция времени 1. При переходе в (51.2) от интегрирования по Ж к интегрированию по с1и пределы останутся поэтому прежними: / дю с11 с1со (51.5) Подставим сюда (51.4) и преобразуем интеграл, рассматривая в нем формальным образом и как комплексную переменную. Предположив, что подынтегральное выражение не имеет особых точек при вещественных значениях и, сместим путь интегрирования с вещественной оси и в верхнюю полуплоскость этой переменной. При ио этом контур озацепляется» за особые точки подынтегрального выражения и, огибая их, принимает вид, Рис. 66 показанный схематически на рис. 56. Пусть ив — ближайшая к вещественной оси особая точка, т.е.

точка с наименьшей по величине (положительной) мнимой ча- Как уже было указано, величина Л вЂ” периодическая (с периодом 2п) функция переменной и; разложим ее в ряд Фурье: Л= ~~1 еп Л1 (51.3) 1= — сс (в силу вещественности Л коэффициенты разложения связаны при этом соотношениями Л ~ = Л1 ). Отсюда для производной дЛ/ди имеем — 11е' Л1 = 2йе ~ 11еп Л1. (51.4) 1= — сю 1=1 210 ГЛ. Ун КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ стью.

Главный вклад в интеграл (51.5) возникает от окрестности этой точки, причем каждый из членов ряда (51.4) дает вклад, содержащий множитель ехр ( — 11шюо). Сохраняя опять- таки лишь член с наименьшим по абсолютной величине отрицательным показателем (т.е. член с 1 = 1), найдем, что '). Л1 ехр ( — 1гп юо). (51.6) Пусть 19 «момент времени»(комплексное число!), отвечающий особой точке юо. ю(19) = юо. По порядку величины )19~ совпадает, вообще говоря, с характерным временем изменения параметров системы; обозначим это время через т ').

Порядок же величины показателя степени в (51.6) будет 1шюо спт - т)Т. (51.7) Поскольку, по предположению, т» Т, то этот показатель велик. Таким образом, разность 1~ — 1 убывает экспоненциально при уменьшении скорости изменения параметров системы '). Для определения юо в первом приближении по Т/т (т.е, с сохранением лишь члена порядка (Т(т) 1 в показателе) можно отбросить в уравнении (50.11) малый член, содержащий Л, т.е. писать о = оэ(1, Л(1)), (51.8) причем аргумент 1 функции ш(1,Л) полагается постоянным, скажем, равным 1 . Тогда гс юо = со(1 Л(г)) пг (51.9) (в качестве нижнего предела можно взять любое вещественное значение 1; интересующая нас мнимая часть юо от этого значения не зависит) ').

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее