I.-Механика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 35

уп КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ знаком ф здесь обозначается интегрирование по полному изменению координаты («вперед» и «назад») за время периода '). Таким образом, формула (49.3) принимает вид ~он7ол„ ое ол1 дн1др (49.5) о« сй Й~ дн1др Как уже было указано, интегрирования в этой формуле должны производиться по траектории движения при данном постоянном значении Л. Вдоль такой траектории функция Гамильтона сохраняет постоянное значение .Е, а импульс является определенной функцией переменной координаты «7 и двух постоянных независимых параметров Е и Л. Понимая импульс именно как такую функцию р(д; Е, Л) и дифференцируя равенство Н(р, д; Л) = Е по параметру Л, получим он ан д он1ол ар ол ар ол или он1ар ал' Подставив это в верхний интеграл в (49.5) и написав в нижнем подынтегральную функцию в виде др7дЕ, имеем ор дг Это равенство можно окончательно переписать в виде — =О, ое (49.6) где 1 обозначает интеграл 1 = — равд, (49.7) ') Если движение системы представляет собой вращение, а координатой о является некоторый угол поворота <р, то интегрирование по п«р должно производиться по «полному обороту», т.е.

от нуля до 2н. взятый по траектории движения при заданных Е и Л. Этот результат показывает, что величина 1 остается в рассматриваемом приближении постоянной при изменении параметра Л, т.е. является адиабатическим инвариантом. Величина 1 является функцией энергии системы (и параметра Л). Ее частная производная по энергии определяет период движения: согласно (49.4) имеем 205 КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ 1 50 2п — = у — 'Рдд = Т, д1 Г д„ дй ~ дЕ (49.8) ИЛИ (49.10) 1 = Е(иу. (49.12) Адиабатическая инвариантность этой величины означает, что при медленном изменении параметров осциллятора его энергия меняется пропорционально частоте.

й 50. Канонические переменные Пусть теперь параметр А постоянен, так что рассматриваемая система замкнута. Произведем каноническое преобразование переменных п,р, выбрав величину 1 в качестве нового «импульса». Роль производящей функции должно при этом играть «укороченное действие» Яо, выраженное в функции от 0 и Х. Действительно, Яо — = сну (49.9) где пу = 2п/Т -- частота колебаний системы.

Интегралу (49.7) может быть приписан наглядный геометрический смысл, если воспользоваться понятием о фазовой траектории системы. В данном случае (одна степень свободы) фазовое пространство сводится к двумерной системе координат р, и, и фазовая траектория системы, совершающей периодическое движение, представляет собой замкнутую кривую в этой плоскости. Интеграл (49.7), взятый вдоль этой кривой, представляет собой заключенную внутри нее площадь. Он может быть написан и как двумерный интеграл по площади: 1 = — дрдд. В качестве примера определим адиабатический инвариант для одномерного осциллятора.

Кто функция Гамильтона Р тшо (49.11) 2т 2 где а> — собственная частота осциллятора. Уравнение фазовой траектории дается законом сохранения энергии Н(р,д) = Е. э у 2 е,~2ууу щ у (деленная на 2п) 206 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ. УН определяется как интеграл Но(о, Е, Л) р(о, Е, Л) «Ц, (50.1) взятый при заданном значении энергии Е (и параметра Л). Но для замкнутой системы 1 является функцией одной только энергии; поэтому ов можно с тем же правом выразить в виде функции Я>(О, 1; Л), а чаСтная прОиЗвОдная (дНО/дй)Е = р СОвпадаЕт С прОиЗвОднОй (дЕС/дд)1 при пОСтОяннОм 1.

ПОЭтОму имЕЕм дда(4, 1; Л) (50.2) д4 что соответствует первой из формул канонического преобразования (45.8). Вторая же формула определит новую «координату», которую обозначим через ис дд,(4,1,;Л) (50.3) д1 Переменные 1 и и называют каноническими переменными, причем 1 называется в этой связи переменной действия, а и угловой переменной. Поскольку производящая функция Ео(о, 1; Л) не зависит явно от времени, то новая функция Гамильтона Н' совпадает со старой Н, выраженной через новые переменные.

Другими словами, Н' есть энергия, выраженная в функции переменной действия, Е(1). Соответственно уравнения Гамильтона для канонических переменных имеют вид 1=0 и= (50.4) 61 Из первого имеем, как и следовало, 1 = сопв1 вместе с энергией постоянна и величина 1. Из второго же видим, что угловая переменная является линейной функцией времени: «о = — 1+ сопз1 = «о(1)1+ сопз$; дЕ (50.5) она представляет собой фазу колебаний. Действие Ес(й,1) — неоднозначная функция координат.

По истечении каждого периода эта функция не возвращается к исходному значению, а получает приращение ЛНо = 2п1, (50.6) как это очевидно из (50.1) и определения 1 согласно (49.7). За это же время угловая переменная получает приращение ЛЮ=Л "= — ЛЕ0=2п.

д1 д1 (50.7) 207 КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ 5 50 (50.9) ') Подчеркнем, однако, что определенная таким образом функция ое уже не совпадает с истинным укороченным действием для системы с зависящей от времени гамильтоновой функцией! Обратно, если мы выразим 9 и р (или любую их однозначную функцию Г(9,р)) через канонические переменные, то эти функции не будут менять свои значения при изменении и на 2тс(при заданном значении 1).

Другими словами, всякая однозначная функция г'(д, р), будучи выражена через канонические переменные, является периодической функцией ю с периодом, равным 2п. Уравнения движения могут быть сформулированы в канонических переменных также и для незамкнутой системы с зависящим от времени параметром Л. Преобразование к этим переменным осуществляется по-прежнему формулами (50.2),(50.3) с производящей функцией 50, определяемой интегралом (50.1) и выраженной через переменную 1, определяемую интегралом (49.7). Неопределенный интеграл (50.1) и определенный интеграл (49.7) вычисляются при этом так, как если бы параметр Л(г) имел заданное постоянное значение; другими словами, Я>(д, 1; Л(1) ) — прежняя функция, вычисленная при постоянном Л, замененном затем заданной функцией Л(1) г).

Поскольку производящая функция оказывается теперь (вместе с параметром Л) явной функцией времени, то новая функция Гамильтона Н' уже не будет совпадать со старой, т.е, с энергией Е(1). Согласно общим формулам канонического преобразования (45з8) имеем Н'=Е(1;Л)+ ' = Е(1;Л)+ЛЛ, (50.8) где введено обозначение (ила) причем Л должна быть выражена (после осуществления дифференцирования по Л) с помощью (50.3) через 1 и ш. Уравнения Гамильтона принимают теперь вид гл = = со(1; Л) + ( — ) Л, (50.11) где со = (дЕ7д1)А — частота колебаний (снова вычисленная так, как если бы Л было постоянным). 208 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГЛ.

УН Задача ю = шв): 12Ь' . Г21 д = )) вшю = )~ шпю, р = У21шш совю. у шц,г у тш Отсюда Ес = / р с19 = / р ( — ) йю = 21 / сов ю с)ю (а),, (а)(О) 2 и затем Уравнения (50.10), (50.11) принимают теперь вид ш 1 = — 1 — сов 2ю, ш Ш ю = ш+ — в1п2ю. 2ш $ 51. Точность сохранения адиабатического инварианта Уравнение движения в форме (50.10) позволяет снова убедиться в адиабатической инвариантности переменной действия.

Функция ое(9,1; Л) неоднозначная функция 9; при возвращении координаты к первоначальному значению к ое прибавляется целое кратное от 2п1. Производная же (50.9) -- однозначная функция, так как дифференцирование производится при постоянном 1 и прибавляющиеся к ое приращения при этом исчезают. Как и всякая однозначная функция, функция Л, будучи выражена через угловую переменную ю, будет периодической функцией этой переменной. Среднее же (по периоду) значение производной дЛ/дю от периодической функции обращается в нуль.

Поэтому, усредняя уравнение (50.10) и вынося при этом Л (при медленном изменении Л) из-под знака среднего, получим ( )Л 0 (51.1) что и требовалось. Уравнения движения (50.10), (50.11) позволяют рассмотреть и вопрос о точности, с которой сохраняется адиабатический инвариант. Поставим этот вопрос следующим образом: пусть параметр Л(в) стремится при 1 — > — оо и 1 — > +ос к постоянным Написать уравнения движения в канонических переменных для гармонического осцнллятора (функция Гамильтона (49.1Ц) с частотой, зависящей от времени.

Р е ш е н и е. Поскольку в (50.1) — (50.3) все действия совершаются при постоянном Л (роль которого играет в данном случае сама частота ш), то связь д и р с ю имеет тот же вид, что и при постоянной частоте (когда 1 61 ТОс1НОСТЬ СОХРАНЕНИЯ АдИАВАТИЧЕСКОГО ИНВАРИАНТА 209 пределам 11 и Л», задано начальное (при 1 = — оо) значение 1 адиабатического инварианта, и требуется найти его приращение Л1 = 1 — 1 ко времени 1=+ос. Из (50.10) имеем Аг / ЛЛ,й ды (51.2) При достаточно малом Л производная и положительна (ее знак совпадает со знаком и>, см. (50.11)), т.е.

и — монотонная функция времени 1. При переходе в (51.2) от интегрирования по Ж к интегрированию по с1и пределы останутся поэтому прежними: / дю с11 с1со (51.5) Подставим сюда (51.4) и преобразуем интеграл, рассматривая в нем формальным образом и как комплексную переменную. Предположив, что подынтегральное выражение не имеет особых точек при вещественных значениях и, сместим путь интегрирования с вещественной оси и в верхнюю полуплоскость этой переменной. При ио этом контур озацепляется» за особые точки подынтегрального выражения и, огибая их, принимает вид, Рис. 66 показанный схематически на рис. 56. Пусть ив — ближайшая к вещественной оси особая точка, т.е.

точка с наименьшей по величине (положительной) мнимой ча- Как уже было указано, величина Л вЂ” периодическая (с периодом 2п) функция переменной и; разложим ее в ряд Фурье: Л= ~~1 еп Л1 (51.3) 1= — сс (в силу вещественности Л коэффициенты разложения связаны при этом соотношениями Л ~ = Л1 ). Отсюда для производной дЛ/ди имеем — 11е' Л1 = 2йе ~ 11еп Л1. (51.4) 1= — сю 1=1 210 ГЛ. Ун КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ стью.

Главный вклад в интеграл (51.5) возникает от окрестности этой точки, причем каждый из членов ряда (51.4) дает вклад, содержащий множитель ехр ( — 11шюо). Сохраняя опять- таки лишь член с наименьшим по абсолютной величине отрицательным показателем (т.е. член с 1 = 1), найдем, что '). Л1 ехр ( — 1гп юо). (51.6) Пусть 19 «момент времени»(комплексное число!), отвечающий особой точке юо. ю(19) = юо. По порядку величины )19~ совпадает, вообще говоря, с характерным временем изменения параметров системы; обозначим это время через т ').

Порядок же величины показателя степени в (51.6) будет 1шюо спт - т)Т. (51.7) Поскольку, по предположению, т» Т, то этот показатель велик. Таким образом, разность 1~ — 1 убывает экспоненциально при уменьшении скорости изменения параметров системы '). Для определения юо в первом приближении по Т/т (т.е, с сохранением лишь члена порядка (Т(т) 1 в показателе) можно отбросить в уравнении (50.11) малый член, содержащий Л, т.е. писать о = оэ(1, Л(1)), (51.8) причем аргумент 1 функции ш(1,Л) полагается постоянным, скажем, равным 1 . Тогда гс юо = со(1 Л(г)) пг (51.9) (в качестве нижнего предела можно взять любое вещественное значение 1; интересующая нас мнимая часть юо от этого значения не зависит) ').