В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия, страница 8

Чтобы доказать, что решение в самом деле существует, мы должны подставить в исходную систему (Д1.19) на место х, у и е их значения, определяемые формулами Крамера (Д1.24). и убедиться в том, что все три уравнения (Д1.19) обращаются при этом в тождества. Убедимся, например, что первое уравнение (Д1.19) обращается в тождество при подстановке значений х, у и а, определяемых формулами Крамера (Д1.24).

Учитывая, что А.=Ь!Аг+ЬзАг+ЬзАз, Ьз Ь,Вг+ЬзВг+ЬзВз, Ьз= = Ь|С~ + ЬгСг + ЬзСз, будем иметь, подставив в левую часть первого из уравнений (Д1.19) значения х, у н а, определяемые формулами Крамера: аз аз аз агх+ Ь)у+ ср=а~ — + Ь| — + с~ — = а л а 1 = а (а1 (Ь! А~ + ЬгАг + ЬзАз) + Ь, (Ь! В, + ЬгВг + 1гзВз) + + с, (Ь,С, + ЬгСз + ЬзСз)). Группируя внутри фигурной скобки члены относительно Ь» Ьг и Ьз, будем иметь ах+ Ь у+ сьа = 1 = — (Ь, (а, А, + Ь,В, + с,С,) + Ьг [а, Аз + Ь,Вг+ с,Сг[ + + Ьз [аг Аз + ЬгВз + сгСз[) В силу свойства 9 в последнем равенстве обе квадратные скобки равны нулю, а круглая скобка равна определителю Ь.

Таким образом, мы получим а~х+Ь|у+с~а = Ь» и обращение в тождество первого уравнения системы (Д1.19) установлено. Аналогично устанавливается обращение в тождество второго и третьего уравнений системы (Д1.19). Мы приходим к следующему выводу: если определитель Л системы (Д1.19) отличен от нуля, то существует, и притом единственное, решение этой системы, определяемое формулами Крамера (Д1.24). 7.

Однородная система двух линейных уравнений с тремя неизвестными. В этом и в следующем пунктах мы разовьем аппарат, необходимый для рассмотрения неоднородной системы (Д1.19) с определителем, равным нулю. Сначала рассмотрим зб СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЯИШИВ ЗАДАЧИ и'л. ! однородную систему двух линейных уравнений с тремя неизвестнымн а,х+ Ь,у+ с,х = О, (Д1.25) азх+ Ьзу+ с,г = О. Если все три определителя второго порядка, которые можно составить из матрицы (Д1.26) равны нулю, то в силу утверждения из п, 1 коэффициенты первого из уравнений (Д1.25) пропорциональны соответствующим коэффициентам второго из этих уравнений.

Стало быть, в этом случае второе уравнение (Д1.25) является следствием первого, н его можно отбросить. Но одно уравнение с тремя неизвестными а1х + Ь|у + сзг = О, естественно, имеет бесчисленное множество решений (двум неизвестным можно предписывать произвольные значения, а третье неизвестное определять из уравнения).

Рассмотрим теперь систему (Д1.25) для случая, когда хотя бы один из определителей второго порядка, составленных из матрицы (Д1.26), отличен от нуля. Не ограничивая общности, будем считать, что определитель а|1~О е) (Д1.27) Тогда мы можем переписать систему (Д1.25) в виде а,х+ Ь,у = — с,г, азх + Ь,у — с,г и утверждать, что для каждого г существует единственное решение этой системы, определяемое формулами Крамера (см.

п. 2, формулы (Д1.8) ) аз сз! сз Ьз ~ (Д1.28) а, Ь, а, Ь, а, Ь! аз Ьз а Ь с, . с) Это предположение не снижает общности, ибо порядок следования неизнестимя к, у н я нзяодится а нашем распоряжении. Для дальнейшего удобно ввести в рассмотрение алгебраические дополнения Аз, Вз и Сз элементов третьей строки опреде- лителя СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕИШИЕ ЗАДАЧИ !гл. ю а~к+ Ь1у+ с1г = О, как уже отмечалось в предыдущем пункте, имеет бесчисленное множество решений.

Остается рассмотреть случай, когда хотя бы один минор матрины (Д1.33) отличен от нуля. Так как порядок следования уравнений и неизвестных находится в нашем распоряжении, то, не ограничивая общности, мы можем считать, что отличен от нуля определитель (Д1.27). Но тогда, как установлено в предыдущем пункте, система первых двух уравнений (Д1.32) имеет бесчисленное множество решений, определяемых формулами (Д1.31) (прн любом г).

Остается доказать, что х, у и г, определяемые формулами (Д1.31) (при любом г), обращают в тождество и третье уравнение (Д1,32). Подставляя в левую часть третьего уравнения (Д1.32) х, у и г, определяемые формулами (Д!.31), будем иметь а,х+ Ь,у+ с,г = (а,АА+ Ь,,В, + С,С,) г = Л !. Мы воспользовались тем, что в силу свойства 9 выражение в круглых скобках равно определителю б системы (Д!.32). Но определитель Л по условию равен нулю, и поэтому при любом ! мы полУчим агх+ЬАУ+сьг = О. Итак, доказано, что однородная система (Д1.32) с определителем Ь, равным нулю, имеет бесчисленное множество решений.

Если отличен от нуля минор (Д1.27), то этн решения определяются формулами (Д!.31) при произвольно взятом 1. Полученный результат можно сформулировать еще и так: однородная система (Д1.32) имеет нетривиальное решение в том и только в том случае, когда определитель ее равен нулю.

9. Неоднородная система трех линейных уравнений с тремя нензвестнымн с определителем, равным нулю. Теперь мы располагаем аппаратом для рассмотрения неоднородной системы (Д!.19) с определителем б, равным нулю. Могут представиться да а с луч а я: а) хотя бы один нз определителей б„б„или тА, отличен от нуля; б) все три определителя б„ст„и Ь, равны нулю. В случае а) оказывается невозможным хотя бы одно из равенств (Д1.23), т, е. система (Д1.23) не имеет решений, а поэтому не имеет решении" и исходная система (Д!.!9) (следствием которой является система (Д1,23)).

Г!ереходим к рассмотрению случая б), т. е. случая, когда все четыре определителя Ь, б„ Ьт и 7Т„ равны нулю. Начнем с примера, показывающего, что в этом случае система может не иметь ни одного решения. Рассмотрим систему х+у+г=1, 2х + 2у + 2г = 3, Зх+ Зу + Зг дополнении к глава | 39 Ясно, что эта система не имеет решений. В самом деле, если бы решение хо, уо, ао существовало, то из первых двух уравнений мы получили бы хо+ уо+ го = 1, 2хо+ 2уо+ 2го = 3, а отсюда, умножая первое равенство на 2, получили бы, что 2 = 3.

Далее, очевидно, что все четыре определителя Ь, Ь,, Ь„и Ь, равны нулю. В самом деле, определитель Ь=2 2 2 имеет три одинаковых столбца, определители Ь„Ьз и Ь, получаются путем замены одного из этих столбцов свободными членами и, стало быть, имеют по два одинаковых столбца. В силу свойства 3 все эти определители равны нулю. Докажем теперь, что если система (Д1.19) с определителем Ь, равным нулю, имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесчисленное множество различных решений. Предположим, что указанная система имеет решение хо, уо, хо.

Тогда справедливы тождества а,хо+ Ь!Уо+ с,ао йо азха + Ьзуо + сохо = "э (Д1.34) азхо+ Ьзуо+ сзго — — Ь,. Вычитая почленно из уравнений (Д!.19) тождества (Д1.34), получим систему уравнений а, (х — х,) + Ь, (у — у,) + с, (а — го) = О, аз (х — хо) + Ьз (у — уо) + сз (г — ао) = О, (Д1.35) аз(х — хо)+Ьз(у — уо)+сз(а ао)=О эквивалентную системе (Д1.19). Но система (Д1.35) является однородной системой трех линейных уравнений относительно трех неизвестных (х — хо), (у — уо) и (г — го) с определителем Ь, равным нулю. Согласно п.

8 последняя система (а стало быть, и система (Д1.19)) имеет бесчисленное множество решений. Например, в случае, когда отличен от нуля минор (Д1.27), мы с помощью формул (Д1.31) получим следующее бесконечное множество решений системы (Д1.19): х = хо+ Аз~, у = уо+ Вз(, и = хо+ Сз1 (1 принимает любые значения). Рассматриваемое утверждение доказано, и мы можем сделать следующее заключение: если Ь = Ь, = Ь„= Ь, = О, го неоднородная система (Д1.19) либо совсем не имеет решений, либо имеет их бесконечное множество. 4О системы координат пвостаншна злдлчн шл. ~ В качестве примеров предлагаем читателю рассмотреть следующие трн системы: и убедиться в том, что первая система имеет единственное решение х = 1, у = 1, г = 1 (для нее Л = Л„= Л„= Ь,= ЗЗ), вторая система не имеет решений (для нее 6=0, Лд =!), а третья система имеет бесчисленное множество решений (для нее Л = Ь, = Ь~ — — Л, = О), определяемых при произвольном!формулами: х=1,у=1,г= х+2у+г=4, Зх — Бу+Зг=1, 2х+7у — г=8, х+у+г=2, Зх+ 2у+ 2г = 1, 4х + Зу -1- Зг = 4, х+у+г=1, 2х+у+г=2, Зх+ 2у+ 2г = 3, глдвл ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В этой главе изучаются векторные величины (или просто векторы), т.

е. такие величины, которые, кроме своего численного значения, характеризуются еще направленностью. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила. В главе изучаются простейшие операции над векторами (сложение векторов, умножение векторов на число), вводится понятие линейной зависимости векторов н рассматриваются основные приложения этого понятия, изучаются различные типы произведений векторов, актуальные для физических приложений (скалярное и векторное произведение двух векторов, смешанное и двойное векторное произведение трех векторов). $ 1. Понятие вектора и линейные операции над векторами 1.

Понятие вектора. Абстрагируясь от конкретных свойств, встречающихся в природе физических векторных величин, мы ирнходим к понятию геометрического вектора, нли просто вектора. Геометрическим вектором (или просто вектором) будем называть яолраелениый отрезок. Мы будем обозначать вектор либо как на. правленный отрезок символом АВ, где точки рас. зд А и В обозначают соответственно начало и конец данного направленного отрезка (вектора), либо одной жирной латинской буквой, например а илк Ь. На чертеже будем изображать вектор стрелкой, причем латинскую букву, обозначающую этот вектор, будем писать у его конца (рис.

2.1). Начало вектора называют точкой его приложения. Если точка А является началом вектора а, то мы будем говорить, что вектор а приложен в точке А. Для обозначения длины вектора будем пользоваться символом модуля (или абсолютной ве- ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА )ГЛ В личины). Так, )АВ~ и )а~ обозначают длины векторов АВ и а соответственно. Вектор называется н у л е в ы м, если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направле- ния и имеет длину, равную нулю.

Это позволяет при записи отождествлять нулевой вектор с вещественным числом нуль. Введем важное понятие коллинеарности векторов. Векторы назьгваются кол линеарными, если они лежат либо на од- ной прямой, либо на параллельных прямых, Теперь можно сформулировать понятие равенства двух векторов: два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и Одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равньиии. На рис. 2.2 изображены слева неравные, а справа равные векторы а и Ь. ь Из определения равенства векторов Рис.