В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия, страница 46

Пусть фиксирована произвольная окружность радиуса г с центром в точ. ке А. Инверсией относительно указанной окружности называется такое преобразование точек плоскости, при котором любая, отличная от А точка плоскости М переходит в точку М', лежащую на одном с точкой М луче, выходящем из А, и такую, что выполнено условие АМ' АМ = г'. Назовем неевклидов отрезок АВ конгрузнтным неевклидову отрезку А'В', если существует такая последовательность инверсий, что их произведение отображает евклидову круговую дугу АВ в круговую дугу А'В'.

Неевклидовым углом будем называть совокупность двух неевклидовых полупрямых, исходящих из одной точки. Назовем неевклидов угол г.' (й',й') конгрузнтным неевклидову углу .~ (й,й), если существует такая последовательность инверсий, что нх произведение отображает стороны первого угла на стороны второго. После принятых определений проверка аксиом конгруэнтности П1,1 — 5 превращается в техническую работу, которую мы можем опустить. Проверка аксиомы Архимеда 1Ч,1 также ие вызывает никаких трудностей и использует лишь свойства инверсий. Последняя аксиома абсолютной геометрии в аксиома полноты 1У,2 справедлива вследствие того, что (как это установлено выше) между всеми точками любой «неевклидовой прямой» и всеми вещественными числами можно установить взаимно однозначное соответствие (см. вторую основную теорему из и.

5 $1). ЗАмэчания о пговламэх Аксиомэтики 22э Итак, для нашей модели справедливы все аксиомы абсолютной геометрии (1, 1-3, П вЂ” 1Ч). Как же обстоит дело с аксиомой параллельности Чр Возьмем любую «неевклидову прямую», изображаемую полуокружностью а, и любую точку А, ей не принадлежащую. Легко проверить, что через точку А проходит бесконечно мноэо различных полуокружностей, имеющих центры на прямой х и не имеющих общих точек с полуокружностью а.

Это означает, что в рассматриваемой нами модели справеднива аксиома параллельности Лобачевского. Тем самым мы завершили доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского и одновременно показали, что аксиома параллельности Ч Евклида не является следствием аксиом 1,1 — 3, 11 — 1Ч абсолютной геометрии. 5 4. Заключительные замечания о проблемах аксиоматики При изучении любой системы аксиом естественно возникают следующие три проблемы: 1) проблема непротиворечивости системы аксиом; 2) проблема минимальности системы аксиом (выясняющая вопрос о том, не является ли каждая из рассматриваемых аксиом следствием остальных); 3) проблема полноты системы аксиом (принято систему аксиом называть полной, если между элементами двух любых ее реализаций можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее установленные между элементами соотношения).

В $2 и 3 мы установили непротиворечивость системы аксиом как геометрии Евклида, так и геометрии Лобачевского. Проблема минимальности системы аксиом геометрии является очень трудоемкой и требует обстоятельного исследования. Примером такого исследования является установленный нами факт, что аксиома параллельности 'Ч не является следствием остальных аксиом. Полнота системы аксиом геометрии устанавливается посредством введения для любой реализации координатной системы и последующего установления взаимно однозначного соответствия (с сохранением всех соотношений) между точками, прямыми и плоскостями данной реализации (в координатной записи) и декартовой реализации, изученной в 3 2.

15И«7 5-02-015234-Х ?85020 152562 > Учебное издание ИЛЬИН Владимгр Ллммлмуромм, НОЗНЯКЗЛР рд Г 9 АИАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Серия «Курс выыпей математики и математической физики» Редактор йт М Горя шя Коррекпэры И Я Крн«эмаль, Н Д Храпко ЛР № 020297 от 23.06.97. Подписано в печать с готовых диапозитивов 20.06.98. Формат 60х90'/и. Бумага типографская Печать офсетная. Усл.

печ, л. 14. Уч.-изд л. 14,76. Тираж 5000экь Заказ 168. С-025. Издательская фирма «Физико-математическая литература «РАН» !17071, Москва В-71, Ленинский проспект, 15. При участии ООО «Хара«сох Лнпензия ЛВ № 32 от 27.08.97. 220013, Минск, ул. Л. Коласа, 35 — 305. Отпечатано с готовых диапозитивов заказчика в типографии издательства «Белорусский Дом печати». 220013, Минск, пр.Ф. Скорины, 79. .