В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия, страница 12

Если вектор б имеет декартовы прямоугольные координаты Х, У, Я, то мы будем использовать следующую символику: д=(Х, У, Х). Геометрический смысл декартовых прямоугольных координат вектора выясняет следующее утверждение. Теорема 2.У. Декартовы прямоугольные координаты Х, У и Я вектора д равны проекциям этого вектора на оси Ох, Оу и Ог соответственно. Доказательство. В полной аналогии с рассуждениями, проведенными при доказательстве теоремы 2.6 (и. 6), приложим вектор д к началу О декартовой системы и проведем через конец Р этого вектора три плоскости, параллельные координатным и плоскостям Оуг, Охг и Оху (рис. 2.13).

Точки пересечения указанных плоскостей с осями Ох, Оу и Ог соответственно обозначим буквами А, В и С. 7г Как н при доказательстве теоремы 2.6, получим, что д =ОА+ ОВ+ ОС. Дальнейшие рассуждения упомянутой теоремы (с учетом изменившихся обозначений) приводят нас к равенствам ОА=Х1, ОВ= У1, ОС=Лс. (2. 26) ') В саучае декартовой пркмоутольной системы дли координат вектора 4 вместо 1ь р, т мы будем нспольаовать обозначении Х, у, Х. 58 ВектоРнАЯ АлГЯБРА !ГЛ 2 В рассматриваемом случае декартовой прямоугольной системы параллелепипед, построенный на базисных векторах 1, ), к и имеющий вектор д своей диагональю, является прямоугольным.

Поэтому проекции вектора б на осй Ох, Оу и Ог соответственно равны величинам ОА, ОВ н ОС. Для доказательства теоремы нам остается убедиться в том, что ОА =Х, ОВ = У, ОС= Х. Убедимся, например, в равенстве ОА=Х. В силу (2.25) ОА =Х1. Отсюда и нз того, что 1 — единичный вектор, выте. кает, что !ОА!=!Х!.

Но н знаки чисел ОА и Х совпадают, нбо в случае, когда векторы ОА н 1 направлены в одну сторону, оба числа ОА и Х положительны, а в случае, когда векторы ОА и 1 направлены в противоположные стороны, оба числа ОА н Х отрицательны, Итак, ОА = Х. Аналогично доказываются равенства ОВ= У н ОС = Х, Теорема доказана. Обозначим буквами а, р н т углы наклона вектора б к осям Ох, Оу н Ог соответственно. Трн чнсла соз а, соз 8 н соз 7 принято называть направляющими косинусами вектора б. Из теорем 2.9 н 2.8 (см. формулу (2.23)) вытекают следую.

щие формулы для координат Х, У и Х вектора б: Х=!б!соза, У=!б!совр, Х=!б!сову. (226) Так как квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его сторон, то нз равенств ОА = Х, ОВ = У и ОС = Х мы получим следующее выражение для длины вектора б через его коордннаты: ! л ! — 1/Х2+ У2+ т2 (2.27) Из формул (2.26) н (2.27) вытекают следующие выражения для направляющих косннусов вектора б через координаты этого вектора: соз а= (2.28) Х т 2» .»»' ' »»х~~~ .»г соз (1 = Х соз т= ~»» ~+» Возводя в квадрат н складывая равенства (2.28), получим, что соз'а+ соз'(1+ соз'у= 1» т.

е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице. Так как вектор б однозначно определяется заданием трех его координат, то нз формул (2.26) ясно, что вектор б однозначно определяется заданием его длины и трех направляющих косинусов. скллягнов пьоизввдвнив двтх ззктоьов В заключение докажем сформулированные в конце преды- дущего пункта линейные свойства проекции вектора на ось, т. е, докажем, что при сложении двух векторов 4~ и де их про- екции на произвольную ось и складываются, а при умножении вектора д~ на любое число а его проекция на произвольную ось и умножается на число а. Пусть дана произвольная ось и и любые векторы 4~ и дь Введем декартовы прямоугольные координаты так, чтобы ось и совпала с осью Ох. Пусть 4,=Х,!+У,)+Х,(г, де=Хе1+Уь)+Хе(г, Тогда в силу теоремы 2.7 д~ + д, = (Х, + Хь) 1+ (У~ + Уе) ! + (Х~ + Хз) (г, ад, = (аХ,) ! + (ау,) ) + (аХ,) 1с. Но в снлу теоремы 2.9 и того, что ось и совпадает с осью Ох, можно утверждать, что Х,=пр„йь Х =пр„дь Х, + Х =пр„(д, + д), аХ, = пр„(ад,).

Таким образом, пр„(д, + 4,) = пр„д, + пр„д„пр„(ад~) = а пр„д„ н сформулированное утверждение доказано. 5 2. Скалярное пронзведенне двух векторов 1. Определение скалярного произведения. Определение 1. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов а и Ь будем обозначать символом аЬ. Если угол между векторами а н Ь равен ф, то по определению скалярное произведение этих двух векторов выражается формулой аЬ=~ аЦЬ!созф. (2.29) Сформулируем другое определение скалярного произведения двух векторов, эквивалентное определению 1. Для этого воспользуемся понятием проекции вектора Ь на ось, определяемую вектором а. В соответствии с обозначениями п. 8 3 1 будем обозначать проекцию вектора Ь на ось, определяемую вектором а, символом пр,Ь. На основании теоремы 2.8 получим пр„Ь = ! Ь ! соз ф. (2.30) Сопоставление равенств (2.29) н (2.30) приводит нас к следующему выражению для скалярного произведения: аЬ=)а!цр,Ь.

(2.31) ео ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА [ГЛ. Э Конечно, в проведенных рассуждениях можно было бы поменять ролями векторы а и Ь. При этом мы пришли бы к следующему выражению для скалярного произведения: аЬ=! Ь! прьа. (2.32) Выражения (2.31) и (2.32) приводят нас к следующему определению скалярного произведения (эквивалентному определению 1). Определение 2. Скаля рн ым произведением двух векторов называется число, равное произведению длины одного иэ этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым иэ укаэанных векторов.

Понятие скалярного произведения векторов родилось в механике. Если вектор а изображает силу, точка приложения которой перемешается нз начала в конец вектора Ь, то работа [в указанной силы определяется равенством [в= | а || Ь! сов ф, т. е. равна скалярному произведению векторов а и Ь. 2. Геометрические свойства скалярного произведения. Теорема 2.20. Необходимым и достаточньлм условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Доказательство.

1) Необходимость. Пусть векторы а и Ь ортогональны, ф — угол между ними. Тогда соэ ф=О и в силу формулы (2.29) скалярное произведение аЬ равно нулю. 2) Достаточность. Пусть скалярное произведение аЬ равно нулю. Докажем, что векторы а и Ь ортогональны. Прежде всего исключим тривиальный случай, когда хотя бы один из векторов а или Ь является нулевым (нулевой вектор имеет неопределенное направление, и его можно считать ортогональным любому вектору). Если же оба вектора а и Ь ненулевые, то |а|) О и |Ь!) О, и поэтому из равенства аЬ = О и нз формулы Я 6 (2.29) вытекает, что созф=О, т. е. векторы а и Ь ортогональны. 0 Теорема доказана.

Прежде чем сформулировать следующее утра' в[4 верждение, уточним понятие угла ф между век- торами а и Ь. Приведем произвольные векторы а и Ь к общему началу О (рис. 2.14), Тогда в качестве угла ф между векторами а и Ь можно взять любой из двух указанных на рис. 2.14 углов ф[ и фь В самом деле, сумма углов ф[ и фь равна 2п, и поэтому соз ф[ = сов фы а в определение скалярного произведения входит только косинус угла между векторами.

Из двух углов ф[ и фг один заведомо Ь з1 скАляРЯОе пРОНЗВеденне дВух ВектОРОВ 6! не превосходит и (на рис. 2.14 не превосходит и угол гр~). Договоримся в дальнейшем под углом между двумя векторами подразумевать тот угол, который не превосходит и. Тогда справедливо следующее утверждение. Теорема 2.11.

Два ненулевых вектора а и Ь составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отриг(ательно) . Доказательство. Так как векторы а н Ь ненулевые, то в силу формулы (2.29) знак скалярного произведения совпадает со знаком созгр. Но если угол <р не превосходит и, то соз р положителен тогда и только тогда, когда ф — острый угол, и отрицателен тогда и только тогда, когда ф — тупой угол. Теорема доказана.

3. Алгебраические свойства скалярного произведения. Скалярное произведение векторов обладает следующими четырьмя свойствами: 1' аЬ = Ьа (переместигельное свойство); 2' (сса)Ь = а(аЬ) (сочетательное относительно числового множителя свойство); 3' (а+Ь)с = ас+ Ьс (распределительное относительно суммы векторов свойство); 4' аа ) О, если а — ненулевой вектор, и аа = О, если а— нулевой вектор '). Убедимся в справедливости этих свойств. Свойство 1' непа. средственно вытекает из формулы (2.29). Для доказательства свойства 2' воспользуемся определением 2 скалярного произведения, т. е. формулой (2.32).

Учитывая, что проекция вектора на ось обладает линейным свойством прь(аа) а прь а (см. конец и. 8 и конец п. 9 9 1), получим (аа) Ь = ! Ь ! ° и рь (аа) = а ! Ь ! ° и р» а = и ° (аЬ). Тем самым свойство 2' доказано. ) Отметим, что в курсе линейной алгебры вместо множества векторов рассматривают множество элементов а, Ь, ... любой природы. Если для эяементов этого множества определены ойерацин сложения н операция умножении на вешественное число и для этнх операций справедливы те же самые свойства 1' — 7; которые установлены нами для линейных операций над векторамн (см.

й. 2 $1), то указанное множество элементов называется линейным нросгрансгаом. Произвольное линейное пространство называетсн евк вдовым пространством, если: 1) азвестно правило, посредством которого любым двум элементам а н Ь этого пространства ставится в соответствие число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом аЬ; 2) указанное правило таково, что для скалязоного произведения справедливы только что сформулированные свойства 1' — 4, Таким образом, пространство всех геометрических векторов с определеннымн нами линейнымн операциями н скалярным произведением представляет собой один нз примеров линейного евклидова пространства.