В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия, страница 11

(2.15) Из аналогичных соображений вытекает существование вещественных чисел !ь н т таких, что ОВ=!АЬ, ОС=ос. Вставляя (2.15) н (2.16) в (2.!4), будем иметь д = )ьа+ РЬ + тс. Равенство (2.17] можно переписать в виде !ьа + !АЬ + тс + (-1) д = О. (2.18) (2. 17) ') Согласно следставю 3 нэ теоремы 2.Б э тройке некомпланарных вен. торов не может содержаться нв одной пары коллннеарных векторов в нв одного нулевого вектора.

эа) векторы, входящие э каждую вэ укаэавных трех кар, не коллннеарны, а поэтому каждая нэ укаэанных трех пар определяет некоторую плоскость. ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ эи Так как из четырех чисел Х, и, ч, — 1 одно заведомо отлично от нуля, то равенство (2.18) доказывает линейную зависимость векторов а, Ь, с и й. Теорема доказана. Попутно доказано следующее утверждение: Следствие 1. Каковы бы ни были некомпланарные векторы а, Ь и с, для любого вектора й найдутся такие вещественные числа Х, 1А и ч, что справедливо равенство (2.17) й=ла+ ЦЬ+ чс.

7. Понятие базиса. Аффнниые координаты. Определение 1. Говорят, что три линейно независимых вектора а, Ь и с образуют в пространстве базис, если любой вектор й может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов а, Ь и с, т. е. если для любого вектора й найдутся такие вещественные числа Х„1А и ч, что справедливо равенство (2.17). Аналогично определяется базис на некоторой плоскости и. Определение 2.

Говорят, что два лежащих в плоскости и линейно независимых вектора а и Ь образуют на этой плоскости б а з и с, если любой лежащий в плоскости п вектор с может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов а и Ь, т. е. если для любого лежащего в плоскости и вектора с найдутся такие вещественные числа Х и и, что справедливо равенство (2.13). Справедливы следующие фундаментальные утверждения: 1) любая тройка некомпланарных векторов а, Ь и с образует базис в пространстве", 2) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов а и Ь образует базис на этой плоскости. Для доказательства первого из этих утверждений достаточно заметить, что, каковы бы нн были три некомпланарных вектора а, Ь н с, они линейно независимы (в силу следствия 2 из теоремы 2.5), и для любого вектора б йайдутся вещественные числа Х, р и ч такие, что справедливо равенство (2.17) (в силу следствия из теоремы 2.6).

Утверждение 2) доказывается аналогично (с помощью следствия 1 из теоремы 2,4 н следствия 1 из теоремы 2.5). В дальнейшем для определенности будем рассматривать базис в пространстве. Итак, пусть а, Ь, с — произвольный базис в пространстве, т. е, произвольная тройка некомпланарных векторов. Тогда (по определению базиса) для любого вектора й найдутся такие вещественные числа А, р и ч, что будет справедливо равенство (2.17) й = Ха + рЬ + чс.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА [Гл и Принято называть равенство (2.17) разложением вектора б по базису а, Ь, с, а числа Х, 1з и и — координатами вектора б относительно базиса а, Ь, с. Докажем, что каждый вектор б может быть еди не твенным способом разложен по базису а, Ь, с, или (что то же самое) координаты каждого вектора д относительно базиса а, Ь, с определяются однозначно. Допустим, что для некоторого вектора д, наряду с разложением (2.17), справедливо еще и другое разложение по тому же самому базйсу б = А'а + р'Ь + и'с. Почлениое вычитание равенств (2.17) и (2.19) приводит к соотношению *) (А — Х') а + (р — р') Ь + (т — т') с = О. (2.20) В силу линейной независимости базисных векторов а, Ь, с соотношение (2.20) приводит к равенствам Л вЂ” Д'=О, )з — р'=О, т — т'=О, или А = А', 1з= )з', т =т'.

Единственность разложения по базису доказана, Основное значение базиса состоит в том, что линейные операции над векторами при задании базиса становятся обычными линейными операциями над числами †координата этих векторов. Именно справедливо следующее утверждение. Теорема 2.7. При сложении двух векторов дз и бз их координаты (относительно любого базиса а, Ь, с) складываются. При умножении вектора йз на любое число а все его координаты умноясаются на зто число.

Доказательство. Пусть б1 — — Х1а+ 1А1Ь+ т1с, бз = Хза+ +ИзЬ+тзс. Тогда в силу свойств 1' — T линейных операций (см. п. 2) б, + дз = (А, + йт) а + Озз + Из) Ь + (т, + т,) с, аб, (аач) а + (а1»з) Ь + (оо,) с. В силу единственности разложения по базису теорема доказана. Перейдем теперь к определению так называемых аффиниых**) координат точки. ') Возможность почлениого вычитания равенств (2Л7) а (2дй) н проязводныой группяровня членов вытекают нз свойств лняейаых операций над веаторахы (см.

п. 2). *') термин еаффинный» происходит от латынского слова аП!п!з, что означает схюкиый, ыла соседный. зи линвиныв опвгкции над ввктоглми Аффинные координаты в пространстве определяются заданием базиса а, Ь, с и некоторой точки О, называемой началом координат, Аффинными координатами любой точки М называются координаты вектора ОМ (относительно базиса а. Ь, с). Так как каждый вектор ОМ может быть, и притом един. ственным способом, разложен по базису а, Ь, с, то каждой точке пространства М однозначно соответствует тройка аффинных координат л, р, ч.

Разумеется, декартовы прямоугольные координаты являются частным случаем аффннных координат, соответствующим тройке взаимно ортогональных и единичных базисных векторов. Более подробно этот важный частный случай рассматривается в п. 9 настоящего параграфа. В заключение заметим, что свойства базиса н понятие аффннных координат на плоскости вполне аналогичны случаю пространства. 8. Проекция вектора на ось н ее свойства. Прежде всего определим проекцию вектора а =АВ на произвольную ось и. Обозначим буквами А' и В' основания перпендикуляров, опущенных на ось и из то.

чек А и В соответственно (рис. 2.12). Проекиией вектора а = АВ на ось и называется величина А'В' направленного отрезка А'В' оси и. м е е Договоримся обозначать проекцию век- ж л тора а на ось и символом пр„ а. Построение проекции вектора а = АВ на ось и ил. Рнс к1з люстрируется на рис. 2.12, где символом а и (1 обозначены две проектирующие плоскости (т, е.

плоскости, перпендикулярные оси и и проходящие через концы А и В вектора а = АВ). Для дальнейшего нам понадобится понятие угла наклона вектора а = АВ к оси и. Этот угол может быть определен как угол у мезсду двумя выходящими иэ произвольной точки М лучами, один иэ которых имеет направление, совпадающее с направлением вектора а = АВ, а другой — направление, совпадающее с направлением оси й (рис. 2.12). Очевидно, на величину угла наклона вектора а к оси и не влияют выбор точки М выхода указанных выше лучей и замена оси и любой другой осью о, имеющей то же направление, что и ось и. Докажем следующее утверждение.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА [ГЛ. Э Теорема 2.8. Проекция вектора а на ось и равна длине вектора а, умноженной на косинус ф угла наклона вектора а к оси и. Доказательство. Обозначим через о ось, проходящую через начало А вектора а и имеющую то же направление, что и ось и (рис, 2.12), и пусть С вЂ” проекция В на ось о. Тогда л.ВАС равен углу ф наклона вектора а = АВ к любой из осей и или о, причем точка С заведомо лежит в указанной иа рис. 2.12 проектирующей плоскости р (т.

е. в плоскости, перпендикулярной оси и и проходящей через точку В), Далее, можно утверждать, что А'В'= АС '), ибо оси и и о параллельны и одинаково направлены и отрезки этих осей, заключенные между параллельными плоскостями а и р, равны. Так как по определению пр,а =А'В', то мы приходим к равенству (2,21) пр„а АС. Но величина АС представляет собой проекцию направленного отрезка АВ на ось о, которая (в силу п.

1 $ 3 главы 1) равна АС = ! АВ ! соз ф = ! а ! соз ф. (2.22) Из сопоставления равенств (2.21) и (2.22) вытекает равенство пр„а=~а!созф, (2.23) Теорема доказана. Основные свойства проекции вектора на ось заключаются в том, что линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов (на произвольную ось). Именно справедливо следующее утверждение: При сложении двух векторов й1 и аз их проекции на произвольную ось и складываются. При умножении вектора й~ на любое число а проекция этого вектора на произвольную ось и также умножается на число а.

Доказательство этого утверждения отложим до п. 9. Описанные свойства проекции вектора на ось естественно назвать линейными свойствами. и. Декартова прямоугольная система координат как частный случай аффннной системы координат. Как уже отмечалось выше, декартова прямоугольная система координат является частным случаем аффииной системы, отвечающей тройке взаимно ортогональных и единичных базисных векторов. «) Эдесь под А'В' следует понннать велнчнну направленного отрезка А'В' осн и, а под АС- велнчнну направленного отрезка АС осн о. бт линеиные ОпеРАции ИАд вектОРАми З случае декартовой прямоугольной системы базисные векторы принято обозначать не буквами а, Ь, с, а буквами 1, ), 1с. Итак, каждый из векторов 1, ), к имеет длину, равную единице, причем эти три вектора взаимйо ортогональны (обычно направления векторов 1, ), к берут совпадающими с направлениями декартовых осей Ох, Оу и Ог соответственно).

В силу основных результатов и. 7 каждый вектор б может быть, и притом единственным способом, разложен по декартову прямоугольному базису 1, ), к, т. е. для каждого вектора б найдется, и притом единственная, тройка чисел Х, У и Я *) такая, что справедливо равенство б=Х1+У)+Хк. (2.24) Числа Х, У, Х называются декартовыми прямоугольными координатами вектора б. Если М вЂ” любая точка пространства, то определенные в главе 1 декартовы прямоугольные координаты этой точки совпадают с декартовымн прямоугольными координатами вектора ОМ.