В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия, страница 4

Из определения прок М!21йг и теоремы 1.2 вытекает справедливость соотношения про,М,М, х,— х,, (1.5) Установим еще одну формулу для вычисления прок М!Мь Для этого перенесем направленный отрезок М!Мз параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с какой-либо точкой оси Ох (на рис. 1.8 этой точкой является точка М1 ).

Обозначим через 1р наименьший угол между направлением оси Ох и направлением отрезка М„М', полученного указанным выше параллельным переносом отрезка М!Мз Отметим, что угол 1р заключен между 0 и и. При этом очевидно, что угол ар острый, если направление отрезка М! 2112 совпадает с направлением Ох, и тупой, если направление М1„И2 противоположно направлению Ох. Используя зто, легко убедиться в справедливости следующей нужной нам формулы: проаМ!Ма = ~ М1М2(с05 1ра в которой ~М1М2~ обозначает длину отрезка М!в42.

2. Расстояние между двумя точками. В этом пункте мы установим формулу для вычисления расстояния между двумя тон«ами по известным координатам этих точек. Эта задача уже решена для случая точек иа прямой в п. 3 2 1 этой главы (см формулу (1А)). Ради определенностя подробно остановимся на случае, когда точки расположены в пространстве. Рассмотрим в пространстве декартову систему координат Охуг и точки М!(х1,уь х!) и Мз(хт, уз, хэ) (рис. 1.9). Очевидно, 2 Зак 168 18 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕЯШИЕ ЗАДАЧИ [гл. 1 расстояние р(МНМТ) между тачками М1 и Ми равное длине направленного отрезка М1МИ равно также длине диагонали параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям и проходят через точки У М1 и Мз (на рис. 1.9 этот паралле- лепипед изображен штриховой ли- 1' — -ф ~ нией).

Длина параллельного осн ф+ —:( Ох ребра этого параллелепипеда ь — +А. ', равна, очевидно, абсолютной вели- 1 У а чине проекции отрезка М,МЗ на ось — -~ —,~;-> —,~ У Ох, т. е., согласно формуле (1.5), н равна ~ хт — х1 ~. По аналогичным соображениям длины ребер, паралРнс. 1.9 лельных осям Оу и Ог, равны соответственно ~ ут — у1 ~ и ~ хз — х1 ~ ° Используя теорему Пифагора, получим следующую формулу для р(МН Мз): р(М„МЗ) = л/(хз — х, + (уз — у1) + (гт — Е1) . (1.7) Замечание. Формула расстояния между двумя тачками в случае их расположения в плоскости Оху имеет следующий вид: р(МИ М~) (1.8) 3.

Деление отрезка в данном отношении. Рассмотрим в пространстве две различные точки М1 и Мт и прямую, определяемую этими точками. Выберем на этой прямой некоторое направление (рис. 1.10). Иа полученной осн точки М| и Мз определяют направленный отрезок М1М,. Пусть М вЂ” любая отличная от М, точка указанной выше лм оси. Число ЛА М,М М Х = — ' (1.9) ММ~ Рес. 1.10 называется отношением, в ко- тором точка М делит направленный отрезок М1ейз. Таким образом, любая, отличная от Мз точка М делит отрезок М1МЗ в некотором отношении Х, где Х определяется равенством (1.9). Замечание 1. При изменении направления на прямой, проходящей через точки М1 и Мм меняют знак величины всех М,М направленных отрезков, Поэтому отношение — в правой МЛф 9 11 пгостяишив задачи *нллитичвскон гвомвттии 19 части формулы (1.9) не зависит от выбора направления на прямой М~Мь Рассмотрим задачу о вычислении координат точки М„делла!ей отрезок И~Ма в отношении Л, считая известными координаты точек М~ и Мь и число Л, где Л не равно — 1.

Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную систему координат Охуг, и пусть в этой системе коордкиат точки Мь Мь н М имеют соответственно координаты (хь уь г~), (хь уь гь) и (х, у, г). Спроектируем точки Мь Мь и М на координатные оси (на рис.

1.10 указаны лишь проекции Мпч Мь. и М, точек Мь Мз и М на ось Ох). Очевидно, точка М делит направленный отрезок М1,Мы в отношении Л, Поэтому — =Л. М~ как МкМзх Согласно теореме !.2, МыМ, =х — х1, а М,Мь;=хе — х. Отсюда н из соотношения (1.10) найдем, что х равняется 1+Л к, +Лхь Совершенно аналогично вычисляются координаты у и г точки М. Таким образом, к, +Лхь 1+к у= у,+Лзь ха+Лев 1+Л ' 1+1 г=— Формулы (1.11) называются формулами деления отрезка в данном отношении Л. Замечание 2.

Очевидно, если Л = 1, то точка М делит отрезок М~М, пополам. Получающиеся прй этом из соотношений (1.11) формулы называются формулами деления отрезка пополам. Замечание 3. Для положительных значений Л точка М лежит между точками М1 н Мз (в этом случае, как зто видно из (1.9), отрезки М~М и ММз одинаково направлены), а для отрицательных значений — вие отрезка М~Мь Замечание 4. Соотношения (!.11) имеют смысл для любых значений Лчь — 1. Этим, в частности, н объяснялось указанное ранее ограничение для значений Л.

Пример. Решим задачу о вычислении координат центра тяжести системы материальных точек. Используем следующие два допущения, отвечающих известным физическим предпосылкам: 1) Центр тяжести системы из двух точек М~ н Мз с массамн соответственно н1~ и н1з находится на отрезке М~Мз и делит этот отрезок в отношении Л н1фи1. 2) Центр тяжести системы точек Мь Мм " . М 1, Мь С МаееаМН СООтВЕтетВЕИИО Л1ь Льм ..., Н1~ 1, НЬ, СОВПаДаЕт С центром тяжести системы из двух точек, одна из которых яв- 2О СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРОСТЕИШИЕ ЗАДАЧИ (гл. 1 езу~ + . ° ° + нзлул т,+ ...

+зпл т,х, +... + езх» х= зп, + ° .. +зле (1.12) яззт + ° ° ° + елхч г= зп, + ... +»з„ В справедливости этих формул можно убедиться по индукции, если использовать второе допущение. В самом деле, пусть этн формулы справедливы для системы точек Мь ..., М, 1 с массами зп1, ..., ич ь Тогда, например, для абсциссы х рассматриваемой системы точек Мз, ..., М„, согласно второму допущению н формуле для абсциссы х системы из двух точек, получим выражение т~хз + ° ° + еч-зхз-з (т,+...+тл з) ° + ' +зп„х„ т,+ ...

+т„ (тз + "° + зпл-з) + лзл из которого сразу же вытекает первая формула (1.12). Выражения для у и г получаются аналогично. Замечание. Если система точек М1 с массами тз расположена в плоскости Оху, то координаты х и у центра тяжести этой системы могут быть найдены по первым двум формулам (1.12) . 4. Барвцевчрвческне координаты. Формулы (1.12) используются для езедення так называемых барицвятраческих координат.

Рассмотрим барнцентрические координаты иа плоскосзп. В целях упрощения рассуждений будем считать, что на плоскости введены н декартовы координаты Оху. Рассмотрим какие-либо трн различные точки Мз(хь уз), Мз(кз, уз), Мз(хз, уз), ие лежашие ва одной прямой, в любую данную точку М(х, у). Выясним, существуют ли такие гри числа тз, ез, ез, удовлетворяющие условию (1.12) е,+ее+аз, 1, что даниил точка М(х, у) будет центром тязсвсти системы точек Мз, Мз, Мз с массами ти тз, зпз соответственно.

Ниже мы убедимся, что прн сформулированных требованиях числа еь тз, ез определяются однозначно для каждой гочки М. Оив называются барицвлтрическиии координатами гочки М относительно базисных точек М» Мз и М» ляется точкой М, с массой лз„ а другая находится в центре тяжести системы точек Мь Мз, ..., Мз з (с массами гл1, пзз, ... ..., лз з) и имеет массу зпз+зпз+ ... +из,-ь Из первого допущения и формул (1.11) вытекает, что координаты х„у и г центра тяжести системы из двух точек Мз(хь уьгз] и Мз(хз, рз, гз) с массами лз1 и тз равны соответственно е'"'+е'х*. е'у'+е'у' е'х'+ т'х' Поэтому следует и ез+тз ез+ее т, + тз ожидать, что координаты х, у и г центра тяжести системы из л точек Мз(хоуьгз), з = 1, 2, ..., и, с массамн лзз могут быть вычислены по формулам $4] ПОЛЯРНЫЕ, ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ, СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 21 Сформулироааииая задача о существоваиии чисел ть гиз, шз при условии (!ЛЗ) сводится, очевидио, к исследоваиию вопроса об однозначной разрешимости следующей системы трех лииейиых уравнений ') отиосвтельио гиь шз, шз: т|+ тз+ тз 1, т~«1+ азха+ гизхз х, у+ и+ у.-у Известно, что для однозначной разрешимости квадратиой системы лвиейиых уравиеивй (система, у которой число ураавеиий раево числу иеязвествых) необходимо в достаточио, чтобы определитель этой системы был отлвчеи от вуля (см.

Дополвевие к этой главе). Для рассматрвваемой системы этот определитель ымеет вид 1 ! ! «4 хз хз (хз «1) (Уз — У4) — (хз — «д (Уз — У4) У1 Уз Уз! Этот определитель отлычев от пуля, ииаче мы получылв бы пропорцию — в, обозиачив каждое ыэ указаиимх отиошеввй через «з — «1 уз — у1 «,— «, у,— у, — д (Х чь — 1, вбо точки Мз в Мз различиы), прышлы бы с точиостью до обозначений к первым двум равенствам (1.11). Это означало бы, что точка М4 делит отрезок Мзмз в отиошевив д, т. е. озыачало бы, что точки Мь Мз п Мз лежат вз одной прямой.