В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 9
Текст из файла (страница 9)
2.2 непосредственно вытекает следующее утверждение: каковы бы ни были век- тор а и точка Р, существует, и притом единственный, вектор РО с началом в точке Р, равный вектору а е). Иными словами, точка приложения данного вектора а мо- жет быть выбрана произвольно (мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения и получающихся один из другого параллельным переносом). В соответствии с зтим векторы, изучаемые в геометрии, называют свободными (они определены с точностью до точки приложения) е*).
2. Линейные операции над векторами. Линейньгми опера- циями принято называть операцию сложения векторов и опе- рацию умножения векторов на вещественные числа. Сначала определим операцию сложения двух векторов. Определение 1. Суммой а+Ь двух векторов а и Ь назы- вается вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора Ь при условии, что вектор Ь приложен к концу вектора а. *) В самом деле, существует лишь одиа прямая, проходящая через точ- ку Р и параллельная той прямой, иа которой лежит вектор а.
На указаииой прямой существует едииствеииая точка Сг такая, что отрезок РС) имеет длииу, равную длиие вектора а, и иаправлеи в ту же егорову, что и вектор а. ") В механике и физике, кроме свободлык векторов, пиогда рассматри- вают скользящие и связанные векторы. Скользящими иазывают такие век- торы, которые считаются зквивалеитиыми, если оии ие только равиы, ио и лежат иа одной прямой. Примером скользящего вектора может служить сила. приложеииая к абсолютио твердому теду (известие, что две силы, равные и расположеииые иа одной прямой, оказывают иа абсолютио твердое тело оди- иаковое мехаиическое воздействие). Связанными иазываютси такие векторы. которые считаются эквивалеитиыми, если оии ие только разин, ио и имеют общее качало.
Примером связанного вектора может служить сила, приложеи- иая к некоторой точке иетвердого ~иапример, упругого) тела, линииныв опвидции ндд виктотями зн Правило сложения двух векторов, содержащееся в этом определении, обычно называют правилом треугольника. Это название объясняется тем, что в соответствии с указанным правилом слагаемые векторы а и Ь (в случае, если онн ие коллинеариы) н их сумма а+ Ь образуют треугольник (рис.
2.3). Правило сложения векторов обладает теми а же самыми четырьмя свойствами, что и правило сложения вещественных (или рациональных) чисел «): 1' а+ Ь=Ь+ а (переместительное свойство); 2' (а+ Ь)+ с = а + (Ь+ с) (сочетательное свойство); 3' существует нулевой вектор О такой, что а + О = а для любого вектора а (особая роль нулевого вектора); 4' длл каждого вектора а существует противоположный ему вектор а' такой, что а+ а' = О. Убедимся в справедливости этих свойств. Свойство 3' непосредственно вытекает из определения 1.
Для доказательства свойства 4' определим вектор а', противоположный вектору а, как вектор, коллинеарный вектору а, имеющий одинаковую с вектором а длину и про- „в э' тнвоположное направление *'). Очевидно. «в э что взятая согласно определению 1 сумма «Ъ вектора а с таким вектором а' дает нуле- в вой вектор. Для доказательства свойства 1' приложим два произвольных вектора а и Ь к общему началу О (рис. 2.4). Обозначим буквами А и В концы векторов а н Ь соответственно и рассмотрим параллелограмм ОВСА.
Из определения равенства векторов следует, что ВС=О.4=а, АС=ОВ= =Ь. Из определения 1 и из рассмотрения треугольника ОАС следует, что диагональ ОС указанного параллелограмма представляет собой сумму векторов а+ Ь, а из рассмотрения треугольника ОВС следует, что та же самая диагональ С)С представляет собой сумму векторов Ь+ а. Тем самым свойство 1' установлено.
Остается доказать свойство 2'. Для этого приложим вектор а к произвольной точке О, вектор Ь к концу вектора а и вектор с к концу вектора Ь (рис. 2.5). Обозначим буквами А, В и С «) См. выпуск 1, главу 2. ««) для получения А' достаточно помеиять ролями качало и коиеи век- тора Л. 44 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 1гл. Я концы векторов а, Ь и с соответственно. Тогда (а+Ь)+с=(ОА+ АВ)+ ВС=ОВ+ВС=ОС, а + (Ь + с) = ОА + (А В + ВС) = ОА + АС = ОС, вя-1 Л 1 ") Следует особо оговорить случай, когда векторы а н Ь коллииеарны.
В этом случае параллелограмм, построенный на векторах а и Ь, вырождается в отрезок, понятие его диагонали теряет смысл, а сумма векторов а и Ь может быть получена нэ определения В т. е, свойство 2' доказано. Замечание 1. При доказательстве свойства 1' обосновано еще одно правило сложения векторов, называемое правилом э параллелограмма: если векторы а и Ь л приложены к общему началу и на ни.т И эес е построен параллелограмм, то сумма а+ Ь (или Ь+ а) этих векторов представляет собой диагональ укаэанного па1вяь)~ раллелограмма, идущую из общего нагз чала векторов а и Ь е). Рис.
2.5 Доказанные свойства 1' — 4' позво- ляют оперировать с суммой векторов так же, как с суммой вещественных чисел. В частности, при сложении трех векторов а, Ь. и с нет необходимости указывать, как мы понимаем сумму а+Ь+с (как а+(Ь+с) или как (а+Ь)-(-с). Свойства 1' — 4' позволяют нам распространить правяло сложения на сумму любого конечного числа векторов.
При этом нет необходимости производить сложение последовательно, фиксируя каждый промежуточный результат; ая Ля сумма любого числа векторов может быть по. строена с помощью следующего правила: Вг если приложить вектор аа к концу вектора ан вектор аа к концу вектора ам ..., вектор а„ к концу вектора а, и то сумма аз + аз+ + аа+ ... + а„будет представлять собой вектор, идущий из начала вектора аз в конец Ьч вектора а„. Сформулированное правило сложения, Рис йб проиллюстрированное на рис. 2.6, естественно назвать правилом эамьзкания ломаной до многоугольника (на рис.
2.6 ломаная ОА1АзАз ... А, замыкается до многоугольника путем добавления звена ОА,). Наконец, свойства 1' — 4' позволяют исчерпывающим обра. зом решить вопрос о в ы ч и т а н и и векторов. Определение 2. Р а з н о с т ь и а — Ь вектора а и вектора Ь называется такой вектор с, который в сумме с вектором Ь дает вектор а. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ зи ЯЕ С помощью свойств 1' — 4' элементарно доказывается, что существует, и притом единственный, вектор с, представляющий собой разность а — Ь, причем этот вектор равен с = а + Ь', где Ь' — вектор, противололожнь~й Ь.
В самом деле, если с= а+Ь', то на основании свойств 1о 4о с+ Ь = (а + Ь') + Ь = а + (Ь' + Ь) = а + О = а, т. е. вектор с представляет собой разность а — Ь. Убедимся теперь в однозначности разности а — Ь. Предположим, что, кроме вектора с а+ Ь', существует еще один вектор а такой, что й-(-Ь = а. Тогда, с одной стороны, (й+ Ь)+ +Ь'=а+Ь'= с, с другой стороны, (й+Ь)+Ь'= й+(Ь+ + Ь') = й + О = й, т. е.
с = й. Непосредственно из определения 2 и из правила треугольника сложения векторов вытекает следующее правило построения разности а — Ь: разность а — Ь приведенных к общему началу векторов а а-$ а и Ь представляет собой вектор, идущий из конца вычитаемого вектора Ь в конец уменьигаемого вектора а. а Это правило иллюстрируется на рис. 2.7.
Перейдем, наконец, к рассмотрению операции умножения вектора на вещественное число. Определение 8. П р о и з в е д е и и е м аа (и л и аа) в е ктора а на вещественное число а называется вектор Ь, коллинеарный вектору а, имеющий длину, равную 1а'1 ° 1а~, и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора а в случае а > О и противоположное направлению вектора а в случае и <: О. Замечание 2. В случае, когда а О или а=О, произведение аа представляет собой нулевой вектор, направление которого неопределенно. Геометрический смысл операции умножения вектора на число можно выразить так; при умножении вектора а на число а вектор а «растягиваетсяь в а «раза.
Конечно, надо тут же оговорить условность термина «растягивается», ибо действительное растяжение происходит лишь при а ° 1; при О ( а ( 1 происходит не растяжение, а сжатие, а при отрицательном а, кроме растяжения (при ~1а( 1) или сжатия (при 1а~ ( 1), происходит еще изменение направления вектора на противоположное. Операция умножения вектора на число обладает следующими тремя свойствами: 5' а(а+Ь)= па+ аЬ (распределительное свойство числового сомножителя относительно суммы векторов); ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА б' (а+ Р)а = аа+ Ра (распределительное свойство векторного сомножителя относительно суммы чисел); T а(ра) (а())а (сочетательное свойство числовых сомножителей).
Для доказательства свойства 5' приложим векторы а и Ь к общему началу О и построим на них параллелограмм, диагональ которого будет представлять собой сумму а+ Ь (рис. 2.8). При «растяжении» *) сторон этого паап раллелограмма в а раз в силу свойств «(и'в' подобия диагональ также «растяги- 4Т вается» в а раз, но это и означает, в« что сумма аа+ аЬ равна а(а + Ь).
Свойства б' и T почтя очевидны из наглядных геометрических соображений. С учетом оговоренной выше условности термина «растяжение» свойство б' означает, что при «растяжении» вектора а в (а+ р) раз получается такой же вектор, как при сложении вектора а, «растянутого» в а раз, с вектором а, «растянутым» в() раз. Свойство 7' в тех же терминах означает, что при «растяжении» вектора а сначала в р раз, а потом еще в а раз получается такой же вектор, как и при «растяжении» вектора а сразу в ар раз.
Итак, мы установилн, что линейные операиии над векторами обладают свойствами 1' — 7'. Эти свойства имеют фундаментальное значение, ибо они позволяют производить выкладки в векторной алгебре по тем правилам, по которым производятся аналогичные выкладки в обычной алгебре. В заключение докажем следующее утверждение. Теорема 2.1. Если вектор Ь коллинеирен ненулевому вектору а, то существует вещественное число Х такое, что Ь = Ха. Доказательство. Приложим векторы а и Ь к общему началу О. Тогда эти векторы расположатся на одной прямой, на которой мы выберем начало отсчета, масла *ма ги л в ние. Возможны два случая: 1) векторы а и Ь Рис 22 направлены в одну сторону, 2) указанные векторы направлены в противоположные стороны»*).
На рис. 2.9 изображен первый из указанных случаев. Обозначим буквами А и В концы векторов а и Ь соответственно и заметим, что, поскольку, вектор а ненулевой, точки А э нв Рвс 2.8 ») Термин «растяжеяне» следует понимать в указанном выше условном смысле. Рис. 2.8 отвечает случаю а ) К '") Трквиальный случай, когда вектор Ь нулевой и направление его неопределенно, можно ясключить из рассмотрения, нбо в этом случае равенство Ь = Ха реализуется при ь О, ЛИИЕЯНЫЕ ОПЕРАЦИИ ИАД ВЕКТОРАМИ отлична от О. Но тогда, исключив тривиальный случай совпадеяия точек А и В'), мы (в силу п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
