В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Для формулировки еще одного фундаментального свойства определителя нам понадобятся новые понятия. 5. Алгебраические дополнения и миноры. Соберем в выражении (Д1.12) для определителя члены, содержащие какой-нибудь один элемент этого определителя, и вынесем указанный элемент за скобки; величина, остающаяся при этом в скобках, называется алгебраическим дополнением указанного элемента. З1 дополнение к ГЛАВе 1 Алгебраическое дополнение данного элемента мы будем обозначать большой латинской буквой того же наименования, что и данный элемент, и снабжать тем же номером, который имеет данный элемент. Например, алгебраическое дополнение элемента Ьз бдем обозначать через Вм алгебраическое дополнение элемента аз — через Аз н т. д.
Непосредственно из выражения для определителя (Д1.12) и из того, что каждое слагаемое в правой части (Д1.12) содержит один и только один элемент из каждой строки и один и только один элемент нз каждого столбца, вытекают следующие равенства: а=а,А,+Ь,В,+с,Сь й=азА,+Ь,В,+сзСм а=азАз+ЬзВз+сзСз. (Д1. 14) й = азАз+азАз+азАз, й=Ь! Вз+ЬзВз+ЬзВз. й=сзСз+сзСа+ сзСз.
(Д1.15) Эти равенства выражают следующее свойство определителя: определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (этого столбца). Равенства (Д1.14) принято называть разложением определителя ио элементам соответственно первой, второй или третьей строки, а равенства (Д1.15) — разложением определителя по элементам соответственно первого, второгоилитретьегостолбца. Введем теперь важное понятие минора данного элемента определителя.
М и н о р ам данного элемента определителя и-го иорядка*) называется определитель (п — 1)-го порядка, получаемый иэ данного определителя иугем вычеркивания той строки и того столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Например, минор элемента а, равен| * з~, минором эле- Ь, еэ' мента аз служит определитель ~ ' ', и т. д. Ьз сз~ Предлагаем читателю самому убедиться в том, что алгебраические дополнения и миноры связаны между собой по следующему правилу: алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, есть число четное, и со знаком минус — в иротивном случае.
Таким образом, соответствующие алгебраическое дополнение и минор могут отличаться только знаком. ') В рассматриваемом случае л 3. 32 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕПШИЕ ЗАДАЧИ !гл. ~ Следующая таблица дает наглядное представление о том, каким знаком связаны соответствующие алгебраическое дополнение и минор Установленное правило позволяет в формулах (Д1.14) и (Д1.15) разложения определителя по элементам строк и столбцов всюду вместо алгебраических дополнений писать соответствующие миноры (с нужным знаком) Так, например, последняя из формул (Д114), дающая разложение определителя по элементам третьей строки, принимает вид !аз Ь, сз! Ь-~аз '* аз~= з!ь,' „~-Ьз~;,' „1+с ~а,' «,'~.
(Д"5) аз Ьз сз В заключение установим следующее фундаментальное свойство определителя. Свойство у. Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на согтветствующие алгебраические дополнения элементов этого (другого) столбца равна величине этого определителя (равна нулю). Конечно, аналогичное свойство справедливо и применительно к строкам определителя. Случай, когда алгебраические дополнения и элементы отвечают одному и тому асе столбцу, уже рассмотрен выше. Остается доказать, что сумма произведений элементов какого-либо столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов другого столбца равна нулю. Докажем, например, что сумма произведений элементов первого или второго столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов третьего столбца равна нулю.
Будем исходить из третьей формулы (Д1.15), дающей разложение определителя по элементам третьего столбца: ! а, Ь, с,1 аз Ьз сз = сзСз+ сзСз+ сзСз. аз Ьз сз (Д1. 17) Так как алгебраические дополнения Сь Сз и Сз элементов третьего столбца не зависят от самих элементов сь сз и сг этого столбца, то в равенстве (Д1.17) числа сь сз и сз можно заменить произвольными числами Ьь Ьз и Ьы сохраняя при этом в левой части (Д1.!7) первые два столбца определителя, а в правой части величины Сь Сз и Сз алгебраических дополнений, ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ | зз а, Ь, с, аз Ьз сз аэ Ьэ сэ а, Ь, с, аэ Ьз сз аз Ьз сз Ь| Ь| с, Ьз Ьз сз Ьз Ьэ сз а, Ь, Ь, а Ь Ь аз Ьз Ьэ Ьз= Таким образом, при любых Ь|, Ьг н Ьз справедливо равен- ство ! а, Ь, Ь, аз Ьз Ьз = Ь,С, + Ь,Сг + ЬзСз (Д1.18) а Ь Ь Беря теперь в равенстве (Д1.18) в качестве Ьз, Ьг и Ьэ сначала элементы аь аг н аз первого столбца, а затем элементы Ь|, Ьз и Ьз второго столбца и учитывая, что определитель с двумя совпадающими столбцами в силу свойства 3 равен нулю, мы придем к следующим равенствам: а,С, + агСз+ азСз О, Ь!С, + ЬгСз+ ЬзСз = О.
Тем самым доказано, что сумма произведений элементов пер- вого нли второго столбца на соответствующие алгебраические дополнения элементов третьего столбца равна нулю. Аналогично доказываются равенства а, В, + а|В, + азВ, = О, с, В, + сзВг + сэВэ = О, Ь!А| + ЬгАг+ ЬзАз О, с|А| + сзАг+ сзАз О и соответствующие равенства, относящиеся не к столбцам, а к строкам: а,Аэ+ Ь Вз+ с|Сз=О, агАз+ ЬАВз+ сэСз=О. а,Аз+Ь,В,+с,С|=О, азАг+Ь|В,+сзСг О, агА, + Ь,В, + с С, = О, азА, + ЬзВ| + сзС| = О. 6. Сястема трех лянейных уравнений с тремя иензвестнымя с определителем, отличным от нуля.
В качестве приложения изложенной выше теории рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными а,х+ Ь,у+ с|я= Ь„ агх+ Ь,у+ сзе= Ьз, (Д! Л9) а,х+ Ьзу+ сэа= Ь, (коэффициенты а|, аз, аь Ь|, Ьг, Ьэ, сь сг, сз и свободные члены Ь|, Ьь Ьз считаются заданными). Тройка чисел хз, уэ, яа назы- вается решением системы (Д1.19), если подстановка ятях чисел иа место х, у, х в систему (Д1.19) обращает все три уравнения (Д1.19) в тождества. Фундаментальную роль в дальнейшем будут играть следую- щие четыре определителя: 34 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕИШИЕ ЗАДАЧИ (гл. ! Определитель Ь принято называть определителем системы (Д1.19) (он составлен из коэффициентов при неизвестных). Определители Ь., Ь„и Ь, получаются из определителя системы Ь посредством замены свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.
Для исключения из системы (Д1.19) неизвестных у и х умножим уравнения (Д1.19) соответственно на алгебраические дополнения Аь Аз и Аз элементов первого столбца определителя Ь системы и после этого сложим эти уравнения. В результате получим (а, А, + аз Аз + аз Аз) х + (Ь,А, + Ь,А, + ЬзАз) у + + (с,А, + с,А, + сзАз) х = Ь1А~ + йзАз+ ЬзАз (Д! 20) Учитывая, что сумма произведений элементов данного столбца определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов этого (другого) столбца равна определителю (нулю) (см.
свойство 9), получим а,А,+азА,+азАз=Ь, Ь,А,+Ь,А,+Ь,Аз=О, с,А,+с,А,+с,Аз=О. (Д1.21) Кроме того, посредством разложения определителя Ь, по элементам первого столбца получается формула Ьа = Ь!А1 + ЬзАз + йзАз (Д! .22) С помощью формул (Д1.21) н (Д1.22) равенство (Д1.20) перепишется в следующем (не содержащем неизвестных у и г) виде: Ь ° х=Ь„. Совершенно аналогично выводятся из системы (Д1.!9) равенства Ь у = Ь„п Ь г = Ь.
*). Таким образом, мы установили, что система уравнений х=Ь„, Ь у=ЬР, Ь ° Е=Ь, (Д1. 23) является следствием исходной системы (Д1.19). В дальнейшем мы отдельно рассмотрим два случая: 1) когда определитель Ь системы отличен От нуля, 2) когда этот определитель равен нулю. Здесь мы рассмотрим лишь первый случай (рассмотрение второго случая отложим до п.
9). Итак, пусть Ь ~ О. Тогда из системы (Д1.23) мы сразу получаем формулы для неизвестных, называемые формулами Крамера: х = Ь(Ь, у = Ья/Ь, г = Ь,/Ь. (Д1.24) *) Для получения этна равенств следует сначала умножить уравнения (Д1.19) соответственно на алгебранческне дополнения элементов второго я третьего столбцов, а затем сложить полученные равенства, дополнвнив к глава г 35 Полученные нами формулы Крамера дагот решение системы (Д1.23) и потому доказывают единственность решения исходной системы (Д1.19), нбо система (Д1.23) является следствием системы (Д1.19), и всякое решение системы (Д1.19) обязано быть решением и системы (Д1.23). Итак, мы доказали, что если у исходной системы (Д1.19) существует при Ь ~ О решение, то это решение однозначно определяется формулами Крамера (Д1.24).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
