В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 6
Текст из файла (страница 6)
(Д1.8) 26 СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕЯШИЕ ЗАДАЧИ [гл. ! Полученные формулы Крамера (Д1.8) дают решение системы (Д1.7) н потому доказывают единственность решения исходной системы (Д1.3). В самом деле, система (Д1.7) является следствием системы (Д1.3), н поэтому всякое решение системы (Д1.3) (в случае, если оно существует!) должно являться решеннем н системы (Д1.7). Итак, пока доказано, что если у исходной системы (Д1.3) существует при Ь чь О решение, го это решение однозначно определяется формулами Крамера (Д1.8). Легко убедиться н в существовании решения, т. е.
в том, что прн Ь чь О два числа х н у, определяемые формулами Крамера (Д1.8), будучи подставлены на место неизвестных в уравнення (Д1.3), обращают этн уравнения в тождества. (Предоставляем читателю самому расписать выражения для определнтелей Ь, Ь, н Ь„н убедиться в справедливости указанных тождеств.) арнходим к следующему выводу: если определитель Ь системы (Д1.3) отличен От нуля, го существует, и притом единственное, решение этой системы, определяемое формулами Крамера (Д1.8). Рассмотрям теперь случай, когда определитель Ь системы равен нулю. Могут представиться два подслучая: а) хотя бы один нз определителей Ь, нлн Ь„ отличен от нуля; б) оба определнтеля Ь, н Ь„равны нулю ').
В подслучае а) оказывается невозможным хотя бы одно яз равенств (Д1.7), т. е. система (Д1.7) не имеет решений, а поэтому не имеет решений и исходная система (Д1.3) (следствнем которой является система (Д1.7) ). В подслучае б) исходная система (Д1.3) имеет бесчисленное мнозсвство решений.
В самом деле, нз равенств Ь Ь,= = Ь„= О н нз утверждения в конце и. 1 заключаем, что а~/ат= = 61/Ьт =Л~/Лт, т. е. заключаем, что второе уравнение системы (Д13) является следствием первого н его можно отбросить. Но одно уравнение с двумя неизвестными а,х+Ь,у=й, (Д1.9) имеет бесчисленно много решений (хотя бы одни нз коэффнцнентов а1 нлн Ь| отличен от нуля, н стоящее прн нем неизвестное может быть определено нз уравнення (Д1.9) через произвольно заданное значение другого неизвестного).
Приходим к следующему выводу: если определитель Ь системы (Д1.3) равен нулю, то система (Д1.3) либо вовсе не имеет решений (в случае, если хотя бы один из определителей *) Из утнермпеннв в конце п. ! вытекает, что если определитель Ь и один из определителей Ь и Ьг резни иумо, то и другой из уиизииимхоиределигелей розен нуле. В семом деле. пусть, например, Ь О и Ь = О. т. е. ийит ьйьг п лиле ьйьь тогда пз втнх пропорция получим, что ийиз ~~ Адам т,е.
Ь„= О. дополнение к главе 1 Ь или Л„отличен от нуля), либо имеет бесчисленное множество решений (в случае, когда а = Л„= 0). В последнем случае два уравнения (Д1.3) можно заменить одним и при решении его одно неизвестное задавать произвольно. Замечание. В случае, когда свободные члены Ь1 и Ьз равны нулю, линейная система (Д1.3) называется однородной. Отметим, что однородная система всегда имеет так называемое тривиальное решение: х = О, у =0 (эти два числа обращают оба однородных уравнения в тождества). Если определитель а системы отличен от нуля, то однородная система имеет только тривиальное решение. Если же а=О, то однородная система имеет бесчисленное множество решений (поскольку для однородной системы возможность отсутствия решений исключена). Таким образом, однородная система имеет нетривиальное решение в том и только в том случае, когда определитель ее равен нулю.
3. Определители третьего порядка. Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из девяти элементов: (Д1.10) аз Ьз сз . Он редел и гелем третьего поря дк а, соответствующим матрице (Д!.10), называется число, равное а|Ьзсз+ Ь,сзаз+ с,азЬз — с1Ь,аз — Ь!азсз — а~сзЬз (Д1.11) и обозначаемое символом В~И Итак, по определению ~а, Ь1 с~ а = ~ гз Ьз сз|= а,Ь,сз+ Ь,сзаз+ с а Ь, — с Ь а, — Ь,а,с, — а сзЬ,. аз Ьз сз (Д1.12) Как и в случае определителя второго порядка, элементы матрицы (Д1.10) будем называть элементами самого определителя.
Кроме того, договоримся называть диагональ, образованную элементами аь Ьз н сз, главной, а диагональ, образованную элементами аз, Ьз и сн — побочной. Для запоминания конструкции слагаемых, входящих в выражение для определителя (Д1.11), укажем два правила. Заметим, что первые три слагаемых, стоящих в (Д1.11) со знаком плюс, представляют собой произведение элементов опре- зв СНСТЕМЫ КООРДИНАТ. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ~ГЛ. ! делителя, взятых по три так, как указано пунктирами и штрихами на нижеприведенной схеме Последние же три слагаемых, стоящих в (Д1.11) со знаком минус, представляют собой произведение элементов, взятых по три так, как указано различными пунктирами на следующей схеме: а,,Ъ( с, Ъг ~" сг ,д' а/ $ Правило составления шести слагаемых, входящих в выражение (Д1.11) для определителя, опирающееся иа указанные две схемы, обычно называют аравилои треугольника.
Укажем н другое правило составления выражения для определителя, еще менее требующее напряжения внимании и памяти. Для этого к матрице, из которой составлен определитель, допишем справа еще раз первый, а затем второй столбец. В полученной при этом матрице сплошной чертой соединены три тройки членов, получаемые параллельным переносом главной диагонали и отвечающие трем слагаемым, входящим в выражение (Д1.11) со знаком плюс; пунктирной же чертой соединены три другие тройки членов, получаемые параллельным переносом побочной диагонали и отве- дополнения к гллвв ~ 29 чающие трем слагаемым, входящим в выражение (Д1.1!) со знаком минус. 4. Свойства определителей. В этом пункте мы установим ряд свойств определителей.
Эти свойства мы будем формулировать и устанавливать применительно к определителям третьего порядка, хотя, конечно, они справедливы и для определителей второго порядка и, как выяснится позже (см. выпуск «Линейная алгебра»), эти же свойства справедливы и для определителей любого йорядкз и (там же см. понятие определителя порядка и). Свойство 1.
Величина определителя не изменится, если строки и столбцы этого определителя поменять ролями, т. е. (Д1.13) ас Ьс сс = Ь! Ьс Ь3 Для доказательства этого свойства достаточно расписать определители, стоящие в левой и в правой частях (Д1.13), по правилу треугольника (или по другому указанному в предыдущем пункте правилу) и убедиться в равенстве полученных при этом членов. Свойство 1 устанавливает полную равноправность строк и столбцов. Поэтому все дальнейшие свойства определителя можно формулировать и для строк, и для столбцов, а доказывать или только для строк, или только для столбцов. Свойство 2. Перестановка двух строк (или двух столбцов) определителя равносильна умножению его на число — 1.
Доказательство также получается из правила треугольника (мы предоставляем его читателю). Свойство 8, Если определитель имеет две одинаковые строки (или два одинаковых столбца), то он равен нулю. В самом деле, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны, определитель а не изменится, а с другой стороны, в силу свойства 2 ои изменит знак на противоположный. Таким образом, Л = — Л, т. е. 2б = О, или а = О. Свойство в. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число Х равносильно умножению определителя на это число Х.
Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя можно выносить эа знак этого определителя. Например, ь» Ьс сс = А ас Ьс сс Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что определитель выражается в виде суммы (Д1.12), каждый член 30 системы кооэдинкт пэостепшие ВАдАчи ггл з которой содержит один и только один элемент из каждой строки и один и только один элемент из каждого столбца.
Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю. Это свойство вытекает нз предыдущего (при Х = 0). Свойство б. Если элементы двух строк (или двух столбцов) оиределителя пропорциональны, то определитель равен нулю. В самом деле, в силу свойства 4 множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего остается определитель с двумя одинаковыми строками, равный нулю согласно свойству 3.
Свойство 7. Если каждый элемент и-й строки (или п-го столбца) определителя иредставляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммьз двух определителей, первый из которык имеет в п-й строке (в и-м столбце) первые иэ упомянутых слагаемых и те же элементы, что и исходный определитель, в остальных строкак (столбцак), а второй оиределитель имеет в и-й строке (в и-м столбце) вторые из упомянутых слагаемых и те же элементы, что и искодный определитель, в остальных строках (столбцах). Например, / с з с з л / з с и и аз+а, Ь +Ь, с +с, с, Ь, сз аз Ьз сз сз ь, сз сз Ьз сз + сз Ьз сз сз ь, сз а, Ь, сз а, Ь, с, Для доказательства этого свойства снова достаточно заметить, что определитель выражается в виде суммы слагаемых, каждое из которых содержит один н только один элемент из каждой строки н один и только один элемент нз каждого столбца. Свойство 8.
Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умноженные на ироизвольный множитель )з, то величина определителя не изменится. В самом деле, полученный в результате указанного прибавления определитель можно (в силу свойства 7) разбить иа сумму двух определителей, первый нз которых совпадает с исходным, а второй равен нулю вследствие пропорциональности элементов двух строк (или столбцов) и свойства 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
