В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия (1113346), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Таким образом. система (1.14) одиозкачво разрешима отиосвтельво ть шз, тз. Следоеательыо. положевые любой точки М иа плоскости одыозвачио определяется отиосительво базисных точек Мг, Мз, Мз этой плоскости посредством барицеитрвческых коордвват тг, шз п шз. Барвцеитрыческие коордвваты в пространстве вводятся совершеиво аиалогычио. Для этого вспользуются четыре базвслые точкы, ие располагающиеся в одной плоскости, $4.
Полярные, цилиндрические н сферические координаты 1. Полярные координаты. Полярные координаты на плоскости вводятся следующим образом. Выберем иа плоскости некоторую точку О (полюс) н некоторый выходящий из иее луч О« (рис. 1.11). Кроме того, укажем едини- Р цу масштаба. Полярными координатами точки М называются два чис- Аул — — ---- 44( ла р и !р, первое из которых (полярный радиус р) равно расстоянию точки М от полюса О, а второе (полярный угол гз ф) — угол, на который нужно повернуть 4] 44у«Ш против часовой стрелки луч Ок до сов- Рыс. 1.11 мещения с лучом ОМ**).
Точку М с полярными координатами р и 4р обозначают сим- волом М(р гр) ° *) Последипе два уравыеиия этой системы представляют собой следствия первых двух соотвошеиий (1.12) и соотыошеиия (1.13). з«) При этом предполагается. что точка М отличиа от полюса. Для полюса О полярный радиус р равен нулю, а поляриый угол неопределенный, т.
е, ему можво приписать любое звачеиве. 22 системы кооидинхт. пиостзишие задачи ггл. ~ Для того чтобы соответствие между отличными от полюса точками плоскости и парами полярных координат (р,ф) было взаимно однозначным„обычно считают, что р и ф изменяются в следующих границах: О < р < + со, О с~ф < 2я. (1.15) Замечание. В некоторых задачах, связанных с непрерывным перемещением точки по плоскости, требуется непрерывное изменение полярных координат этой точки.
В таких задачах удобнее отказаться от ограничений для р н ф, указанных в соотношениях (1.15). Если, например, рассматривается враи1ение точки по окружности против часовой стрелки (р = сопз1), то естественно считать, что полярный угол этой точки может принимать, врн большом числе оборотов, значения, ббльшие 2п. Если же рассматривается движение точки по прямой, проходящей через полюс (ф = сопз(), то естественно считать, что прн переходе через полюс ее полярный радиус меняет знак.
Закон изменения величин р н ф выясняется в каждом конкретном случае. Установим связь между полярными координатами точки и ее декартовыми координатами. При этом будем предполагать, что начало декартовой прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцнсс совпадает с полярной осью (рис. 1.11). Пусть точка М имеет декартовы координаты х н у н полярные координаты р и ф. Очевидно, х:рсозф, у=рз1пф. (1.16) Полярные координаты р н ф точки М определяются по ее декартовым координатам х н у, очевидно, следующим образом: Х р=1/хе+ уз.
Для того чтобы найти величину угла ф, нужно, используя знаки х н у, определить квадУ$ рант, в котором находится точка М И А~ (см. п. 1 $2 этой главы н рис. 1.6), н, кроме того, воспользоваться тем, что тангенс угла ф равен у/х. 2. Цилиндрические координаты. у Цилиндрические координаты в пространстве вводятся следующнм образом.
Выберем на фиксированной Рис. 1.12 плоскости П некоторую точку О и выходящий из нее луч Ох (рнс. 1Л2). Кроме того, рассмотрим ось Ог, проходящую через О перпендикулярно плоскости П. Пусть М вЂ” любая точка пространства, й) — проекция этой точки на плоскость П, а М, — проекция М на ось Ог. Ц и л и н д р и ч е с к и м и к оордин агам и точки М называются три числа р, ф н г, й э) пОляРные, цилиндгичвскив, соврнчвскив кООРдинАты зз первые два нз которых (р н ф) являются полярными координатами точки У в плоскости П относительно полюса О и полярной осн Ох, а число г есть велнчнна отрезка ОМ,.
Точку М с цилиндрическими координатами р, 9 и г обозначают М(р,~р,г). Наименование «цнлиндрическне координаты» связано с тем, что координатная поверхность р = сопз1 (т. е. поверхность, все точки которой имеют одну н ту же координату р) является цилиндром, прямолинейные образующие которого параллельны осн Ог (на рис. 1.12 такой цилиндр изображен штриховыми линиями). Если выбрать осн декартовой прямоугольной снстемы координат Охуг так, как указано на рнс.
1.12, то декартовы координаты х, у, г точки М будут связаны с ее цилиндрическими координатами р, щ, г соотношениями х=рсозщ, у=рз)п<р, г=г. (1.17) 3 а м е ч а н н е. Так как первые две цилиндрические координаты р и щ являются полярными координатами проекции У точки М на плоскость П, то к этим двум координатам относятся замечание и выводы, сделанные в предыдущем пункте. 3. Сфернческне координаты.
Для введения сферических координат в пространстве рассмотрим трн взаимно перпендикулярные оси Ох, Оу н Ог с общим началом О (рнс. 1.!3). Пусть М вЂ” любая, отличная от О точка пространства, У вЂ” ее проекция на плоскость Оху, р — расстояние М от О. Пусть, далее, 9 — угол, который образует направленный отрезок ОМ с осью г, а <р — угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки ось Ох') до совмещения с лучом Ол(. 9 и ~р называют широтой н долготой соответственно. Сферическими координатами точки М называются три числа р, ~р н 9*'). 6--— Наименование «сфернческне ко- ~' в ! ордннаты» связано с тем, что координатная поверхность р = сопз1 (т. е.
поверхность, все точки которой нмеют одну н ту же коордннату р) является сферой (на рис. 1.13 такая сфера изображена штриховой р .к)з линией). Для того чтобы соответствие между точками пространства н тройками сфернческих координат (р,гр,й) было взаимно од- ') Ислн прн этом смотреть нв врэшенне Ок со стороны положвтельного ввпрввленкв осв Оэ. ") йглв точка л) совпадает с точкой О, то р О, Длв точка О коордвнэтм р в 9 ве нмевгг опредеэенного экэчеввв, 24 системы кооэдинлт пеостеишие задачи !гл ! нозначным, обычно считают, что р и ф изменяются в следующих границах: О<р< + , О<ф<2.
Координата 0 по самому определению заключена между 0 и н. Отметим, что в задачах, связанных с непрерывным перемещением точки в пространстве, часто отказываются от указанных ограничений на изменение сферических координат (см. замечание в п. 1 этого параграфа). Если выбрать оси декартовой прямоугольной системы координат так, как указано на рис. 1.13, то декартовы координатых, у, г точки М связаны с ее сферическими координатами р, ф, 0 соотношениями х = р з(п 0 сов ф, у = р з!и 0 з1п ф, и = Р сов 0.
(1.18) дополнение к главе 1 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ 1. Понятие матрицы и определителя второго порядка. Прямоугольную таблицу из чисел, содержащую произвольное число н4 строк и произвольное число л столбцов, называют матрицей. Для обозначения матрицы используют либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки. Например, Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, то матрица называется квадратной.
Числа, входящие в состав матрицы, обычно называют ее элементами. Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов: !.".' ~,'! (Д1.1) Оаре дел и те лам второго норад ка, соответствую- и!им матрице (Д!.1), называется число, равное а,от — а,Ь1 и обозначаемое символом Итак, но определению ! а ь ! 1Ьг агЬ!' (Д1.2) Элементы, составляющие матрицу данного определителя, обычно называются элементами этого определителя. дополнение к глава | Справедливо следующее у т в е р ж д е н и е: для того чтобы определитель второго порядка был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы элементы гго строк (или соответственно гго столбцов) были пропорциональны.
Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что каждая из пропорций а|/аг Ь|/Ьг и а|/Ь|= а,/Ьг эквивалентна равенству а|6| — — а|6|, а последнее равенство в силу (Д12) эквивалентно обращению в нуль определителя. 2. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Покажем, как применяются определители второго порядка для исследования и отыскания решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными а,х+ Ь!у=йн агх+ Ьгу=йэ (Д1.3) (коэффициенты а|, Ь|, аг, Ьг и свободные члены й| н йг считаются прн этом заданными).
Напомним, что пара чисел хы уг называется решением системы (Д1.3), если подстановка этих чисел на место х и у в систему (Д1.3) обращает оба уравнения (Д1.3) в тождества. Умножая первое уравнение системы (Д1.3) на 6|, а второе— на — Ь| и затем складывая полученные при этом равенства, будем иметь (а|Ьг — а,6,) х = Ьгй| — Ь,йг. (Д1 4) Аналогично путем умножения уравнений системы (Д1.3) на — аг н а| соответственно получим (а|Ьг аэЬ|) у = а|йг агйн (Д1.5) Введем следующие обозначения: '=1" "! '=!»' '! "=!...'1 С помощью этих обозначений и выражения для определителя второго порядка уравнения (Д1.4) и (Д1.5) могут быть переписаны в виде б ' х = бл~ а ' у = аэ. (Д1.7) Определитель Л, составленный из коэффициентов при неизвестных системы (Д1.3), принято называть определителем этой системы.
Заметим, что определители Л, и Аэ получаются из определителя системы А посредством замены первого или соответственно второго столбца свободными членами. Могут представиться два случая: 1) определитель А системы отличен от нуля, 2) этот определитель равен нулю. Рассмотрим сначала случай Л чь О. В этом случае из уравнений (Д1.7) мы сразу же получаем формулы для неизвестных, называемые формулами Крамера: х = А„/б, у = Аг/А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
