В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия, страница 45

С этой целью рассмотрим так называемое ортогональное преобразование. Преобразование (П.7) у' а + йзу+ с„ х'=а,х+ Ь,у+ с„ «) Отномеяяем (и: о: и) на»мелется еовокувносп трех вмяественнмк чнсел и, о, и ярн условия, что орн любом Хчь О совокунностн и, о, м я Ан, Хо Ам рассматриваются квк тождественнме. ««) Твк кзк точки (кь у~) н (лз уз) различны, то (хз — лз)з+(уз — уз)зчь чь О. $21 иепоотивоьвчивость гвоматоии евклида переводящее произвольную точку (х, у) в определенную точку (х',у'), называется ортогональным, если выполнены соотнощения а',+ Ьо=1, ао+ Ьо=1, а,а, + Ь,Ь, О.

(П.й) Легко доказать, что всякое ортогональное преобразование (П.7), (П.8) можно представить в одной из следующих форм: либо в виде х' = ах — ру -)- с„у' = рх+ ау+ с,, (П.9) либо в виде х' ах+ ру+ с„у'= (1« — ау+ см (П.10) причем в обоих случаях а'+()о=1. Преобразования (П.9) и (П.10) обычно называют ортогональными преобразованиями соответственно первого и второго рода. Пусть даны произвольная прямая (и: о: в) и на ней некоторая точка (хо, уо), так что ихо+ оуо+ гв = О. Легко убедиться в том, что совокупность точек (х,у), где «=хо+ ог у=уо — иг. (П.11) принадлежит прямой (и: о: э) для любого вещественного числа й Далее ясно, что при г ) 0 все указанные точки (х,у) лежат по одну сторону от точки (хо, уо), а при г ( 0 эти точки лежат по другую сторону от (хо, уо).

Иными словамн, уравнения (П.11) при всевозможных положительных 1 определяют все точки полупрямой, исходящей иэ точки (хо, уо) и лежащей на прямой (и: о: гв). Эту полупрямую мы будем обозначать символом (хо,уо, о, — и). Оказывается, всякое ортогональное преобразование (как первого, так и второго рода) переводит любую полупрямую снова в полупрямую. Более точно, справедливо следующее утверждение: ортогональное преобразование (П.9) или (П.10) переводит полупрямую (хо, уо, о, -и) в полупрямую (х', уы о', — и'), еде для случая преобразования (П.9) «о=а«о РУо+од Уо Рхо+аро+со' о' ао+ ри; и'= — ро+ аи, и для случая преобразования (П.10) х,',=ах'+буо+с,; ц=(1«о-ауо+с,; о' = ао — ри; й = — ()о — аи.

теперь назовем отрезок АВ яонгрузнтным отрезку А'В', если существует ортогональное преобразование, которое переводит его приложение пРОБлемы ОснОВАния ГЯОметРии точку А в точку А', а точку В в точку В'. Угол ~ (Ь, й) назовем конгруэнтным .~ (й', й'), еслн существует ортогональное преобразование, переводящее полупрямую И в полупрямую Ь' н полупрямую й в полупрямую й'. Далее нужно перейти к проверке аксиом 1П, 1 — 5. Аксиома 1Н,2 вытекает из групповых свойств ортогонального преобразования, в силу которых как последовательное проведение двух ортогональных преобразований, так н преобразование, обратное к ортогональному, снова являются ортогональнымн преобразованиями.

Проверка остальных аксиом группы И1 требует кропотливой техники н использования указанного выше утверждения, и мы ее опустим. Что же касается аксиом непрерывности, то аксиома Архимеда 1Ч, 1 проверяется непосредственно, а справедливость аксиомы полноты 1Ч,2 вытекает нз того, что между всеми точками любой прямой н всеми вещественными числами можно установить взаимно однозначное соответствие (см. вторую основную теорему нз п. 5 $1). Нам остается еще проверить справедливость аксиомы параллельности Ч. Пусть (и: о: в) — произвольная прямая и (хо, уо) — точка вне ее, так что ихо+ еуо+ в Ф О. Пусть (и': О': и') — прямая, проходящая через точку (хо уо), т. е. удовлетворяющая условию и'х + уо+ '=О.

(П.12) Поскольку эта прямая не пересекает прямую (и: о: в), долж- на быть несовместна система уравнений и'х + О'у + в' = О, их + еу + в = О. (П.13) Из несовместностн системы (П.13) заключаем, что и': и = = е': о, нли, что то же самое, и'=Хи, е'= Хо, где Х вЂ” некоторое число. Но тогда нз (П.12) получим в'= — Х(иго+ оуо), т. е. и': и': в' = и: и: — (ихо + оуо). Итак, отношения и': о': и' однозначно определены, т. е. существует единственная прямая (и': и': в'), проходящая через (хо, уо) и не пересекающая прямой (и: ц: в). Тем самым доказательство непротиворечивости планнметрнн Евклида завершено.

Замечание. Аналогично доказывается непротиворечивость стерео метр ни Евклид а. Для этого мы называем точкой любую упорядоченную тройку вещественных чисел (х,у, г), прямой — совокупность всех троек (х,у, г), элементы х, у, г которых связаны системой двух линейных уравнений, плоскостью — совокупность всех троек (х, у, г), элементы х, у, г которых удовлетворяют одному линейному уравнению. 211 НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО 221 й 3.

Схема доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского Для простоты ограничимся доказательством иеп ротнворечивости нланиметрин Л обачевского, т. е. построим конкретную реализацию совокупности объектов, удовлетворяющих аксиомам 1, 1 — 3, 11 — 1Ч и аксиоме, отрица1ощей справедливость Ч. Для построения указанной реализации мы будем опираться на уже установленную нами непротиворечивость планиметрии Евклида, т. е. сведем вопрос о непротиворечивости планиметрии Лобачевского к вопросу о непротиворечивости планиметрии Евклида. Излагаемая в этом параграфе модель принадлежит А.

Пуанкаре '). Рассмотрим на евклидовой плоскости горизонтальную прямую х и опирающуюся на нее верхнюю полуплоскость. Все точки этой верхней полуплоскости мы назовем неевклидовыми точками, а все лежащие в Верхней полуплоскости полу- окружности с центром на прямой х и все вертикальные полу- прямые, исходящие из точек прямой х, назовем неевклидовыми прямыми (кстати, указанные полупрямые удобно рассматривать как полуокружности бесконечно большого радиуса). Мы определим между неевклидовыми точками и неевклидовыми прямымн соотношения «принадлежит», «лежит между» и «конгруэнтен» и убедимся в справедливости в с е х а к с и о м абсолютной геометрии (т. е.

аксиом 1,1 — 3, П вЂ” 1Ч). После этого мы покажем, что в построенной модели снраведлива аксиома параллельности Лобачевского (т. е. отрицание аксиомы У Евклида). Мы будем говорить, что неевклидова точка А принадлежит неевклидовой прямой а, если точка верхней полуплоскости А лежит на полуокружности а.

Справедливость аксиом 1, 1 — 3 устанавливается тривиально. Так, аксиомы 1, 1 и 1,2 эквивалентны утверждению, что через две точки верхней полуплоскостн можно провести только одну окружность, имеющую центр на прямой х. Аксиома 1,3 эквивалентна утверждению, что на любой полуокружиости имеются по крайней мере две точки и имеется хотя бы одна точка вне этой полуокружности. Перейдем к установлению соотношения «лежит между».

Пусть А, В, С вЂ” три точки неевклидовой прямой, изображаемой полуокружностью а. Будем говорить, что точка В (в неевклидовом смысле) лежит между А и С, если В на полуокружности а лежит между А и С (в евклидовом смысле), При таком определении соотношения «лежит между» легко устанавливается справедливость аксиом П,1 — 3. Впрочем, по- ') Акрк Пуаккере — фраккузеккя математик (!654 — 1912). язз пгиложвнив. п»оьламы основании гаомвтгин рядку следования точек на неевклидовой прямой, изображаемой полуокружностью а, можно придать и более наглядный вид. Выпуская из центра О полуокружности а всевозможные лучи, мы с помощью этих лучей можем взаимно однозначно спроектировать все точки полуокружностн а на все точки некоторой прямой у, параллельной х и лежащей выше полуокружности а.

Тогда порядок следования точек неевклидовой прямой а соответствует порядку следования образов этих точек на прямой у. Попутно докажем, что все точки любой неевклидовой прямой а находятся ео взаимно однозначном соответствии с множеством всех вещественных чисел. Нам еще следует проверить аксиому П,4 Паша, но доказательство этой аксиомы является наглядно вполне очевидным, и мы его опустим. Теперь мы перейдем к определению соотношения «конгруэитен». В надлежащем его определении и состоит остроумие модели Пуанкаре. Не вдаваясь в детали, остановимся на осяовиых идеях определения этого соотношения. Введем в рассмотрение специальное преобразование евклидовой плоскости, известное под названием инверсии.