В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия, страница 44

( х . Тем самым для случая расположения точек по ту же сторону от О, что н Е, требование 2' доказано. Для точек М, лежащих на прямой а по другую сторону от О, совершенно аналогично вводятся отрицательные координаты н повторением тех же рассуждений мы устанавливаем требования 1' н 2' в общем виде. Для установления требований ' и 4' мы сначала докажем, что если на прямой а в положительную сторону ог О взяты точки Мь Мз и М, причем Мз лежит между О и М и отрезки М,М и ОМз конгруэнтны, то х= х~+ хз (здесь х, х1 н хз— координаты точек М, М1 н Мз соответственно). Возьмем нз нижних классов, отвечающих координатам х1 н хь два произвольных рацнональяых числа, обозначив нх (после приведения к общему знаменателю п) соответственно через т1/и н тз/и.

Тогда и ° ОМ, ~ т, ° ОЕ, и ° ОМз ~ тз ° ОЕ. Складывая последние два неравенства, получим и ° ОМ Ъ (т~ + тз) ° ОЕ. (П.б) Точнее говоря, в левой части (П.б) мы получим сумму и раз отложенного отрезка ОМ| и и раз отложенного отрезка ОМБ. но после перегруппировки слагаемых мы н получнм и раз повторенную сумму отрезков ОМ1 н ОМз, т. е. и. ОМ»'), ») В дальнейшем зтз сторона яменуется лолвзввг«льнод ") То, что з г«ем«зряч«ской сумме отрезков мы можем, не меняя суммы, переставлять слзгземые, вытекает нз следувпшх сообрзж«ннй.

Достаточно уб«днться н возможно«тн перзстзиозхв для двух слагаемых, а зтп н«посред«тзьнно Быт«ха«т нз аксиомы И!,З. з формулнрпнке которой ннчзгь не сказано ь порядке, н котором «прнсгзялязися» друг к другу слагаемые отрезкн Я'В' н В'С'. Пра любом ях порядке сумма Я С' конгрузнтпз отрезку АС е!5 АКСИОМЫ ЭЛЕМЕИТАРИОИ ГЕОМЕТРИИ Из яеравенства (П.б) заключаем, что рациональное число — '+ ь принадлежит нижнему классу, отвечающему кол л ординате х.

Совершенно аналогично, взяв любые рациональные числа ль1/н и вы/и из верхних классов, отвечающих координатам х1 и хт, мы убедимся в том, что рациональное число — '+ — ' принадлежит верхнему классу, отвечающему координате х. Но тогда из определения суммы вещественных чисел и из того, что рациональные числа как из верхнего, так н из нижнего классов как угодно точно приближают соответствующую координату, мы получим, что вещественное число х равно сумме х1+хз. Тем самым нами доказано, что отложить ог точки Мь с координатой х1 (в положительную сторону) отрезок ОМ,— это все равно, чго построить точку М с координатой х, удовлетворяющей условию х = х~+ хь, где хь ) Π— координата точки Мь. Это утверждение мы доказали для случая х~ ) О, но легко распространить его н на общий случай (предоставляем это читателю). Из доказанного утверждения сразу же вытекает требование 4', а для доказательства утверждения 3' достаточно заметить, что откладывание данного отрезка равносильно добавлению к координате точки постоянного слагаемого.

Первая основная теорема полностью доказана «). Замечание. Особо подчеркнем„что в первой основной теореме не утверждается, что каждому вещественному числу х соответствует определенная точка на прямой (т. е. ие утверждается, что соответствие между точками прямой и вещественными числами является взаимно однозначным). Мы сейчас увидим, что это невозможно доказать, опираясь только на аксиомы 1, 1 — 3, П, 1П, 1 — 2 и 1Ч, 1 и не привлекая аксиому линейной полноты 1Ч, 2.

Вторая основная теорема. Пусть справедливы аксиома 1, 1 — 3, 11, П1, 1 — 3, 1Ч, 1 и на прямой а введены координаты. Тогда, для того чтобы каждому вещественному числу х отвечала некоторая точка прямой а, т. е. для того, чтобы между всеми точками лрямой а и всеми вещественными числами существовало взаимно однозначное соответствие, необходимо и достаточно, чтобы была справедлива аксиома линейной полноты 1Ч,2.

Доказательство. !) Достаточность. Докажем, что если существуют вещественные числа х, которым не отвечает никакая точка прямой а, то аксиома 1Ч,2 заведомо несправедлива ') Пончсркнсы, что прн доказательстве пергол оснозноя теоремы аксиомы 1, 1 — 3 и П нснольговагнсь лшиь длн установления норлдкп слгдовоннн точек на нрлмод. 216 ПРИЛОЖЕНИЕ. ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИИ ГЕОМЕТРИИ Пусть существуют указанные вещественные числа х. Каж- дое из ннх мы назовем новой точкой и присоединим все новые точки к совокупности прежних точек прямой а.

На пополненной прямой (назовем ее а) уже каждому ве- щественному числу отвечает точка, и обратно. Определим на а соотношения «лежит между» н «конгруэн- тен». Будем говорить, что точка М» прямой а лежит между М1 и Мм если либо х~ ( х» ( хм либо х1 ) х» ) хм где под хь х» н хз нужно понимать координату соответствующей точки М1, М» и М», если эта точка прежняя, и самую эту точку, если она новая. Очевидно, что в применении к прежним точкам опреде- ленное на а соотношение «лежит между» сохраняет старый смысл.

Будем говорить, что отрезок М1М, прямой а конгруэнтеи отрезку той же прямой М',М,', если х,— х,=х',— х'„где под хп х, х', и х' нужно понимать координату соответствующей / / точки Мн Мн М~ н Мь если эта точка прежняя, н самую эту точку, если она новая. Снова очевидно, что в примененнн к прежним точкам определенное на а соотношение «конгруэнтен» сохраняет старый смысл. Очевидно также, что для точек пополненной прямой а опре- делен порядок следования и справедливы аксиомы конгруэнт- ностн 111,1 — 3 н аксиома Архимеда 1Ч,1. Тем самым мы установили возможность пополнения прямой, противоречащую аксиоме линейной полноты 1Ч,2. Достаточность доказана.

2. Необходимость. Докажем, что еслн аксиома линей- ной полноты 1Ч,2 не имеет места, то координаты всех точек прямой а не исчерпывают всех вещественных чисел. Если аксиома Ч1,2 не имеет места, то существует пополнен- ная новыми точками прямая а, для всех точек которой опреде- лены соотношения «лежит между» и «конгруэитен», определен порядок следования и справедливы аксиомы конгруэнтностн И1,1 — 3 н аксиома Архимеда 1Ч,1. В силу первой основной теоремы на пополненной прямой а можно ввести координаты (в этой теореме аксиомы 1,1 — 3 н 11 использовались лишь в форме возможности установления на данной прямой порядка следования точек), Мы получим, что каждой точке пополненной прямой й отве- чает определенное вещественное число, причем разным точкам отвечают различные вещественные числа.

Но отсюда следует, что те вещественные числа, которые отвечают точкам, произво- дящим пополнение, не будут соответствовать нн одной точке исходной прямой а. Необлходнмость доказана. Вторая основная теорема полностью доказана. % я ивпоотивотвчнвость тяетмвтони евклида 2!Г 6. Аксиома параллельности. Самая последняя аксиома играет в геометрии фундаментальную роль, определяя разделение геометрии на две логически непротиворечивые и взаимно исключающие друг друга системы: евклидову и неевклидову геометрии. В геометрии Евклида эта аксиома формулируется так: У. Пусть а — произвольная прямая и А — точка, лежащая внг прямой а, тогда в плоскости а, определяемой точкай А и прямой а, существует нв более одной прямой, проходящей чвргэ А и нв пересекающей а.

Долгое время геометры выясняли вопрос о том, не является ли аксиома параллельности Ч следствием всех остальных аксиом 1, !1, Ш, 1Ч. Этот вопрос был решен Лобачевским*), который доказал, что аксиома У не является следствием аксиом 1 — 1Ч. По-другому результат Лобачевского можно сформулировать так: если н аксиомам ! — !Ч присоединить утверждение, отрииающгг справедливость аксиомы Ч, то следствия всех этик положений будут составлять логически непротиворечивую систему (негвклидову геометрию Лобачевского). Схема доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского излагается в 5 3 настоящего Приложения.

Здесь же мы отметим, что систему следствий, вытекающих из одних только аксиом 1 — 1Ч, обычно называют абсолютной геометрией. Абсолютная геометрия является общей частью как евклидовой, так и неевклидовой геометрий, ибо все предложения, которые могут быть доказаны только с помощью аксиом 1 — 1Ч, верны как в геометрии Евклида, так и в геометрии Лобачевского (примеры таких предложений читатель найдет в предыдущих пунктах). й 2.

Схема доказательства непротиворечивости геометрии Евклида Наметим схему доказательства непротиворечивости всех пяти групп аксиом геометрии Евклида. Ради простоты ограничимся доказательством, не п р от н в аречивости пл а ни метр ии Е в кл ид а, т. е. установим непротиворечивость системы аксиом 1, 1 — 3, 11 — Ч.

Для доказательства достаточно построить какую-нибудь конкретную реализацию совокупности объектов, удовлетворяюшмх всем указанным аксиомам. Мы построим так называемую декартову или арифмвтивгскую реализацию совокупности объектов, удовлетворяющих *) Нкколей Иванович Лобачевский — велкккй русской метеиеткк (!793— 1859) . й)В приложение.

пРОВлемы ОснОВАнии ГБОметРии аксиомам цланиметрии. Тем самым вопрос о непротиворечивости планиметрин Евклида будет сведен к вопросу о непротиворечивости арифметики. Назовем точкой любую упорядоченную пару вещественных чисел (х,у), а прямой — отношение трех вещественных чисел (и: о: в) при условии, что из+ оз Ф О «). Будем говорить, что точка (х, у) принадлежит прямой (и: о:в), если справедливо равенство их+ Оу+ в = О.

(П.б) Докажем справедливость аксиом 1, 1 — 3. Каковы бы ни были две различные точки (хи у1) и (хм уз), прямая '«) (уз — уз . хз — х1 . х1уз — хзу~), как легко убедиться, содержит эти точки (аксиома 1, 1). Далее из уравнений их,+оу,+в О, их»+пуз+в О вытекает, что и: о: в =(уз — уз): (хз — х1): (х1уз — хзу~), так что точками (хиу1) и (хз,уз) определяется только одна прямая (и: о: в) (аксиома 1,2). Наконец, справедливость аксиомы 1,3 вытекает из того, что уравнение (П.б) с двумя неизвестными х и у всегда имеет бесчисленное множество решений и не всякая пара х и у есть решение уравнения (П.б). Теперь определим соотношение «лежит между». Так как из+ оз чь О, то либо и Ф О, либо о чь О.

Если о чьО, то будем говорить, что точка (хз, уз) лежит между (хьу~) и (хз,уз), если либо х1 (хз (хь либо х|.;» хз > ,з хз. Если же о =О (при этом заведомо ичьО), то будем говорить, что точка (хз, уз) лежит между (хь у1) и (х, у ), если либо у~ ( уз ( ум либо у~ ) уз ) уз. Справедливость аксиом П, 1 — 3 проверяется тривиально. Несколько кропотливую проверку аксиомы Паша П«4 мы опустим. Обратимся теперь к определению соотношения «конгруэнтен».