В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия, страница 42

п. С помощью указанных аксиом уже могут быть доказаны некоторые теоремы. Так, из аксиомы 1,2 непосредственно вытекает следующее утверждение. Теорема 1. Две различные прямые не масут иметь больше одной общей точки. Предоставляем читателю доказательство следующих утверждений, вытекающих нз аксиом 1, 1 — 8*). ') В случае возннкновення ввгрулненяа отсмлвем чнтателя к книге Н. В. Вфнмова «Вмешан геомегряя»,-Мс Наука, 19УВ. 1 и аксиомы элкмвитлэнои гкомвтэии Теорема 2. Две плоскости либо совсем не имеют общих точек, либо имеют общую прямую, на которой лежат все «х общие точки.

Теорема 2. Плоскость и не лежащая на ней прямая не могут иметь больше одной общей точки. Теорема 4, Через прямую и не лежащую на ней точку или через две различные прямьче с общей точкой проходит одна и только одна плоскость. Теорема б. Каждая плоскость содержит по крайней мере три точки. 2. Аксиомы порядка. И,1. Если точка В прямой а лежит между точками А и С той же прямой, то А, В и С вЂ” различные точки указанной прямой, причем В лежит также и между С и А. И,2. Каковы бы ни были две различные точки А и С, на определяемой ими прямой существует по крайней мере одна точка В такая, что С лежит между А и В. И, 3.

Среди любых трех различных точек одной прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими. Сформулированные трн аксиомы относятся к расположению геометрических объектов на прямой и поэтому называются линейными аксиомами порядка. Формулируемая ниже последняя аксиома порядка относится к расположению геометрических объектов на плоскости. Для того чтобы сформулировать зту аксиому, введем понятие отрезка. Пару различных точек А и В назовем отрезком и будем обозначать символом АВ или ВА. Точки А н В будем называть концами отрезка АВ.

Точки прямой, определяемой А и В, лежащие между А и В, будем называть внутренними точками или просто точками отрезка АВ. Остальные точки указанной прямой будем называть внешними точками отрезка АВ. И,4. ?аксиома Паша). Если А, В и С вЂ” три точки, не лежащие на одной прямой, и а — некоторая прямая в плоскости, определяемой этими точками, не содержащая ни одной из указанных точек и проходящая через некоторую точку отрезка АВ, то эта прямая проходит также либо через некоторую точку отрезка АС, либо через некоторую точку отрезка ВС. Подчеркнем, что из одних аксиом порядка ?1,1 — 4 еще не вытекает, что любой отрезок имеет внутренние точки. Однако, привлекая еще аксиомы принадлежности 1,1 — 3, можно доказать следующее утверждение.

Теорема 6. КУтаковы бы ни были две различные точки А и В, на прямой, ими определяемой, существует по крайней мерв одна точка С, лежаи?ая между А и В, пгиложинии. пговлимы основании гиомитгии Предлагаем читателю, опираясь на аксиомы 1,1 — й принадлежности и аксиомы 11,1 — 4 порядка, последовательно доказать следующие утверждения '). Теорема 7. Среди любых трех различных точек одной прямой всегда существует одна точка, лежащая между двумя другими.

Теорема 8. Если точки А, В и С не принадлежат одной прямой и если некоторая прямая а пересекает*е) какие-либо два иэ отрезков АВ, ВС и АС, то зта прямая не пересекает третий иэ указанных отрезков. Теорема У. Если В лежит на отрезке АС и С вЂ” на отрезке В0, то В и С лежат на отрезке А0. Теорема 1й. Если С лежит на отрезке А0, а  — на отрезке АС, то В лежит также на отрезке А0, а С вЂ” на отрезке В0. Теорема 11.

Между любыми двумя различными точками прямой существует бесконечно много других ее точек. Теорема 12. Пусть каждая из точек С и 0 лежит между точками А и В. Тогда если М лежит между С и О, то М лежит и между А и В. Теорема 1У. Если точки С и 0 лежат между точками А и В, то все точки отрезка С0 принадлежат отрезку АВ (в этом случае мы будем говорить, что отрезок С0 лежит внутри отрезка АВ).

Теорема 1й. Если точка С лежит между точками А и В, то: 1) никакая точка отрезка АС не может быть точкой отрезка СВ, 2) каждая отличная от С точка отрезка АВ принадлежит либо отрезку АС, либо отрезку СВ. Указанные утверждения позволяют упорядочить множество точек любой прямой и выбрать иа этой прямой направление. Будем говорить, что две различные точки А и В прямой а лежат по разные стороны (по одну сторону) от третьей точки О той же прямой, если точка О лежит (не лежит) между А н В. Из укаэанных выше утверждений вытекает следующая теорема. Теорема 1б. Произвольная точка О каждой прямой а разбивает все остальные точки втой прямой на два непустых класса так, что любые две точки прямой а, принадлежащие одному и тому же классу, лежат по одну сторону от О, а любые две точки, принадлежащие разным классам, лежат по разные стороны от О. Таким образом, задание иа любой прямой двух различных точек О и Е определяет иа этой прямой луч или полупрямую ОЕ, обладающую тем свойством, что любая ее точка и точка Е лежат по одну сторону от О.

') Впрочем, доказательство всех пряводнмых ивже утвержденна можно ваагн в кнше Н. В, В ф и м о в а «Высшая геометрнк» (цнт. на с. 206). '*) Под термином «прямая пересекает отрезок» мы подразумеваем. что указанная прямая содержит некоторую внутреннюю точку этого отрезка. аксиомы влемннтдгиои гяомктрии Выбрав на прямой а две различные точки О и Е, мы можем теперь определить порядок следования точек иа прямой по следующему правилу: 1) если А и  — любые точки луча ОЕ, то будем говорить, что А предшествует В, если А лежит между О и В; 2) будем говорить, что точка О предшествует любой точке луча ОЕ; 3) будем говорить, что любая точка, не принадлежащая лучу ОЕ, предшествует как точке О, так и любой точке, принадлежащей лучу ОЕ; 4) если А и  — любые точки, не принадлежащие лучу ОЕ, то мы будем говорить, что А предшествует В, если В лежит между А и О.

Легко проверить, что для выбранного порядка следования точек прямой а справедливо свойство транзитивнос ти: если А предшествует В, а В предшествует С, то А предшествует С. Аксиомы, приведенные выше, позволяют упорядочить и точки, принадлежащие произвольной плоскости сс. Предлагаем читателю доказать следующее утверждение '). Теорема 1Б.

Каждая прямая а, принадлежащая плоскости а, разделяет не лежащие на ней точки этой плоскости на два не- пустых класса так, что любые две точка А и В из разных классов определяют отрезок АВ, содержащий точку прямой а, а любые две точки А и А' из одного класса определяют отрезок АА', внутри которого не лежит ни одна точка прямой а. В соответствии с утверждением этой теоремы мы будем говорить, что точки А и А' (одного класса) лежат в плоскости а по одну сторону от прямой а, а точки А и В (разных классов) лежат в плоскости и по разные стороны от прямой а. 3. Аксиомы коигрувнтиости.

1П,1. Если А и  — две точки на прямой а, А' — точка на той же прямой или на другой прямой а', то по данную от точки А' сторону прямой а' найдется, и притом только одна, точ«а В' такая„что отрезок А'В' конгруэнтен отрезку АВ. Каждый отрезок АВ конгруэнтен отрезку ВА е ). 1П,2. Если отрезки А'В' и А"В" конгруэнтны одному и тому же отрезку АВ, то они конгруэнтны и между собой. П1,3. Пусть АВ и ВС вЂ” даа отрезка прямой и, не имеющие общих внутренних точек, А'В' и В'С' — два отрезка той же прямой или другой прямой а', также не имеющие общих внутрен- ») В случае затрудненнй см. кингу Н.

В. Е ф я м о в а еВысглая геометрня» (пнт. на с. 206). *') Из этой экономы вытекает возможность перемепгенкя отрезка АВ вдоль прямой, на которой он лежат (с сохранекнем его длины н направлення). Будем говорить, что накроелеякыв отрезок С0 колечек е резульгоге перемещения лолроеленяого отрезка АВ, еслн отрезок С0 конгруэаген отрезку АВ н если лабо отрезок А0 лежнт внугря отрезка ВС, либо огрезок ВС лежат внугрн отрезка А0. ио пгиложеиие птоелемы основании геометгни них точек. Тогда, если отрезок АВ конгруэнтен отрезку А'В', а отрезок ВС конгруэнтен отрезку В'С', то отрезок АС конгруэнтен отрезку А'С'. Сформулированные трн аксиомы относятся к конгруэитностн отрезков. Для формулировки двух следующих аксиом нам понадобится понятие угла и его внутренних точек. Пара полупрямых И и И, выходящих иэ одной и той же точки О н не лежащих иа одной прямой, называется углом и обозначается символом г.'(Ь,Ь) или л'.

(Ь, И). Если полупрямые И и Ь задаются двумя своими точками ОА и ОВ, то мы будем обозначать угол символом л'.АОВ или л'. ВОА. В силу теоремы 4 любые два луча И и Ь, составляющие угол г'. (И,И), определяют, и притом единственную, плоскость м. Внутренними точками г.'(Ь,Ь) будем иазъшать те точки плоскости а, которые, во-первых, лежат по ту сторону от прямой, содержащей луч Ь, что н любая точка луча Ь, и, во-вторых, лежат по ту сторону от прямой, содержащей луч Ь, что и любая точка луча И.

Ш, 4. Пусть даны л'. (И, Ь) на плоскости а, прямая а' на этой же или на какой-либо другой плоскости а' и задана определенная сторона плоскости а' относительно прямой а'. Пусть И'— луч прямой а', исходящий из некоторой точки О'. Тогда на плоскости а' существует один и только один луч Ь' такой, что с.' (И,Ь) конгруэнтен л'.

(И',Ь'), и при этом все внутренние точки г',(И),И') лежат по заданную сторону от прямой а'. Каждый угол конгруэнтен самому себе. Н),5. Пусть А, В и С вЂ” три точки, не лежащие на одной прямой, А', В' и С' — другие три точки, также не лежащие на одной йрямой. Тогда, если отрезок АВ конгруэнтен отрезку А'В', отрезок АС когруэнтен отрезку А'С' и л' ВАС конгруэнтен ЛВ'А'С', то л.АВС конгруэнтен г'.А'В'С' и ~АСВ конгруэнтен л.А'С'В'. Договоримся теперь о сравнении неконгруэитных отрезков и углов.