В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия, страница 41

Иными словами„эллиптический иараболоид образуется путем параллельного перемещения параболы (7.45), когда ве вершина движется вдоль параболы г = ха/аз, у= О, иредставляющей собой сечение эллиптического иараболоида илоскостью у = О. повктхности ВТОРОГО потянка ~гл. т Совершенно аналогично можно убедиться в том, что эллиптический параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение параболонда плоскостью у = 0 вдоль сечения плоскостью х = О. 2'.

Гилерболический лараболоид. Из канонического уравнения (7.29) «~ у« г= — —— сл ь» (7.29) гиперболического параболоида вытекает, что плоскости Охг и Оуг являются ллоскостями симметрии. Ось Ог называется осью гиперболического аараболоида. Ряс. 7.9 Рис. 7,8 'Линии г = Ь пересечения гиперболического параболоида с плоскостями г= Ь представляют собой прн Ь » 0 гиперболы хг ⫠— — — =1 (7.46) с'« ь*« с полуосями а'=а~/Ь, Ь'=Ь |%, (7.47) а пря Ь ( 0 †сопряженн гиперболы для гипербол (7.46) хз яз — — — = — 1 (7.48) с'~ ь'~ с полуосями ь у=~ — х, а (7.50) Из формул (7.47) и (7.49) вытекает, что прямые (7.50) являются асимптотами гипербол (7,46) и (7.48).

а = а ~ — Ь, й' = Ь ~/ — Ь. (7.49) Используя формулы (7.46) — (7.49), легко построить «карту» гиперболического параболоида (рис. 7.8). Отметим еще, что плоскость г = 0 пересекает гиперболический параболоид по двум прямым в н исслядоваиив воэмы поввгхностви втотого погядка гэ1 Карта гиперболического параболоида дает представление о его пространственной форме (рис. 7.9).

Как и в случае эллиптического параболоида, можно убедиться в том, что гиперболический параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостью Охг (Оуг), когда ее вершина движется вдоль параболы, являющейся сечением параболоида плоскостью Оуг (Охг). 4. Конус и цилиндры второго порядка. 1'.

Конус второго порядка. В предыдущем параграфе мы назвали вещественным конусом второго порядка поверхность 5, определяемую уравнением (7.21): хо го оо — + — — -=о. оо Ьо е Убедимся, что вещественный конус 8 образован прямыми линиями, проходящими через начало О координат. Естественно называть точку О вершиной конуса. Для доказательства сформулированного утверждения, очевидно, достаточно установить, что прямая 7., соединяющая произвольную, отличную от начала координат точку Мо(хо, уо, го) конуса (7.2Ц н начало координат О (рис.

7ЛО), цели- уоо хм ком располагается на конусе, т. е. координаты (х,у,г) любой точки М прямой Ь удовлетворяют уравнению (7.21). Так как точка Мо(хо уо. го) лежит на у конусе (7.21), то —, + Ь, — — „— й. (7.б1) Координаты (х,у, г) любой точки М прямой 7. равны соответственно Гхо, 1уо. ого. Рво. тйо где г — некоторое число.

Подставляя эти значения для х, у и г в левую часть (7.2!), вынося Го за скобки и учитывая (7.51), мы убедимся в том, что М лежит на конусе. Таким образом, утверждение доказано. Представление о форме конуса может быть получено методом сечений. Легко убедиться, что сечения конуса плоскостями г= Ь представляют ° а ° Ь собой эллипсы с полуосями а — Ь, Ь = — Ь. с ' о 2'. Иилиндры второго порядка. В процессе классификации поверхностей второго порядка нам встретились эллиптический, гиперболический н параболический цилиндры.

Уравнения этих повннхностн второго порядка 1гл. т поверхностей соответственно имеют вид хе уе хе уз ат + Ь' ' ат ЬЬ Рнс. 7.11 дает представление о форме этих цилиндров. т зллаанаавва" наган(а Гимрйлаггангй НкнлФ Ркс. 7.11 Луа гламггнй аагнгф Заметим, что цилиндры (7.52) состоят нз прямых линий, параллельных оси Ог. 5. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка. Кроме конуса и цилиндров, поверхностями второго порядка, состоящими из прямолинейных образующих, являются однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид. Более точно, справедливо следующее утверждение. Через казсдую точку однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида проходят две различные прямые линии, целиком располагающиеся на указанных поверхностях.

Таким образом, однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид покрыты двумя различньгми семействами прямолинейных образующих. На рис. 7,12 и 7.13 показано расположение прямолинейных образующих соответственно на однополостиом гиперболоиде и гиперболическом цараболоиде.

Рассмотрим сначала однополостный гиперболоид, заданный своим каноническим уравнением хз уе ай ах+ Ьт се (7.19) — — =Д(1 — ь ) Ь ( — + — )=1+ УЬ, (7.ба) ° ) Ураененне параболвческого цилиндра у'* йрх легко получаетса на ураакенкн (7.33) путем перенменоааквн осей коорданат в простых арнфмегкческнх операцвй. Очевидно, любая прямая Га, определяемая как линия пересе- чения плоскостей з Н исслвдованив еогмы повагхносткн втогого погадка зоэ прн любом отличном от нуля эначеннн А целиком располагается на гнперболонде (7.19), нбо уравнение (7.19) представляет собой алгебраическое следсгвне уравнений (7.53) (уравнение (7.19) получается нэ уравнений (7.53) путем нх перемножения).

Прямая Г : 1 — — =О, — + — = 0 соответствует уравнениям у н н а е Рнс. 7.12 Рнс. 7.13 (7.53) прн й = аа. Точно так же легко убедиться, что любая прямая Гм определяемая как линия пересечения плоскостей н н г1+у) (н+ н) у куда включается прямая Г': 1+ — =О, — + —,=О, соответствующая Х= аа, при любом значении Х располагается на гиперболоиде (7.19).

Нетрудно заметить, что прямые Гь н Гь различны. Таким образом, на однополостном гнперболонде имеются два различных семейства прямых Гь н Гы Для завершения доказательства утверждения достаточно убедиться, что через любую точку гнперболоида проходит некоторая прямая семейства Гь н некоторая прямая семейства Гы Мы ограничимся доказательством этого лншь для семейства Гм нбо для семейства Гь доказательство аналогично. Пусть точка Мс(хс,ус, хс) находится на гиперболоиде (7.20), так что Ф .и и "с ус *о аг+ зт ес (7,54) поввахности втогого погядка ЗО4 [гл, т Если точка Мо лежит на прямой Г нлн Го, то утверждение очевидно.

В нротнвном случае выберем такое значение Х, чтобы чнсла хо, уо, го удовлетворяли первому нз уравнений (7.53), н обозначнм его через Хо. Такнм образом, хо хо й (1 Уо) (7.55) Убедимся, что при выбранном значения Х = Хо числа хо, уо, хо удовлетворяют н второму нз уравнений (7.53), что означает. что точка Мо(хо,уо,хо), прннадлежащая гиперболоиду, принадлежит также н прямой (7.53). Допустим, что это не так. Тогда Я,( — ";+Ф) Ф1+ и,. Перемножая (7.55) н (7.56), получим неравенство о 2 о хо хо Уо -г — — Ф! — -5-. (7.56) х=й~ — + — ), Хю~ гх уч х у ь)' а ь й1 — — -) Х= — + —. где Х ен( — оо оо), 1а ь)' а ь' Ф которое противоречит соотношеняю (7.54).

Такнм образом, прямая Гц располагается на гиперболоиде н пролоднт через заданную его точку Мо(хо, Уо, го). Совершенно аналогично рассуждая, можно убедиться, что гннерболнческнй параболонд х = —, — —, покрыт двумя семействами прямых По н Пь. которые соответственно задаются урав- неннямн ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ОСНОВАНИИ ГЕОМЕТРИИ И ОБОСНОВАНИЯ МЕТОДА КООРДИНАТ 5 1. Аксномы алементарвой геометрми Будем рассматривать три множества объектов любой природы: объекты первого множества будем именовать точками и обозначать большими латинскими буквами А, В, С, ..., объекты второго множества будем именовать лрнимми и обозначать малыми латинскими буквами а, Ь, с, ..., объекты третьего множества будем именовать ллоскостями й обозначать греческими буквами и, р, Т, ...

Будем считать, что в рассматриваемых множествах каким- либо способом определены соотношения между объектами„ выражаемые тремя терминами: принадлежит, лежит между и конеруэнтен*). Например, точка А принадлежит прямой а илн плоскости а; точка В, прйиадлежащая прямой а, лежит между принадлежащими той же прямой точками А и С; отрезок прямой а, ограниченный принадлежащими этой прямой точками А н В, конгруэнтеи отрезку прямой Ь, ограниченному принадлежащими этой прямой точками С н Э. Будем требовать, чтобы указанные соотношения удовлетворяли формулируемым ниже двадцати аксиомам«').

Все аксиомы разделяются на пять групп. Группа 1 содержит восемь аксиом прввадлежностн. Группа П содержит четыре аксиомы порядка. Группа 1П содержит пять аксиом конгруэитности. Группа !Ч содержит две аксиомы непрерывности. Группа Ч содержит одну аксиому параллельности. Переходим к формулировке аксиом по группам. Одновременно будем указывать некоторые утверждения, вытекающие нз формулируемых аксиом. Это поможет нам выяснить основ- «) То есть «разек». ") Во всем остзкьяом язя яряроде семах объектов, тек я еяоеоб задавая соотяоаеяяй между зтямя объеятзмя яяаявтся ярояззодьяммя. 206 поиложвнив. птовлвмы основлнни гвомвтннн ные принципы логического развертывания геометрии и обосновать возможность установления взаимно однозначного соответствия между множеством всех точек прямой и множеством всех вещественных чисел, т.

е. обосновать метод координат. 1. Аксиомы принадлежности. 1,1. Каковы бы ни были две точки А и В, существует прямая а, которой принадлежат обе эти точки. 1,2. Каковы бы ни были две различные точки А и В, существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки. 1,3. Каждой прямой а принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой. Указанные три аксиомы исчерпывают список аксиом принадлежности планнметрии. Следующие пять аксиом вместе с указанными тремя аксиомами завершают список аксиом принадлежности сгереометрии. 1,4. Каковы бы ни были три точки А, В и С, не принадлехащие одной прямой, существует плоскость а, которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка.

1,5. Каковы бы ни были три точки А, В и С, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти точки. 1,8. Если две принадлежащие прямой а различные точки А и В принадлежат некоторой плоскости а, то каждая принадлежащая прямой а точка принадлежит укаэанной плоскости. 1,7.

Если существует одна точка А, принадлежащая двум плоскостям а и р, то существует по крайней мере еще одна точка В, принадлежащая этим плоскостям. 1,8. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости. С целью использования привычной для нас геометрической терминологии договоримся отождествлять между собой следующие выражения: 1) «точка А принадлежит прямой а (плоскости а)»; 2) «прямая а (плоскость а) проходит через точки А», 3) «точка А лежит на прямой а (на плоскости а)»; 4) «точка А является точкой прямой а (плоскости а)» и т.