В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Аналитическая геометрия, страница 43

Будем говорить, что отрезок АВ больше отрезка А'В', если на прямой, определяемой точками А и В, найдется лежащая между этими точками точка С такая, что отрезок АС коигруэнтен отрезку А'В'. Будем говорить, что отрезок АВ меньше отрезка А'В', если отрезок А'В' больше отрезка АВ. Символически тот факт, что отрезок АВ меньше отрезка А'В' (конгруэнтен отрезку А'В'), будем записывать так: АВ С А'В' (АВ А'В'). Будем говорить, что л.АОВ больше х.А'О'В', если в плоскости, определяемой л.АОВ, найдется луч ОС, все точки но- зп аксиомы элимантьэнон гвомвтэии торого являются внутренними точками х АОВ, такой, что л АОС конгруэнтен г.А'О'В'.

Будем говорить, что х.АОВ меньше г.А'О'В', если г'.А'О'В' больше г.АОВ. С помощью аксиом принадлежности, порядка н конгруэнтности можно доказать целый ряд класснческнх теорем элементарной геометрии. Сюда относятся: 1) трн широко известные теоремы о конгруэнтностн (равенстве) двух треугольников; 2) теорема о конгруэнтностн вертикальных углов; 3) теорема о конгруэнтности всех прямых углов; 4) теорема о единственности перпендикуляра, опущенного нз точки на прямую; 5) теорема о единственности перпендикуляра, восстановленного нз данной точки прямой; 6) теорема о внешнем угле треугольника; 7) теорема о сравнении перпендикуляра н наклонной. Предлагаем читателю самому последовательно доказать только что перечисленные теоремы.

4. Аксиомы непрерывности. С помощью аксиом прннадлежности, порядка н конгруэнтностн мы пронзвелн сравнение отрезков, позволяющее заключить, каким нз трех знаков (, = нли ~ связаны данные два отрезка. Указанных аксиом, однако, недостаточно: 1) для обоснования возможности измерения отрезков, позволяющего поставить в соответствие каждому отрезку определенное вещественное чнсло; 2) для обоснования того, что указанное соответствие является взаимно однозначным.

Для проведения такого обоснования следует присоединить к аксиомам 1, 11, 111 две аксиомы непрерывности. 1Ч,1 (аксиома Архимеда). Пусть АВ и СЭ вЂ” произвольныв отрезки. Тогда на прямой„определяемой точками А и В, существует конечное число точек Аь А», ..., А„располоясенных так, что точка А~ лежит между А и Ам точка Аэ лежит между А~ и Ам ..., точка А, ~ лежит между А э и А„, причем отрезки ААь А~А», ..., А, ~А„конгруэнтны отрезку С0 и точка В лежит между А и А,. !У,2 (аксиома линейной полнота!).

Совокупность всех точек произвольной прямой а нельзя пополнить новыми объектами (точками) так, чтобы: 1) на пополненной прямой были определены соотношения «лежит между» и «конгруэнтен», определен порядок следования точек и справедливы аксиомы конгруэнтности 111, ! — 3 и аксиома Архимеда 1Ч, 1; 2) по отношению к прежним точкам прямой определенные на пополненной прямой соотношения «лежит между» и «конгруэнтен» сохраняли старый смысл. Мы сейчас докажем, что прнсоеднненне к аксиомам 1,1 — 3, 11 н П!, 1 — 3 аксиомы Архнмеда 1Ч, 1 позволяет поставить в соответствие каждой точке пронзвольной прямой а определенное вещественное число х, называемое координатой этой точки, а прнсоеднненне еще н аксиомы линейной полноты 1Ч,2 позво- 2!2 ПРИЛОЖЕНИЕ, ПРОБЛЕМЫ ОСНОБАНИИ ГЕОМЕТРИИ ляет утверждать, что координаты всех точек прямой а исчерпывают множество всех вещественных чисел.

б. Обоснование метода координат. Прервем на время изложение аксиом геометрии, чтобы на основании уже изложенных аксиом дать обоснование метода координат на прямой. Сначала докажем следующее утверждение. Первая основная теорема. Аксиомы 1,1 — 3, 11, П1,1 — 3 и аксиома 1Ч,1 Архимеда позволяет ввести на любой прямой а координаты так, что выполнены следующие требования: 1'. Каждой точке М прямой а соответствует определенное вещественное число х, называемое ее координатой. 2'. Разным точкам соответствуют разные координаты, причем точка Мь лежит между М~ и Мь тогда и только тогда, когда либо х~ (хз( хз, либо х~ > ха > хь (здесь хн хь и хз — координаты точек Мн Мз и Мз соответственно). 3'. Отрезки М1МА и М(МБ конгрузнтны тогда и только тогда, когда хз — к~ = хь — х( (здесь х„хм х1 и хт — координаты точек Мь Мз, М| и Мз соответственно).

4'. Если вещественные числа х1 и хз представляют собой координаты некоторых точек, то и вещественное число х~ -ь. хз представляет собой координату некоторой точки. Доказательство. Выберем на прямой а произвольную точку О в качестве начала координат и произвольную отличную от О точку Е в качестве точки с координатой единица. Пусть М вЂ” произвольная точка прямой а. Ради определенности предположим, что М лежит с той же стороны от О, что и Е (аксиомы 1,1 — 3, П и П1,1 — 3 обеспечивают возможность установления порядка следования точек на прямой а).

Каковы бы ни были целое положительное число и и целое неотрицательное число гп, мы можем, откладывая отрезок ОМ в одном и том же направлении последовательно и раз, построить отрезок п.ОМ и аналогично построить отрезок т ОЕ (возможность откладывать коигрузнтный отрезок в любом направлении и брать сумму конгрузнтных отрезков, не имеющих общих внутренних точек, вытекает из аксиом 1, 1 — 3, П и 1П, 1 — 3). В силу только что упомянутых аксиом любые два отрезка мы можем сравнивать.

Стало быть, и отрезки п ОМ и т ОЕ при различных и и т будут связаны либо знаком (, либо знаком ). Рассмотрим все возможные рациональные числа т/и. Их можно разбить на два класса, относя к верхнему классу те из них, для которых и ° ОМ < ° ОЕ, (П.1) и к нижнему классу те, для которых и ° ОМ)т ° ОЕ. (П.2) АКСИОМЫ ЭЛЕМЕНТАРНОИ ГЕОМЕТРИИ й)З Убедимся в том, что этн два класса однозначно определяют вещественное число х, которое мы и поставим в соответствие точке М и назовем ее координатой.

Сначала убедимся в том, что любое рациональное число из верхнего класса больше любого рационального числа из нижнего лласса. Приводя любые два рациональных числа из разных классов к общему знаменателю и обозначая последний через н, мы нз (П.1) н (П 1 получим, что числитель числа из верхнего класса больше числителя числа из нижнего класса. Отсюда и вытекает, что число из верхнего класса больше числа нз нижнего класса. Далее заметим, что оба класса не являются яустылш: нижнему классу заведомо принадлежит рациональное число нуль, а для установления непустоты верхнего класса достаточно положить а = 1 и заметить, что аксиома Архимеда 1Ч,1 гарантирует существование такого натурального числа т, что при и = 1 справеливо неравенство (П.1). В силу теоремы о точных гранях непустого ограниченного сверху (снизу) множества ') существует точная верхняя грань х рациональных чисел нижнего класса и точная нижняя грань х рациональных чисел верхнего класса.

Убедимся в том, что эти грани х и х заключеньг между как угодно близкими рациональными числами и поэтому совпадают '*). Достаточно доказать, что существуют как угодно близкие числа разных классов, а это вытекает из того, что для как угодно большого номера и найдется номер т такой, что рациональное число (т+ 1)/а приналежит верхнему классу, а рациональное число т/а принадлежит нижнему классу ««").

Положим теперь х = х = х и поставим вещественное число х в соответствие точке М, назвав его координатой этой точки. Требование 1' обосновано. Пусть теперь Мг и Мз — какие угодно две точки, лежащие по гу же сторону ог О, что и Е, и такие, что М| лежит между О и Мз, г. е. ОМз ) ОМг. Докажем, что если х~ и хз — координаты точек Мг и Мз соответственно, то хз ) хь Выберем номер и настолько большим, чтобы разность отрезков ОМз и ОМИ повторенная н раз, превзошла отрезок ОЕ (это можно сделать в силу все той же аксиомы Архимеда 1Ч,1). Тогда, обозначая через т наибольшее целое число, для которого и ° ОМ,) т ° ОЕ, «) См.

выпуск 1, теорему йд. ««) См. выпуск 1, лемму не с.48. ° ««) ТОТ фаКт, ЧТО ДЛЯ ЛЮ6ОГО НОМЕРа и НайДЕтСЯ УКаэаННЫЙ НОМЕР НГ (елкой, что спрвведлнво (П1)), снова вытекает нз ексномы Аркнмеел 17,1. 214 пРиложение. пРОБлемы ОснОВАнии геометРии мы получим, что и ОМ, <(т+1) ОЕ, (П.З) н в силу сделанного выше выбора номера и п ° ОМ» > (т + 1) ОЕ. (П.4) Из (П,З) заключаем, что рациональное число (т+ 1)/п относятся к верхнему классу по отношению к точке Мн т. е. (т+ + Ц/п»хь а нз (П.4) заключаем, что то же самое рациональное число (т+ 1)/и относится к нижнему классу по отношению к точке Мз, н поэтому хз (т+1)/и. Тем самым неравенство хз ) х1 доказано. Если теперь мы нмеем на прямой а какое угодно число точек, идущих в порядке О, Мь Мз, ..., М„(в сторону Е*)), то нз только что доказанного утверждения для коордннат этих точек получим О( х1 ( хз( ...