С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра, страница 6

Система (2) имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда гапк А меньше п (количества неизвестных). Доказательство. Нетривиальное решение системы (2) существует тогда и только тогда, когда столбцы матрицы А линейно зависимы, т. е. тогда и только тогда, когда тапи А (количество линейно независимых столбцов) меньше и (количества стыбцов или, что то же самое, количества неизвестных).

Теорема доказана. С л с д с т в и е. Система (2) имеет только тривиальное решение тогда и только глогда, когда тапи А = и (так как ганя А не может быть больше количества столбцов п). 4. Единственность решения. Теорема 1. Пусть (хм хм ...,хв) решение системы (1), (ум уз, ..., ув) -- решение системы (2).

Тогда (хг+ум ха+ уз, ...,х„+ + у„) — решение системы (1). Доказательство. Воспользуемся матричнойзаписьюсистем (1), (2). Имеем: А(х Р у) = Ах+ Ау = Ь+ о = Ь. Теорема доказана. Следствие. Если система (1) имеет одно и только одно решение, то система (2) имеет только тривиальное решение, т.е. гапк А = п.

Нахождение решений 29 Теорема 2. Пусть (х1, хз, ..., х„) и (у1, уз, ..., у ) — два решения системы (1). Тогда (хг — уг, хг — уз, ..., х„— у„) решение система (2). Д о к аз а тел ь с т во. Воспользуемся матричной записью систем (1), (2). Имеем: А(х — у) = Ах — Ау = Ь вЂ” Ь = о. Теорема доказана. Следствие 1. Пусть (х1,хз, ..., х„) — какое-нибудь решение системы (1). Тогда любое другое решение этой системы представляет собой (хг+уг, хз+уз,, х„+у„), где (уг, уз, ..., у„) — решение системы (2). Следствие 2. Если система (2) мсет только тривиальное реигение, т. е. ганя А = п, то система (1) имеет не более одного решепил. Т е о р е м а 3 (существования и единственности решения).

Система (1) мест одно и только одно решение тогда и только гаогда, когда ганя А = = ганя В = и. Доказательство. Допустим, что гапйА = ганя В = п. Тогда из равенства гани А = ганя В следует, что решение системы (1) существует; а из равенства ганя А = п следует, что система (1) имеет не более одного РЕП1ЕНИЯ. Допустим теперь, что решение системы (1) существует и оно — единственное. Из того что решение существует, следует, что ганя А = ганя В. Из единственности этого решения следует, что ганя А = п.

Теорема доказана. й 2. Нахождение решений 1. Формулы Крамера. Рассмотрим систему линейных уравнений а11Х1 + а12Х2 + ° + а1~Х~ — в1 а21х1 + а22х2 + ° ° + агь св — )12 а„1х1 + а„зх2+... + а„„х„= 6„ количество уравнений в которой совпадает с количеством неизвестных п. Специфика этого случая состоит в том, что здесь, очевидно, гани А < ганя В < п (в общем случае гани А < ганя В < ппп(п + 1, т)). Поэтому система (3) имеет одно и только одно решение тогда и только пюгда, когда ганя А = п, т. е. 11еб А фО. Чтобы найти это решение, вспомним, что из условия с)ес А фО следует существование матрицы А ', обратной к А.

Запишем систему (3) в матричном виде и, предполагая, что х решение, умножим обе части полученного тождества слева на эту матрицу: А" 1Ах = А 1Ь. Но А 1А = Е, а Ех = = х. Поэтому х=А 'Ь. Это и ес"гь ответ. Заме чан не. Выведенная нами формула особенно удобна в тех случаях, когда нужно решить систему (1) при неизменной левой части (т, е. матрице А) и нескольких различных значениях правой части, поскольку Гл 2.

Системы линейных уравнений наиболее трудоемкую работу — нахождение матрицы А — достаточно выполни гь один раз. Встречаются, однако, и другие задачи. Например, иногда требуется найти не все решения х„, а только часть из них или даже какое-нибудь одно. В этом случае искать А ' не обязательно. В самом деле, имеем: н н и (А-д), Ье=~,Ад Ье=,' ') Ь,Ать= е=д ам .. аы-д Ьд аыэд ... ад„ ад...ад дЬ адэд...а„ Эти формулы (ддри разных значениях к) называются формулами Крамера. 2. Общий случай. Рассмотрим геперь общий случай: систему пд линейных уравнений с н неизвестными. Предположим, что решение этой системы существует, и, следовательно, ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы: гапк А = тапа В.

Поставим своей целью его найти. Ьез ограничения общности будем считать, что базисный минор порядка т, общий для матриц А и В, расположен в левом верхнем углу матрицы А: аыхд + ... + ад„х„ + ... + адах„ = Ьд а„дхд +... + а,дх, +... + а,„х„= Ье атдхд +... + аттх„-д-... + а„тх„= Ьт Поскольку строки матрицы В с номерами, большими т, представляют собой линейные комбинации первых т ее строк, то последние (т — т) уравнений являются следствиями первых т и, следовательно, могут быть отброшены (они не дают ничего нового). Оставшиеся т уравнений перепишем так: аддхд +...

+ а„х„= Ьд — ад,тдх„, д — ... — а,„х„ Эту систему можно рассматривать как систему т уравнений с т неизвестными тд, хэ, ..., х„. Ее определитель, будучи базисным минором, отличен от нуля, поэтому, согласно результатам предыдущего пункта., при любой правой части, в частности при любых х„тд, х„тэ,..., х„, она имеет единственное решение.

Это означает, что числа х„тд, х„тз, ..., х„можно выбрать произвольно, полагая х„тд — — Сд, х, да = Сдн ..., х„= С„. „ а хд, хдн ..., х„найти, например, по формулам Крамера. Таким образом, общее решение нашей системы зависит от (и — т) произвольных чисел С,дс, ...,С„„. Предварительные замечания Аналитическая геометрия — зто раздел геометрии, в котором свойства геомегприческик обьектов изучаются методами алгебры. Поясним эти слова. Геометрия, как и другие разделы математики, строится твк: сначала формулируются исходные положения — аксиомы, а затем из них выводятся логические следствия — теоремы.

Таким образом, на этом (первом) этапе построение геометрии ведется исключительно на базе собственных средств аксиом и ранее доказанных теорем. Эта часть геометрии называется элементарной геол«етрией. Следующий этап в построении геометрии состоит в расширении аппарата путем привлечения средств других разделов математики, в первую очередь, алгебры и математического анализа. Делается это так: вводится система координат, в результате чего каждая точка описывается набором чисел, а геометрические фигуры — уравнениями и неравенствами.

Благодаря этому изучение геометрических объектов может быть в ряде случаев сведено к изучению уравнений. Изучение же свойств уравнений осуществляется методами алгебры и математического анализа. Так появляются поные разделы геометрии — аналитическая и дифференциальная геогиетрия: В дальнейшем мы будем предполагать известными аксиомы и основные теоремы элементарной геометрии; изложение же метода координат (в частности, и материал, входящий в школьную программу) будем снабжать полными доказательствами. Примем еще несколько соглашений. Прежде всего, раз и на всегда договоримся считать заданной единицу измерения отрезков.

Тем самым, длина любого отрезка, площадь фигуры и объем тела мы будем представлять себе выражающимися вполне определенными вещественными числами. Далее, под словами «отрезок», «треугольник», «парьллелограмм», «параллелепипед» условимся понимать в том числе и вырошсденныс обьекты: вырожденный отрезок — это одна точка (она же является и серединой этого отрезка), вырожденный треугольник или параллелограмм — это отрезок (в том числе, вырожденный), вырожденный параллелепипед — это фигура, представляющая собой изображение параллелепипеда на листе бумаги. Наконец, будем считать, что длина вырожденного отрезка равна нулю, площадь вырожденного треугольника или параллелограмма равна нулю, объем вырожденного параллелепипеда равен нулю.

Угш| между двумя совпадаюгаими лучами мы также будем считать равным нулю. Глава 1 ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ й 1. Координаты точки 1. Ось координат. Пусть 1 произвольная прямая, О какая-нибудь ес точка. Согласно аксиомам геометрии, точка О разделяет прямую 1 на два луча. Вгвберем один из них и назовем его положительной полуосью. Определение 1. Прямая на ко»порой выбрана положительная по- луось, называется осью координат; начало положительной полуоси пазы- вается нач лом координат. Определение 2.

Координатой тоти М, лежащей на оси коорди- нат с началом О, называется длина г) отрезка ОЛХ, взятая со знаком «+», если точка ЛХ лежит на положительной полуоси, и д — » в про- тивном случае. Из аксиом геометрии следует, что каждая точка ЛХ рассматривае- мой оси имеет вполне определенную координату х; обратно, для любо- го числа х на данной оси существует ровно одна точка ЛХ с координа- той х. Иными словами, соответствие ЛХ е» х является взаимно однознач- ным.

Тот факт,что точка ЛХ имеет координату х, условимся обозначать так: М1х). Теорема 1. Пусть А(хг) и В(хг) — точки, лежащие на оси коор- д'инат. Тогда АВ = ~ха — хг ~. Д о к азат ел ь ство. Если начало координат О лежит на отрезке АВ, то АВ = АО+ ОВ = ~хг~ + (хг~ = йхг~ + ~хг~~, причем знаки чисел хг и хз разные.

Поэтому АВ = ~хг — хг ~. В противном случае АВ = ~ОА— — ОВ~ =! тг — ~ха~~ = ~хг — хг~, так как знаки чисел хг и хз совпадают. Теорема доказана. Теорем а 2. Пусть А(х1) и В(хг) — точкщ лежащие на оси коорди- нат, М1х) — сеРедина отРезка АВ. Тогда х = (хг + хг)/2. Доказательство. По условию теоремы АЛ| = ЛХВ, поэтому, со- гласно теореме 1, ~х — хг~ = ~хг — х(. Представляются возможными два случая. 1'. х — х, = хт — х, откуда х = (т,, + ха) /2. 2'. х — х1 = — хг + х, откуда х1 = хг и, следовательно, х = хг = хг = = (хг + хг) /2. Теорема доказана, ) Напомним, что единицу измерения отрезков мы договорились считать заданной. 3 с.н. к»донце» Гл 1. Векторы и координаты 2. Декартовы координатьг.

Условимся называть проскцисг1 точтлл ЛХ на ггрямую 1 основание перпендикуляра, проведенного из точки ЛХ к прямой 1. Определение 1. Координата проекции точка М на ось координат называстсл декартовой координатной точки М по этой оси. Таким образом, если О начало координат, то координата точки ЛХ равна ОМсов ~р, где р — угол между лучом ОЛХ и положительной полуосью оси координат.