С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра, страница 8

Из этого определения, в частности, следует, что если Л = О илн АВ = О, то точки А и С совпадают (см. 2'). Теорема. Пусть х —... (х,, ... ). Тогда Лх: — (Лхы ... ). Доказательство. Пусть А и  — начало и конец вектора х, С-- конец вектора у = Лх, х угол между прямой А В ') и положительной полуосью оси Ох, (О < ~р < к/2), А„В; и С, -- проекции точек А, В и С на ось Охи Имеем; А,С, = АСсоэ~р = )Л!АВсоэ~р = ~Л(А1Вы или )сг — а,) = = ~Л(~Ьг — а,(. Если (Ь, — вч) = О или Л = О, то(с; — а,) = О; если (Ь; — а,) ~0 и Л>0, то лучи АВ и АС, а значит и лучи А,Вг и А,С; совпадают, поэтому знаки чисел (Ь, — а,) и (с, — в,,) совпадают: если же (Ь, — а,) ф 0 и Л < О, то лучи АВ и АС, а значит и лучи А,В, и А,,Сг не совпадают, поэтому знаки чисел (Ь, — а,) и (с„— а,) разные.

Таким образом, во всех случаях (с, — а,) = Л(Ь, — а,), или у; = Лх„что и требовалось доказать. ') Если точки А н В совпадают, то справедливость утверждения теоремы очевидна. Скалярное произведение 6. Отождествление равных векторов. Полученные нами результаты примут существенно более законченный вид, если отождествить все равные друг другу векторы, т. е. принять следующее соглашение: будем считать, что равные векторы зто один и тот же вектор, по только отложенный от разных точек.

Предположим, что система координат фиксирована. Тогда каждый векгор а имеет вполне определенный набор координат (аы ... ); обратно, для любых чисел а„... существует ровно один вектор а с координатами (аг, ... ). Иными словами, соответствие а ~-э (а„... ) лвллетсл взаимно однозначным. Это позволяет, в частности, про вектор с координатами (аы ... ) говорить так: вектор (аы ... ). Таким образом, под словом «вектор можно понимать пе только паправлегтый отрезок, но и упорядоченный набор чисел — коордипатп этого вектора. Из теорем п.п. 4 и 5 следует, что векторы, рассматриваемые как упорядоченные наборы чисел, складываются и умножаются точно также, как элементы арифметического пространства. Поэтому сложение векторов и умножение вектора па число обладают всеми теми же свойствами, что и соответпшпвующие операции в арифметическом проппрмютве. По той же причине к векторам оказываются применимыми все определения и теоремы, связанные с линейными комбинациями и линейной зависимостью элементов арифметического пространства.

В частности, любой вектор (хы хз, хз) может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов е« = (1, О, О), еэ = (О, 1, О), ез = (О, О, 1), коэффициентами которой являются координаты этого вектора. Ясно, что векторы еы ез, ез — это единичные векторы, лежащие на осях Охы Охз и Охз. Как и прежде, будем называть их координатными векторами. 'й' 3. Скалярное произведение 1. Основные определения. Определение 1. Углом между двумя ненулевыми векслерами АВ и СТ1 называетсл угол между лучами АВ и СР; угол между пулевым и любым вектором считаетсл равным х/2. Таким образом, угол «з между любыми двумя векторами удовлетворяет неравенствам О < «з < .г.

Определение 2. Два вектора пазываютсл оргпогопальпыми, если угол между н1 ми равен я/2. Ортогонвльность векторов а и Ь условимся обозначать так: а ' Ь. Из определения, в частности, следует, что нулевой вектор ортогонален к любому вектору:ой Ь. Определение 3. Скалярным произведением двух векторов пазываетсл произведение их длин па косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов а и Ь условимся обозначать так: (аЬ). Из определения, в частности, следует,что )аа) = ~а~з. Те о рема.

а ' Ь тогда и только тогда., когда 1аЬ) = О. Гл 1. Векторы и координаты 4О Доказательство. 1'. Если а4Ь, то (аЬ) = )аОЬ)соз(к/2) = ~аОЬ)О = О. 2'. Если (аЬ) = О, т.е. (аОЪ|соз:р = О (р угол между а и Ь), талиба )а) = О, либо ~Ь) = О, либо соз»г = О. В каждом из этих случаев ~р = к/2. Теорема доказана. 2. Скалярное произведение в координатах. Теорема.

Если а = (аы ... ), Ь = (Ьы... ), то (аЬ) = 2" а;Ь;. Доказательство. Пусть ОА = а, ОВ = Ь. Применяя к треугольнику ОАВ теорему косинусов (она, очевидно, верна и для вырожденного треугольника), получаем: АВ = Ь вЂ” а~~ = ОАг -> О — 2ОА. ОВсов»г = = (а)~ + (Ь)~ -- 2~айЬ! совр = )а)~+ )Ь вЂ”. 2(аЬ), 2 2 откуда (аЬ) = — ((а)~ + )Ь|~ — ~Ь вЂ” а)~) = — 2,' [а~+ Ьг — (Ь; — а,) ~ г 1 — 2а,6, = 2 а;Ьо Теорема докззана. Следствие.

Косинус угла между ненулевыми векторами а = (аы ... ) и Ь = (Ьм... ) может быть вычислен по формуле 3 а м е ч а н и е. При доказательстве теоремы мы пользовались теоремой косинусов. Между тем, в некоторых учебниках по элементарной геометрии теорема косинусов выводится из свойств скалярного произведения. Тем самым, у обучавшимся но этим учебникам может возникнуть ощущение »порочного круга». В действительности никакого лпорочного круга» здесь нет — в большинстве учебников теорема косинусов доказывается без использования свойств скалярного произведения. 3. Свойства скалярного произведения. Теорема.

Г Длл любие векторов а и Ь выполнлетсл равенство (аЬ) = (Ьа); 2' длл любых векторов а, Ь и с еыполнястсл равенство ((а 4 Ь)с) = = (ас) + (Ьс); 3' длл любых векторов а и Ь и любого числа Л выпал летел равенство ((Ла)Ь) = Л(аЬ); 4' длл любого вектора а произведение (аа) ) О, причем (аа) = О гпогда и только тогда, когда а = о. Скалярное произведение Доказательство. 1'. Это следует непосредственно из определения скалярного произнедения; 2'. ((а+ Ь)с) = 2 (а, -ь 6,) с, = 2 а,сз+ 2 6зс, = (ас) + (Ьс); 3'. ((Ла)Ь) = 2 (Ла,) 6, = Л 2, а,6; = Л(аЬ); 4'. Это следует из того, что (аа) = /а!~. Теорема доказана.

Следствие. а, = (ае,). Для доказательства достаточно умножить равенство а = 2, а,е, ска( 1 при з=з, лярно на е; и учесть, что (е,ез ) = г( О ( О при зуду 4. Площадь параллелограмма. Условимся обозначать площадь параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, символом Я(а, Ь). Теорема 1.

В(а, Ь) = (а~з~Ь~з — (аЬ)з. Доказательство. Пусть зз — угол между векторами а н Ь. Имеем В(а,Ь) = (~аОЬ)з1пр) = )а)~/Ь|~(1 — сонг р) = )а (Ь!~ — (аЬ)г. Теорема доюззана. Теорема 2. Площадь параллелограмма, послпроенного на вектпорах а = (а,, аг) и Ь = (6м 6з), выражаетсл формулой В(а Ь) = 1 6' 6' ~ = ~зЛ(а Ь) ! Доказательство. Воспользуемся двумя свойствами определителей: а) определитель не меняется при транспонированни; б) определитель произведения магриц равен произведению их определителей. Имеем: зЛ(а, Ь) = 6 6 вз 6з/ (р а) ( Ь) — — /а/ /Ь' — (аЬ) = В(а, Ь) .

Теорема доказана. 5. Объем параллелепипеда. Рассмотрим вектор ез ез ез а, аз~ р(а,Ь) = аз аз вз = (ззззз Ь!з ззззз), где ззззз = !6' 6з 6з 6з 3 ' 3. Теорема 1. Вектор р(а, Ь) обладает следующими свойствами: 1'. р(а, Ь) 2 а, р(а, Ь) 2 Ь; 2'. ~р(а, Ь) ~ = В(а, Ь). Доказательство. 1'.

(ар(а, Ь)) = азазз — азлзз+азыг = зл(а, а, Ь) = О '), (Ьр(а, Ь)) 6зозз — 6з из + 6злю = зЛ(Ь, а, Ь) = О. ') Если в определителе две строки совпадаю г, то он равен нулю. Гл 1. Векторы и координаты 2'. Обратим внимание на то, что ь'.зз = — с1зч (в частности сзн = 0). Поэтому з з ~ р Ь,, ц ' = з,', -ь з,', ь з |, =,' ( г з) =,' ( г В ь, —, ь Ь) = ь,э=1 ьд=ь з з з = — (г,ь ь~,ь1 ьг' ьь)= ь,з=з ьд=ь за=1 = -', (~ г ~ ь~ + ~,' ~ ь,') — а,6,~~ а16, = ьа! !Ь! — (аЬ) = Я(а,Ь) . Теорема доказана. Условимся обозначать объем параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь и с, символом 1г(а, Ь, с).

Теорема 2. Объем параллелепипеда, построенного на векторах а = = (ам аг, аз), Ь = (6ы 6г 6з) и с = (си се, сз), выражается формулой оь аг оз Ъ"(а, Ь, с) = / 6ь 6г 6з ! = (йь(а, Ь, с)!. сь сг сз Д о к аз а т ел ь с т н о. Отложим векторы а, Ь и с от общего начала. 11римсм плоскость, содержащую векторы а и Ь, за плоскость основания параллелепипеда и обозначим буквой ььг угол между векторами р(а, Ь) и с. Имеем: Ъ'(а,Ь,с) = Я(а,Ь)ьс~)совф = )р(а,Ь)(~с~~совзг~ = ~(р(а,Ь)с) = ~сьагз — сголз+ сздгг~ = )с1(с,аьЬ)) = (йь(а, Ь,с)).

Теорема доказана. 'й'4. Базис 1. Коллинеарные векторы. Определение. Векпьоры называются колжинеарными, если при опькладывонии их от общего начааа они оказываются лежащими на одной прямой. Теорема 1. Двв ве тора коллинеарны тогда и только тогда, когда опи лщюйно зависимы. Доказательство. Рассмотрим векторы а и Ь с общим началом и введем в образованной ими плоскости систему координат. Вектора а и Ь коллинеарны тогда и только тогда, когда площадь построенного на них параллелограмма Я(аь Ь) = ~ ьл(аь Ь) ~ равна нулю т е тогда и только тогда, когда строки определителя сз(а, Ь) или, что то же самое, векторы а и Ь линейно зависимы.

Теорема доказана. Базис Следствие. Если два вектора нехоллинелрны, то они линейно независимы. Теорема 2. Если векторы а и Ь ко линеарны, причем вектор а ненулевой, ьпо существует такое число Л, чгпо Ь = Ла. Доказательство. Из условия теоремы следует, что ранг матрицы со строками а и Ь равен 1, причем строка а — базисная. Поэтому, согласно теореме о базисном миноре, строка Ь пропорциональна строке а, что и требовалось доказать.

2. Компланарные векторы. Определение. Векторы называются хомпллпарными, если при откладывании ос от общего ььачола опи оказываюпкя лезьсащ ми в одььой плоскости. Теорема 1. Три вектора ком ланарны тогда и только тогда, когда опи линейно зависимы.

Доказательство. Три вектора а, Ь и с компланарны тогда н только тогда, когда объем построенного на них параллелепипеда г'(а, Ь,с) = ~л1ь(а, Ь,с) равен нулю, т.е. тогда и только гогда, когда строки определителя сь(а, Ь, с) или, что то же самое, векторы а, Ь и с линейно зависимы. Теорема доказана. Следствие. Если три вектора ььеком ~аььарььы, то охи лшюйью псзавьлсимы.

Теорема 2. Если векторы а, Ь и с комплаььарны, а векторы а и Ь нехоллинеарны, то суи1ествуют такие числа Л и 1д, что с = Ла д рЬ. Доказательство. Из условия теоремы сльедует, что ранг матрицы со строками а, Ь и с равен 2, причем строки а и Ь вЂ” базисные. Поэтому, согласно теореме о базисном миноре, строка с равна линейной комбинации строк а и Ь. Теорема доказана. 3. Линейная зависимость четырех векторов. Теорема 1. Любые четыре векпьора линейно зависимы. Доказательство. Пусть аь Ь, с и с1 -- произвольные векторы.