С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра, страница 9

Составим матрицу А, строками которой являются координаты этих векторов. Ее ранг не превосходит количества ее столбцов, т. е. гапй А < 3. Поэтому сс строки или, что то же самое, векторы а, Ь, с и ь1 линейно зависимы. Теорема доказана. Теорема 2. Если векторы а, Ь и с некомпланарпы, то для любого вектора с1 существуют такие. числа Л, р и щ что ь1 = Ла+ рЬ -л- ис. Доказательство. Из условия теоремы следует, что ранг матрицы со строками а, Ь, с и ь1 равен 3, причем строки а, Ь и с базисные. Поэтому, согласно теореме о базисном миноре, строка ь1 равна линейной комбинации строк а, Ь н с.

Теорема доказана. 4. Базис. О п ре де ление 1. Говорило, что вектор ра лозкех по хаким-то вектора, если он представлен в виде их линейной комбинации. Определение 2. Упорядоченная совокупность векторов 1а,) называется базисом, если: !л 1. Векторы и координаты Г .зти векторы линейно независимы; 2' любой вектор можегп быть по ним разложен. Из теорем пп. 1-3 следует, что: 1' любой ненулевой есюпор образует базис па прлмой; 2' любые деа пехоллипеарпых вектора образуют базис па и осхости; 3' любые три пехомплапарпых вектора образуют базис е пространстве.

Теорема 1. Коэффициенты разложен я вектора по базису (т.е. числа, фигурирующие в этом разложении), определяются единственным образом. Доказательство. Допустим, что вектор 1э разложен по базису (аз) двумя способами: Ь = т2 Л,а, и Ь = т2" р,аз. Вычитая второе равенство из первого, получаем: о = 2 (Лз — д,) а, Поскольку векторы а, линейно независимы, то Лз = рз, при всех 1, Теорема доказана. Теорема 2. Векторы (а,) образуюпг базис тогда и только тогда, когда любой еектпор может быть единственным обрезом разлажен по ним. Доказательство.

Если векторы (а,) образуют базис, то любой вектор может быть разложен но ним, причем (согласно теореме 1) единственным образом. Обратно, если любой вектор может быть единственным образом разложен по векторам (а,), то они образуют базис, так как: 1' любой вектор может быть по ним разложен; 2' они линейно независимы, поскольку вектор о может быть представлен только в виде их тривиальной линейной комбинации. 5. Аффинные координаты. Аффиппая система координат определяется заданием произвольного базиса (а,) и точки О, называемой началом координат.

Пусть ОА, = а,. Лучи ОА, принимаются за положительные полуоси, а прямые ОА, называются ос ми аффипззой системы координат. Аффиппы и координатами вектора называются коэффициенты его разложения по базису (а,). Ясно, что каждому вектору соответствуег вполне определенный набор аффинных координат, и обратно — каждому набору аффинных координат соответствует ровно один вектор. Аффззппы и координатами точки ЛХ называются координаты вектора ОМ. В частности, если векторы а, — единичные н попарно ортогональные, то, умножая равенство ОМ = 2 Л,а, сквлярно на аи получаем: Л; = (ОМаз) = !ОМ()а;( сов~рз = ОМсовуи где уз, — угол между лучами ОЛХ и ОАо Таким образом, число Л, представляет собой в этом случае координату проекции точки М на ось ОА„т.е. з-ю декартову координату точки ЛХ.

Иными словами, декартова система координат яеляетсл частным случаем аффиппой. Глава 2 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ й 1. Преобразование координат на плоскости Ь Правые и левые пары. Пусть а и Ь вЂ” два неколлинеарных вектора с общим началом. Физики говорят лвк; упорядоченная пара веколлинеарных векторов а и Ь образуют правую (левую) пару, если кратчайший поворот от а к Ь осуществляется против (по) часовой стрелки(е). На интуитивном уровне эта фраза кажется содержательной — она отвечает нашим представлениям о плоскости. Однако с точки зрения геометрии она лишена смысла, поскольку в аксиомах и теоремах геометрии нет упоминания о каких-либо часовых стрелках.

Наша ближайшая задача состоит в том, чтобы придать указанным понятиям ясный геометрический смысл. Прежде всего, следует понять, что может и чего не может дать геометрия для решения нашей задачи. Судя по всему, интуитивно ясный факт существования правых и левых пар векторов свидетельсгвует о наличии какого-то геометрического критерия, позволяющего все упорядоченные пары неколлинеарных векторов разделить на два непересекающихся класса.

С другой стороны, ясно, что даже если указанное разделение на два класса удастся произвесги, то эти классы окажутся эквивалентными — нет и не может быть никакого геометрического признака, по которому один из них можно было бы выделить и назвать классом правых пар.

В самом деле, если посмотреть на плоскость с противоположной стороны, то все аксиомы, а значит, и теоремы, сохранятся, но на направление «по часовой стрелке» изменится на противоположное. Поз гому не остается ничего другого, кроме как декларативно объявить один из классов классом правых пар. Сказанное позволяет сделать первый шаг в решении стоящей перед нами задачи. Определение Ь Плоскость называетсл ориенгаировапной, если па ней задана система координат, которую называют исход»юй. На ориентированной плоскости естественным образом возникает упорядоченная пара неколлинеарных векторов еы ез — координатных векторов исходной системы координат.

Эту пару естественно принять за эталон ориентации. Следующий шаг состоит в нахождении критерия, позволяющего любую упорядоченную пару неколлинеарных векторов отнести к одному из двух классов. Чтобы это сделать, нужно понять, какими свойствами должен обладать эгот критерий. Вернемся к интуитивным представлениям.

Ясно, что если пара а, Ь вЂ” правая, то пара а, ( — Ь), равно как и Ь, а, должна быть левой. Вспоминая свойства определителя, мы можем теперь сформулировать такое определение. Гл 2. Преобразование координат О п ре де лен и е 2. Упорядоченная пара неколлинеарных векторов а, Ь н зывается правой (левой), если в исходной системе координат гл(а, Ь) > >0(<0). Ясно, что согласно этому определению любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов оказывается либо правой, либо левой, причем пара е1, ег -- правая. Наконец, сформулируем еще одно определение.

Определение 3. 11роизвольнав декартова система координат на ориентироеанпой плоскости называется правой (левой), если сс каордиттатаиые векторы образуют ттраеую (левую) пару. Таким образом, исходная система координат правая. 2. Собственные и несобственные преобразования. Рассмотрим теперь две декартовых системы координат: Охгхг и Охгхг. Первую из них будем называть старой, а вторую — новой. Разложим каждый из координатных векторов новой системы координат по координатным векторам старой: ег = аыег + аггег ) е2 — а21е1 + а22е2 где а; = (егез). Поскольку ~ег~ = ~ег~ = 1 и (егег) = О,то аи+агг=1 г аг, + агг —— ! 2 2 аыагг+ аггагг = 0 Так как ~ег ~ = ег' = 1, то а11 — — (егег) = сов а, где о — угол между векторами е1 и ег (О < а < к).

Положим иг = а, если атг > О, или 1р = = 2к — а в противоположном случае. В результате получим: а,т — — соз гг, атг = зги Р. Аналогично, из втоРого Равенства нахоДим; агг = сов О, агг = = в!и О. Подставляя эти значения в третье равенство, получаем; в1п(гг+О) = = О, откуда гг + 0 = 1гк, илн 0 = йк — Эг, а значит, агг = — в1п р . сов 1гх, агг = соз р . сов 1ск. Возможны два случая. 1'. Число 1 — четное, и, слеДовательно, агг = — зш1Р, аг = сов Эг, а„атг СОЗЭг эгвгг агт агг — тйпгг сов гг В этом случае переход от старой системы координат к новой называется собственным преобразованием. В частности, в соответствии с на1инм определением, переход от исходной системы координат к правой осуществляется при помощи собственного преобразования. 2'. 1исло й нечетное, и.

следовательно, агг = вш р, агг = — сов ~р, а11 атг ~сов1р згпгг й1ег,ег) = аы агг ,'21П1Р— Сезгг;' Преобразование координат на плоскости В этом случае переход от сзарой системы координат к новой называется несобственным преобраэооанием. В частности, переход от исходной системы координат к левой осуществляется при помощи несобственного преобразования. Собственное преобразование называют также поворотом.

Ясно, что несобственное преобразование может рассматривагься как резулщат последовательного выполнения поворота и симметрии относительно оси Охл. Замечание. То, что ~Ь1ег,ег) ~ = 1, было ясно и без вычислений— эзв величина предсшвляет собой площадь параллелограмма, построенного на векторах е1, ег, т. е. площадь единичного квадрата. 3. Преобразование координат вектора. Пусть а — произвольный вектор. Имеем: а = агег + агег = аге1 + агег. Умножая это равенство сквлярно сначала на вектор е1, а затем на вектор ег,получаем: а1 = а11а1 + а12а2 1 112 а21а1 + агга2,1 Таким образом, при собственном преобразовании координаты вектора а преобразуются по формулам а1 = агсоя р + агвш р ) аг = — аля1п р + агсоя р ) а при несобственном — по формулам а1 = агсояр+ агв1п р ) аг = агяш р — агсоя р ) Отметим, что расположение начала новой снсгелгы координат относительно старой в этих формулах роли не играет.

4. Правые системы координат. Т е о р е м а. Длл любых векторов а и Ь величина г.'11а, Ь) одна и та хсе во всех правых системах координат. Доказательство. Пусть Охгхг исходная система координат, а Охлхг — любая правая. Имеем: аг аг~ (агсовртагсйпр) 1 — а1вшр+аг совр) Ь, Ьг, '(агсовртогейпр) ( — о1вшр-~агсовр) ог ог 'совр — сдпр аг аг Ь Ь (вшр совр Ь Ьг Теорема доказана.