С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра, страница 10

!'л 2. Преобразование координат Следствие 1. Длл определения ориентации пары векторов можно пользоваться не только исх пой но и любой правой системой коордигшгп. Иными словами, с этой точки зрения все правые системы координат равноправны. Следствие 2. Переход от одной правой системы коорди~агл к другой осущсствллетгл при помощи собственного преобразован« и (поворогпа). Чтобы привести наши построения в полное соответствие с наглядными представлениями, осталось сделать последний шаг принять соглашение о правиле изображения правой пары векторов на рисунках. Соглашение. Исходная система координат изображается на рисунках так, что кРатчайший повоРот от ег к ея т.е.

повоРот на Угол кгг2, осуществляется против часовой стрелки. Из этого следует, что и любая правая система координат изображается по тому же правилу. В самом деле, ег = (1,0) = (сояО,яп0), ея = (0,1) = (соя(0 + кгг2),я1п(0 + хгг2)), ег = (соя р,я1п Э«), ев = ( — я1п|р,сезар) = (соя(~р + кГг2),яп(гр + к,г2)), поэтому поворот от е, к ез на Угол к,г2 осУществлЯетсЯ в том же напРавлении, что и от ег к еэ. Наконец, то же правило изображения распространяется и на любую правую пару векторов а и Ь. Действительно, выбирая правую систему координаг Охгхз так, чтобы вектор а имел координаты (а,0), а > О, а 0 из условия,, найдем: бв ) О. Это означает, что при откладывании ьг б2 вектора Ь от точки О он оказывается лежащим по ту же сторону от оси Охы что н положительная полуось оси Охя Поэтому кратчайший поворот от а к Ь осуществляется также против часовой стрелки. В дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат на плоскости.

5. Преобразование координат точки. Пусть, как и прсждс, Охгхз— старая система координат, Охгхз — новая. Выразим «новые» координаты произвольной точки М через ее «сгарые» координаты. Для этого заметим, что «новые» координаты точки М вЂ” это координаты вектора ОМ в новой системе координат.

Найдем сначала координаты этого вектора в старой системе координат, а затем воспользуемся результатом п. 3. Имеем: ОМ = ОО+ ОМ = — ОО+ ОМ = (тг — ог,тя — оя) . Следовательно, тг — — (тг — вг) соя р + (гпя — оз) яп р тв = — (тг — ог ) яп р + (тя — оя) соя гр (напомним, что мы договорились рассматривать только правые системы координат). Таким образом, переход от старой системы координат к новой осуществляется при помощи параллельного переноса на вектор ОО и поворота на угол гр вокруг точки О.

Преобразование координат в простпрвнстве й 2. Преобразование координат в пространстве 1. Преобразование координат вектора. Определение 1. Пространство называется ориентттрованным, если в нем задана систпема координат, которуто называют исходной. Определение 2. Упорядоченп я тройки пекомпланарных вектороо а, Ь, с называется правой (левот1), если в исходной системе коордиттат тз(а, Ь,с) > О (< О). Определение 3. Произвольная система координат в ориентированном пространстве называется правой (левой), если ее координатные векторы образуют правую (левую) тройку.

Таким образом, поскольку зз(е„ез, ез) = 1 > О, то исходная система координат правая. Рассмотрим теперь две системы координат: Охтхзхз и Охтхзхз. Первую из них будем называть старой, а вторую — новой. Разложим каждый из координатных векторов новой системы координат по координатным векторам старой: е, = ~~т амтез, где а; = (е,е ) — координаты векгора е, в старой система координат. Определигель матрицы А с точностью до знака равен обьему параллелепипеда, построенного на векторах ет,ез,ез, т.е. 1 — объему единичного куба. Если 41ес А = 1, преобразование называется собственным, а если 41еС А = — 1, то несобственнылт. В частности, переход от исходной системы координат к правой осуществляется при помощи собственного преобразования, а к левой — при помощи несобственного преобразования.

Пусть а — произвольный вектор. Имеем: з з а = ~ аьеь = 'т а,е,. Умножая это равенство скалярно на вектор е„получаем: 3 а,= ~ аз,а, Отметим, что расположение начала новой системы координат относительно старой в полученных формулах роли не играет. Теорема. Для любых векторов а, Ь и с величина Ат(а,Ь,с) одна и та хсе во всех правых системах координат.

Доказательство. Пусть Охтхзхз — исходная система координат, а Охтхзхз — любая правая. Пользуясь свойствами произведения матриц, 4 С.Ь Кадотвтев Гл 2. Преобразование координат 50 получаем: 2 аг,а, 2 аг,а, 2 аз,а, 2 61 Ь з Ьг 6 2 Ьз 6 С1 С ~ Сг С ~ СЗ С а1 аг аз Ь(а,Ь,с) = Ь, Ь, Ь, С1 Сг СЗ аг аг аз а11 агз азг а1 аг аз 61 Ьг Ьз ~ 612 Ьгг Ьзг = Ь1 Ьг Ьз = й (а, Ь, с) . С1 С2 СЗ С12 С23 СЗЗ С1 С2 СЗ Теорема доказана. Следствие 1.

Для определенг л ориентации тройки векторов мозес- но пользоватьсл не только исходной, но и любой правой системой оординат. Иными словами, с этой точки зрения все правые системы координат равноправны. Следствие 2. Переходот одной правойсистемы координат к другой осущестоллетел при тгомощи собственного преобразооанил. В дальнейшем условг мел рассматривать только правые системы координат.

1 0 0 ~ соз1р яп1р 0 соз1р 0 япу 0 сазу яп1р = ~ 0 1 0 = — яп1р соз1р 0 = 1. 0 — япу сову ~ — япу 0 сазу 0 0 1 ПУсть Охгхгхз и Охгхгхз — Две пРавые системы кооРдинат с общим началом. Поступим так. 1'. Поворотом в плоскости Охгхг на угол сг перейдем к сисгеме Охгхгхз в которои ось Ох', лсжит В плоскости Охгхг. Для этого достаточно взять в качестве оси Ох' линию пересечения плоскостей Охгхг и Охгхг (или положить а = О, если эти плоскости совпадают). 2'. Поворотом в плоскости ОХ12хз на угол 3 перейдем к системе Охгхг хе, т.

е. совместим оси Охз и Охз. Это возможно, поскольку каждая из этих осей перпендикулярна к оси Ох'1. з'. Наконец, поворотом в плоскости Охгх!2 на угол 1 перейдем к системе Охгхгхз. Это можно представить себе так. Совместим оси Ох', и Охг, что возможно, поскольку каждая из них перпендикулярна к оси Охз. При этом положительная полуось оси Ох12 совместится либо с положительной полуосью оси Охг, либо с ее продолжением. Но все выполненные нами 2. Углы Эйлера. На первый взгляд может показаться, что формулы (1) содержат 9 пронзнольных параметров — элементов матрицы А. На самом деле, как мы сейчас увидим, их не 9, и не 8 (с1СЬ А = 1), а всего 3.

Точнее, оказывается, что любые две правые системы координат с общим началом можно совместить друг с другом, выполняя последовательно три поворота в координатных плоскостях 1т.е. вокруг осей координат). Отметим, что каждый из таких поворгггов являегся собственным преобразованием: Векторное произведение преобразования — собственные, поэтому все рассмотренные системы координат — правые.

Значит, ишюжительная полуось осн Охиз совместится с положительной полуосью оси Охз. Углы оп )» и у называются углами Эйлера. Ясно, что через них можно выразить все коэффициенты ао в формулах (1). Соглашение. Исходная система координат изображается на рисунках так, что если смотреть с положительной стороны оси Оз, то кратчайший поворот от ез к ез, т. е. поворот на угол к/2, осуществляется против часовой стрелки. Из этого следует, что и любая правая система координат изображается по тому же правилу, поскольку это правило не меняется ири поворотах на углы Эйлера. Наконец, то же правило изображения распространяется и на любую правую тройку векторов а, Ь и с.

Действительно, выберем правую систему координат так, чтобы векторы а и Ь имели координаты 1а, О, 0), а > О, Ь = = 1Ьы Ьз, 0), Ьз > О, '! огда если смотРеть с положительной стоРоны оси Оз, то кратчайший поворот от а к Ъ осуществляется против часовой стрелки. а 0 О С другой стороны, из условия Ь, Ьз 0 > 0 найдем: сз > О. Это означает, сз сг сз что угол между вектором с и ишюжительной полуосью оси О= — острый, т.е. вектор с направлен в то же полупространство,что и эта полуось. 3. Преобразование координат точки.

Пусть, как и прежде, Ох1хзхз — старая система координат, Ох1хзхз— новая, О )оы оз, оз). Выразим «новые» координаты произвольной точки М через ее «старые» координаты. Для этого заметим, что «новые» координаты точки М это координаты воктора ОМ в новой системе координат. Найдем сначала координаты этого вектора в старой системе координат, а затем воспользуемся формулами (1) и.1. Имеем; ОМ = ОО+ ОМ = — ОО+ ОМ = 1«тз — оы тз — оз, тз — оз) Следовательно, т, = гз а««(т« — о«). Таким образом, переход от старой системы координат к новой осугцествляется при помощи параллельного переноса на вектор ОО и трех поворотов на углы Эйлера вокруг точки О.