С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра, страница 5

В самом деле, пусть, например, А = ~1 О), В 1'1 ОЛ (О '1). Т да АВ = ((<1:О+О'О) ((1'1+О'3 = (О '1), а ВА = =()( ' ) )~ ' ~ ~' ))=( ),т.с.АВИВА. Теорема. Умножение матриц (при условии, что оно определено) обладает следующими свойствами: 1' А(ВС) = (АВ)С; 2' А(В+ С) = АВ+ АС; 3' (А+ В)С = АС+ ВС; 4' Л(АВ) = (ЛА)В = А(ЛВ), где Л л)обое число. Доказательство. 1'.

(А(ВС)),, = 2 а„(ВС)В = 2 аА„ЬВ ср. = 2 (Ав), ср. = = ((АВ) С)ир 2'. (А(В+ С))и — — 2 а;, (ЬВ + с, ) = 2 а„ЬВ + 2 а;,св = (АВ+ АС),, 3'. ((А+ В) С),. = ~ (а;, + Ьы) сеу = ~ аыс,г + ~ Ь,,свг = = (Ас+ вс)в. 4'. (Л(АВ)),. = Л2,'а„Ь,, = 2т,'(Ла„) Ь,у = ((ЛА) В), = 2„а), (ЛЬ,В) = (А (ЛВ))и, Теорема доказана. 2.

Определитель произведения квадратных матриц. Обратимся теперь к квадратным матрицам. Теорема. с1е1(АВ) = с1е1АдесВ. Доказательство. Пусть С = АВ. Имеем: А 1)АВ) = А 1С=А),, „, „) =А(г „,~„„,,) = 1(2 „„Ь„,,г„„,,„)=А(2 „,Ь„,,,..., „)= 11 Р1 Р1 — а1Р12А (1зр11сз 1сп)— агр, азр,... а„р„гЛ (Ьр,, Ьр,1 ..., Ьр„). Р1 Р — Р Произведение матриц 23 В этой сумме отличными от нуля будут лишь те слагаемые, в которых все Ь„, попарно различны, т. е. числа р, образуют нересчановку из п чисел. Поэтому, с учетом формулы (1) п.1 ЗЗ, полученное выражение можно переписать так: с1ес(АВ) = ~~~ апиагз,...а„з„йс(ЬвыЬ .„...,Ь„„) = ( — 1) ас, аг„,... а„„гг (Ьы Ьг, ..., Ь„) = а = де1В~ ( — 1) аычагз,...а„з„= с1е1Вс1ейА. Теорема доказана.

Замечание. Подчеркнем особо, что равенства с1е1(А+ В) = с1есА+с1есВ, с1ес(ЛА) = Лс1есА могут выполняться лишь в отдельных (крайне редких) случаях. 3. Свойства произведения квадратных матриц. Произведение квадратных матриц обладает еще двумя важными свойствами. Теорема. При любом и: 1' существует такал (и х п)-матрица Е, что длл любой (п х и)- матрицы А имеют место равепстоа АЕ = ЕА = А; 2' длл всякой (и х и)-лсатрицы А с определителем, отличным вт в, существует такая матрица А ', что АА ' = А 'А = Е.

Доказательство. 1'. Рассмотрим (и х и)-матрицу Е 01-"0 т.е. матрицу, элемент е, которой равен 1 при г = з' и 0 при г ф уц Пусть А — произвольная (и х и)-матрица. Имеем: (АЕ)с = 2 а,,е, з В этой сумме все слагаемые, кроме одного (при в = д), равны нулю; единственное отличное от нуля слагаемое равно айез = а; 1 = а, . Но это и означает, что АЕ = А. Аналогично доказывается, что ЕА = А. 2'. Пусть А — произвольная (и х и)-матрица с определителем, отличным от нуля. Рассмотрим матрицу В, элементами которой являются числа А„ ЬП = — ' — ', где А, алгебраическое дополнение элемента а, ') .

Имеем: с1ес А' ') Обратим внимание на то, что элемент би выражается через Азо а не через А„! !л 1. Матрицьс и определители 1 сСАВ)сд = ~~с ас,Ь81 = ~~с а„А д —— с1ес А 1 ) с1е1А, с=з /1, с1есА) О, ст-3 ) О, Аналогично доказывается, что (ВА)су = (Е), . Тем самым, В = А Теорема доказана. Замечание 1. Нетрудно видеть, что матрица Е определяется единственным образом: если существует такая матрица Е„что для любой матрицы А выполняется равенство АЕс = А, то Е, = ЕЕ, = Е.

Матрица А ~ также определяется единственным образом: если существует такая матрица А ', что АА ~ = Е, то А сАА ~ = ЕА, ~ = А ' = А 'Е = = А ~. Матрица Е называется единичной, а матрица А ~ — обратной по оптошению к матрице А. Замечание 2. В доказанной теореме содержится условие с1есА ~ О. Возникает вопрос: а что будет, если это условие нарушено, т.е. с1ес А = Π— существует ли в этом случае матрица А с? Ответ оказывается отрицательным.

В самом деле, из равенства АА с = Е следует, что с1ес Ас1е1А с = с1е1 Е = 1. Поэтому предположение о томс что с?е1 А = = О, приводит к противоречию. 8 5. Базисный минор 1. Теорема о базисном миноре. Рассмотрим произвольную (т х и)- матрицу А. Определение 1. Минором матрицы А, поспсроенным на строках с номерами ?с,?г, ...,?ь и столбцах с номерами до да, ..., ?ы зывается определитель, элементами которого являются элементы матрицы А, располоэссессные на пересечении указанных строк и столбцов.

Определение 2. Минор ЛХ произвольной мапсрии,ы называется ба- эссена если он отличен от ну я, а любой минор на единицу большего порядка, включающий в себя ЛХ, равен нулю (ссли таакого минора не существует); строки и спюлбцы, на которых посгнроен базисный минор, называютгя б зисы ми.

Теорема(о базисном миноре). Базисные строки (столбцы) линейно независимы; любая строка 1сстолбец) представляет собой линейную комбинацию базисных. Доказательство. Доказательство теоремы проведем для сгрок-- для столбцов она доказывается аналогично. Допустим,что базисные строки линейно зависимы. Тогда одну из ннх можно представить в виде линейной комбинации остальных и, следовательно, базисный минор равен нулю. Полученное противоречие доказывает первую часть утверждения теоремы.

25 Базисный минор Осталось доказать, что любая строка равна линейной комбинации базисных строк. Ьез ограничения общности будем считать, что базисный минор ЛХ расположен в левом верхнем углу матрицы (в противном случае строки и столбцы можно соответствующим образом переставить), 1с — его порядок. Добавим к нему 1-ю строку и у-й столбец: ач~ ...

ачь ач,~ аы,. аьь ам~ а,ч ...а,ь ап~ Полученный определитель равен нулю. В самом деле, если ч < к или у < к, то в нем две одинаковые строки или два одинаковых столбца; если же 1 > Й и у > Й, то он является минором (Й+ 1)-го порядка, включающим в себя ЛХ., а значит, равен нулю по условию теоремы. Разложим этог определитель по последнему столбцу: аг Ач, +... + аьгАьг + аОМ = О. Заметим теперь, что числа Ач, ...,Аь и М не зависят от у (число ЛХ не зависит также и от 1). Учитывая, что ЛХ ф- О, положим Лч = — Ачз /ЛХ, ..., Ль = — Ал /ЛХ.

Тогда последнее равенство можно будет переписать так: а,. = Л,ачу + Лчачу +... + Льащ. Но это н означает, что ч-я строка, выбранная произвольно, равна линейной комбинации базисных строк. Теорема доказана. Следствие. Если минор ЛХ базисный, то любой минор па единицу большего порядка (если такой есть) равен нулю.

Действительно, рассмотрим произвольный минор чч'(1с+ 1)-го порядка. По теореме о базисном миноре любая его строка п, равна линейной комбиь нации строк, на которых построен минор М; п, = 2, Л,,а,. Поэтому о=1 Лг = 21(п„пз, ..., пьег) = = 21(~ Лч„аты ~ ~Лг„а„,..., ~' Льтчог,,,а„) = Лча,... Ланча„,21 (авиа„...

агг,) . м» пч-1 Но каждый из определителей Х1(ам,а„,...,а„,) равен нулю, поскольку из (к+ 1) его строк различных не более 1с. Следовательно, минор Х равен нулю. 2. Ранг матрицы. Оп рс деление. Рангом матрицы пазыеаегасл гюибольшее число се линейно пезаеис мыл строк. Гл 1. Матрицы и определители 26 Ранг матрицы А обозначается так: ганя А. Теорема. Ранг матрицы равен порядку ее бизиспого минора г) . Доказательство. Пусть й — порядок базисного минора матрицы А. Базисные строки линейно независимы, поэтому гани А ) к..

Допустим, что гани А ) й и, следовательно, среди строк матрицы А найдется (1е+ 1) линейно независимых. Составим из них матрицу. Порядок базисного минора этой матрицы не превосходит к, поскольку любой ее минор является одновременно и минором матрицы А. Поэтому не все ее строки базисные, а значит, одна из них равна линейной комбинации остальных. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы. 3 а м е ч а н и е. Аналогично доказывается, что наибольшее число линейно независимых столбцов матрицы равно порядку ее базисного минора. Тем самым, наиболыиее число линейно независимы е строк равно пиибольшему числу линейно независимых столбцов и равно порядку базисного минора. Это число и называется рангом матрицы.

Следствие. Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки линейно зависи ы. В самом деле, если строки определителя линейно зависимы, то одна из них равна линейной комбинации остальных, а значит, определитель равен нулю. Обратно, если определитель (и х и)-матрицы А равен нулю, то гани А ( и, а значит, ее строки линейно зависимы.

') Если матрица состоит из одних нулей, то, согласно определению, базисного минора у нее нет. Условимся считать, что порядок базисного минора в этом случае равен нулю. Глава 2 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ й 1. Существование и единственность решения 1. Основные определения. Рассмотрим систему гп линейных уравнеНнй С П НЕИЗВЕСТНЫМИ Хг, Хг, ..., Хп: а11хг+ аггхг+... + а,пхп = Ь1 ам хг + аггхг +... + аг„х„= Ьг ат1Х1 + ат2Х2 + + Ггт Х ~ — Ьпг Здесь предполагается, что ае (ноэ4фициенты системы) и Ь, — известные числа 1вещественные или комплексные). Решением системы (1) называется любой набор чисел (х1, тг, ..., хп), обращающий все уравнения (1) в тождества.

Два решения (хг, хг, ..., хп) и (уг, уг, ..., уп) считаются различнымщ если хг ф у, хотя бы при одном значении г. Система (1) называется однородной, если все 61 = О; в противном случае (если хотя бы одно число Ь, отлично от нуля) эта система называется неоднородной. При этом система аыхг + аггхг +... + агпхп = О а212.1 + аггхг +... + агптп = О ап 1Х1 + агпгхг + + а~ппхп — О называется однородной системой, соответствующей системе (1). Введем еще два термина. Матрицу ап аю ... аг„ А а21 а22 ° ° а2 условимся называть основной магарицей, а матрицу а аы а,г ... а,„ 61 агг агг ...

аг 62 — расширенной матрицей системы 11). Гл 2. Системы линейных уравнений Заметим, что формулы (1) и (2) можно записать значительно компактнее, если воспользоваться определением произведения матриц: Ах = Ь, Ах = о, (2) где А — основная матрица системы (1). Такую запись систем (1) и (2) мы будем для краткости называть матричной. 2. Существование решении. Теорема(Кронсксра — Капелли). Решение системы (1) существует тогда и только тогда, когда тапи А = гапк В (ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы). Доказательство. Решение системы (1) существует тогда и тхлько тогда, когда последний столбец матрицы В равен линейной комбинации (с коэффициентами хы хз, ..., х„) столбцов матрицы А, т. е.

тогда и только тогда, когда в матрице В линейно независимых столбцов столько же, сколько в А. Но это и означает, что ганя А = гапк В, '1'еорема доказана. 3. Однородные системы. Обратимся к однородной системе (2). Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что она всегда имеет решение. Впрочем, это ясно и эвк: у нее всегда есть решение х~ = хг =... = х„= 0— оно называется тривиальным. Любое другое решение системы (2) (для которого хотя бы одно х, отлично от нуля) называется нетривиальным. Те о р е м а.