С.Б. Кадомцев - Аналитическая геометрия и линейная алгебра, страница 3

При и = 3 справедливость утверждения усматривается непосредственно из формулы (2), поскольку в каждом из трех определителей второго порядка меняются местами две строки н, следовательно, в каждом слагаемом меняется знак. Если же теорема верна при и = й — 1 ) 3, то она верна и при и = й, 1., г > 1. В самом деле, при перестановке строк с номерами 1 и у у каждого нз определителей Ь, (й — 1)-го порядка в формуле (3) две строки меняются местами, а значит, по предположению индукции, перед всеми слагаемыми в этой формуле изменяется знак, что и требовалось доказать. 2'. Применим формулу (3) к определителю йг(ам аз, ..., а„), а затем — к каждому из определителей Ь,. В результате получим алгебраическую сумму определителей Ьрз (р < д), полученных из исходного вычеркиванием первых двух строк и столбцов с номерами р, о, с некоторыми коэффициентами.

При этом слагаемых с Ьрч будет два; одно получится в результате вычеркивания первой сроки и р-го столбца, второй строки и о-го столбца Гл 1. Матрицы и определители а другое — в резулыате вычеркивания первой сроки и д-го столбца, второй строки и р-го столбца: агг агг а ... але ... !г„, ( — 1)г ' д (аграгд — аградд), Коэффициент при длрд в определителе гл(аг, аг, ..., а„) можно найти, поменяв в полученном выражении индексы 1 и 2 местами: ( — 1)!' д (аграгд — аграгд). Найденные выражения равны по модулю и противоположны по знаку, что и доказывает справедливость у гверждения. 3'. Согласно ранее доказанному, имеем: Ь(аг,аг,,а, ...) = — гь(аг,аг, ...,а, ) = = Ь(аг, а, ...,аг, ...) = — Ь(а!чад, ...,аг, ...). Теорема доказана. 3. Разложение определителя по строке.

Определение. Определитель Ьдэ, получаемьгй иэ д1е! А вычеркиванием !'-й строки и д-зо столбца, называется минором, дополнительным к элементу а, . Теорема. Справедлива следующая формула, называемая формулой риложения определителя по д-вй строке; а,! аю .. а!„) аг! агг ° ° аг ~ ь г 1 !!.~.э ) ! — ) а; а„! а„г ... а„! э=! (4) где Ь, — минор, дополнительный к элементу а, .

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции, При ! = 1 формула (4) верна, поскольку совпадает с формулой (3). Допустим, что она верна для строки с номером 1 — 1 (д ( и) и докажем, что тогда она верна и для строки с номером !. Поменяем местами г-ю и (! — Ц-ю строки (при этом у определителя изменится знак) и, в соответствии с предположением индукции, разложим полученный определитель Коэффициент при Ь в первом слагаемом будет равен ( — 1) рт! агр( — 1)дагд, поскольку после вычеркивания р-го столбца в-й столбец окажется на в — 1-м месте. Коэффициент при Ьрд во втором слагаемом будет равен ( — 1) а! ( — 1) агр, поскольку посте вычеркивания а-го столбца д-!-! р-!-! р-й столбец останется на р-м месте.

Таким образом, при гард окажется коэффициент Определители по строке с номером г — 1: с1ес А = г1(аы ..., а, ы а„..., а„) = — г1(аы ..., а„а, ы ..., а„) = п и — ( — 1)' гэ айги, = ~~ ( — 1)'ь~ а;.гхг 1=1 э=1 Теорема доказана. 4. Основные свойства определителя. Сформулируем несколько свойств определителя, вытекающих из установленных нами фактов. 1'. Если все элементы какой-нибудь строки умножить на одно и то же число, то весь определитель умножится на это число.

В самом деле, если разложить определитель по указанной строке, то в формуле (4) перед каждым слагаемым появится общий множитель. После вынесения его за скобки в скобках останется исходный определитель, что и требовалось доказать. 2'. Если к строке определителя прибавигль какую-нибудь строку Ь = (бы дз, ..., 6 ), то его моэкно будегп представить в виде суммы двух определителей: исходного и определителя, в котором указанная строки заменена на прибавлсяиую; г1(аг + Ь, аз, ..., а„) = г1(аы аз, ..., а„) + + Ь(Ь,аз, ...,а„), Ь(ам аз + Ь, ...,а„) = Ь(аыаг, ...,а„) + + Ь(аг,Ь, ...,а„), ...,Ь(аыаз,,а„, ч Ь) = Ь(аг,аг, .,а ) р + Ь(аы аз, ..., Ь). В самом деле, Ь(аг..., а, + Ь, ..., а„) = ~ ( — 1)'+э (а, + Ьу) Ь,у = 1=1 ( — 1)~~а., Ьу+ у ( — 1)в~у й, = Ь(аы ...,а„...,а„) + Ь(аы ..., Ь, ...,а„), что и требовалось доказать.

3'. Если в определителе две сгароки одинаковые, то он равен нулю. Действительно, если указанные строки поменять местами, то определитель, с одной стороны, не изменится, в с другой у него изменится знак. Это возможно лишь в том случае, когда он равен нулю. 4'. Определитель г)(емег, ..., е„), т.

с. определитель 10...0 01...0 00 ... 1 ровен единице. Для и. = 1 зто утверждение очевидно; если же оио доказано для и = = Й вЂ” 1, то при и = Й, раскладывая данный определитель по первой строке, получим: Ь(ег ез ..., е„): 1 ' 1: 1. !л 1. Матрицы и определители Замечание. Свойства 1', 2', 3', 4' иногда называют основными свойствами определителя, поскольку из них может быть выведена формула (3), и, следовательно, они могут быть положены в основу аксиоматического определения определителя. Следствие 1. Если в определителе две строки пропорциональны (т. с, а, = Ла и ! у'= у), в частносгпи одна из строк состоит из нулей (случай Л = О), гао оп равен нулю.

В самом деле, если, пользуясь свойством Г, вынести общий множитель, то получится, что две строки в определителе совпадают и, следовательно, он равен нулю. Следствие 2. Если одна из строк равна линейной комбинации остальн х, то определитель равен нулю. Согласно свойству 2', такой определитель можно представить в виде суммы определителей, в каждом из которых две строки пропорциональны.

Следствие 3. Если к какой-нибудь строке определителл прибавить линейную комбинацию остальных строк то определитель не измспитсл. Действи гельно,. согласно свойству 2' он может быть представлен в виде суммы двух определителей: исходного и определителя, в котором одна из строк равна линейной комбинации остальных. В 3. Равноправность строк и столбцов определителя 1. Перестановки. Для дальнейшего изучения свойств определителя нам понадобится формула, позволяющая вычислить определитель и-го порядка непосредственно через его элементы.

Вывод этой формулы потребует от нас использования некоторых дополнительных фактов, к обсуждению которых мы и переходим. Определение 1. Упорлдоченнал совокупность о. = (оь о.з, ..., о„) а попарно различных натуральных чисел, нс превосходящих и, называетсл персстаповкой из и чисел. Так, совокупность чисел (2, 4, 1, 5, 3) является перестановкой из пяти чисел. Совокупность же (1, 3, 4, 1, 5), равно как совокупность (1, 4, 8, 2, 3), перестановкой не являегся. Теорема 1. Количестворазличпых перестановок из и чисел раопоп!. Доказательство. Рассмотрим перестановку о = (оь от ...,о„). В качестве о~ может быть взято любое натуральное число от ! до и.

Поэтому для выбора о з представляется и возможностей. Если число ог уже выбрано, то для выбора числа оз остается (и — 1) возможность — числом о э может быть любое натуральное число от 1 до и, кроме числа о,. Таким образом, для выбора чисел оз и аз представляется п(п — 1) возможностей. Продолжая рассуждать аналогично, мы придем в конце концов к выводу, что всего возможностей п(п — 1)(п — 2) ... 1 = и!, что и требовалось доказать. Определение 2. Говорят, что пара чисел ам и в перестановке о = = (оп аз, ..., о„) образует беспорядок, если о; ) аз а ! ( у (т.е.

большее число стоит раньше). Равнопрввноеть строк и столбцов определителя 17 Например, перестановка (1, 2, 3, 4, 5) не содержит беспорядков, а в перестановке (1г 3, 2, 5, 4) их два: во-первых, число 3 стоит раньше, чем 2, во-вторых, число 5 стоит раньше числа 4. Теорема 2. Если два число в перестановке поменягпь местами, то количество беспорядков в ней ивлееггигпся на некоторое печегпное число. Доказательство.

Воспользуемся методом математической индукции. Поменяем в перестановке о числа о,и огьь мессами. Рассмотрим сначала случай д = 1 + 1. Если прежде числа о, и о,эг не образовывали беспорядка, то теперь они будут его образовывать; если же они образовывали беспорядок, то теперь они перестанут его образовывать. При этом все прочие беспорядки, очевидно, сохранятся.

Таким образом, общее количество беспорядков изменится ровно на единицу (в ту или в другую сторону), т. е. на нечетное чишго. Допустим теперь, что теорема доказана для й = т — 1 и докажем, что тогда она справедлива и для Й = т. Поменяем сначала местами числа сг; ~.ь г и о;еь: затем в полученной перестановке (...,гг„...

...,ог~.ь,огэь ы ...) поменяем местами о, и о.,эь; наконец, в перс становке (...,а,ьы ...,о,,о;,я ы..,) поменяем местами сг„и о,чь (..., а,~.ь ..., выь ы он ). В результате 1-й и (?+к)-й элементы поменялись местами, а порядок следования остальных элементов не изменился. При этом количество беспорядков изменялось три раза, причем каждый раз на нечетное число. Следовательно., в резулшвте количество беспорядков изменилось на нечетное число. Теорема доказана.