В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах, страница 7

Какой из двух результатов верен, а какой нет и почему'? 26. Вычислите пределы: !/ 12 22 (и 1)3 1ио ( — -!- — -'; ... Ч- из из "' из 1)(. ~) ) '' 3 4. Замечательные пределы Основные понятия и формулы Будем говорить, что бесконечно большая последовательность (ти ) имеет более высокий порядок роста., чем бесконечно большая последовательность (уи)., если (х„)р„) бесконечно большая; при этом будем употреблять обозначение р « хи.

Этот параграф посвящен вычислениям некоторых пределов, с помощью которых сравниваютсн порядки роста различных бесконечно больших последовательностей. Нахождение таких пределов основывается на применении теоремы 8 о трех последовательностях и формулы бинома Ньютона ( +1)и и+Оп и- 1+ +Сь и — ь)ь+ +(и ~~и~ь и ь!ь а=о где Сь п! п( — 1)...(и — Д+ 1) )с1( — Ю к! Из этой формулы получаем неравенство О! = 1. (ц ! О)и ) П(и ) и Зез 2 / 1 2 а) 1зш ( —,+ —,ч-...-~- (пз из в) 1ип — +, + .— 1! г 2-З г) 1пв д) 1ш! !! —, + —, Ч- —, + .

/1 2 3 1 21 3! 4! )! б) ь 1 и(и -! 1) ) ' + п — 1) Гл. Н. Предел иоследоеотелънооти 30 справедлиное для положительных а и Ь и любого натурального числа и. Рассматриваемые в этом параграфе примеры и задачи приводят к таким результатам: !08~и!и (( п (( аи (( п) при се ) О, !а! ) 1. (2) (Соотношение 108!,!и, « п справедливо при о > О, но в упр.

27 и упр. 28 предлагается доказать его лишь при се > 1.) Контрольные вопросы н задания 1. Сформулируйте теорему о трех последовательностях. 2. Напишите первые четыре члена формулы бинома Ньютона для разложеаня (1 ж о)". 3. Даны бесконечно большие последовательности: (п1), (1ойш п), (фп), (4"), (по). Пользуясь соотаошениями (2), для каждых двух последоеатечьностей укажите, какая имеет более высокий порядок роста. Примеры решения задач п" 1. Доказать, что 1яп — = О при о > О, !а! > 1. и — ~оо Ои Из определении предела последовательности следует, что если 1пп !и„! = О, то и 1пп ии = О. Поэтому достаточно доказать, что и-иоо ииоо пи 1пп цги = О, где ши = —.

Предстаним сои в виде и — их: )о!" п Рассмотрим последовательность;, = „и докажем, что и (! !~~ )и !пп еи = О. Тогда из результата примера 5 из 0 1 будет следовать, и-ос ° что !пп ш„= О. Так как а > О, !а! > 1, то Л 3 > О такое, что !а!~~" = и-и~ = 1+ )). Применив неравенство (Ц к биному (1+,3)", получим Ца! "7")" = (1+ Д)" > Д чп ) 2. Отсюда следует, что и 2 зи —— , (, чп>2. 2 Положим ши = О ч'и и уи = 'оп > 2.

Последонательности Яп — 1) (ши), (зи), (уи) удовлетворяют условиям теоремы о трех последовательностях, поскольку ни < зи < у„ и 1шз ши = О, 1пп у„ = О. и — их и и ос Следовательно, 1пп зи = О, что и требовалось доказать. ~2. Залтечателъяае пределы Таким ооразом, можно записать я «а" при о>О, )а~>1 А а" 2.

Доказать, что 1пп — = О при ~а) > 1. и „о и1 ~а~ Ст РаССМОтрИМ ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ З„= '-~ — И дОКажЕМ, Чта 11П1 Еи оо и— и — ооо = О. Пусть й натуральное число такое, что й > ~а~, и пусть п > 21;. Представим еи в виде произведения п сомножителей: )а!" (а! )а) (а( )а) )а! и.

'1 2 2Й2ЙЬ1 и Поскольку й > ~а~, дробь а„и все дроби, следующие за ней, не больше, чем 1/2. Поэтому получаем оценку ~"Г < Цзь — 1(')" "'' (2Ц)зь — 1Я" Так как зи > О и 1пп (2~а0з~ ~( — ) = О, по теоРеме о тРех после- и-ос э 12~ довательностях 1пп зи оо О.

Отсюда следует, что 1пп а = О, т. е. и-ооо ооой и! последовательность (п!) имеет более высокий порядок роста, чем последовательность (а ) при (а~ > 1. Итак, аи << п! при ~а~ > 1. д 3. Доказать, что 1пп Яп = 1. 2ь При п, > 2 число Огп больше 1. Поэтому тп > 2 э(1и > О такое, что (3) Из Равенства (3) вытекает, что п = (1+(1и)и. ПРименЯЯ к пРавой части последнего равенства неравенство (1), получим Отсюда находим, что 13„< )1' — Чп > 2. Из неравенств О < 13„< < ~1'= и соотношения 1пп ° 1'= = О по теореме о трех послоу и — 1 и .,у и-1— довательностях следует 11ш,ди оо О.

Из равенства (3) теперь имеем и- оо 1пп фи=1.А и — ооо Задачи и упражнения для самостоятельной работы 27. Используя определение предела последовательности н результат прн- 1оя и мера 3, докажите, что 1пп 8л — = О при а > 1.

и 28. Докажите, что 1ап — йо — = 0 прн а > 1, а > 1. !оя и и Гл. П. Предел последооателъности 32 29. Докажите, что заданные последовательности бесконечно малые; ЗО. Вычислите пределы: г а) !пп 1 — ф — Ч- — -Ь ... -1- — ); б) 1нп !пп 1 2 2з 2з " 2 1 ' „-, Л(Ь Ч- 1)' ь= 31. Используя результат примера 2, докажите, что 11т „= О.

1 „-.~ б'ы 2 5. Монотонные последовательности Основные понятия и теоремы Последовательность )х„) называется нееозрастающей 1неубь1аающЕй), ЕСЛИ УП Х 1.1 < Хп (Х Ч-1 > Х ). Невозрастающие и неубывающие последовательности называют монотонными последовательностями. Последонательность 1хп) называется возрастающей !убывающей), ЕСЛИ ЧП Хп11 > Хп (Хпз-1 < Хп). Возрастающие и убывающие последовательности называют также строго монотоннь ми. Отметим, что монотонная последовательность всегда ограничена хотя бы с одной стороны: невозрастающая последовательность ограничена сверху, а неубывающая -- снизу сноим первым членом.

Если же монотоннан последовательность ограничена и с другой стороны, то она сходится, .т. е, имеет место следу1ощая теорема. 'Теорема 9. Монотонная ограниченная последовательность сходится. Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте: а) определение монотонной последовательности; б) признак сходимости монотонной последовательности. 2. Является ли ограниченность последовательности необходимым и достаточным условием сходимости: а) монотонной последовательности; б) произвольной последоаательностиу Пример решения задачи Найти предел последовательности 1х„), которая определнется рекуррентным соотношением Хпгз = Х„(2 — Х ) УП ) 1, (1) где т1 произвольное число, удовлетноряющео неравенству О < х1 < < 1. у 5. Монотонные последовательности хь Докажем сначала, что последовательность (ха) ограничена, а именно, пользуясь методом математической индукции, докажем, что Чп справедливы нераяенства (2) О<х„<1.

Для хь неравенства (2) выполняются по условию. Допустим, что неравенства (2) имеют место для номера п, и докажем, что тогда они будут справедливы для номера п + 1. Запишем формулу (1) в виде х„жь = 1 — (1 — х„)з. Из неравенств (2) следует, что О < (1 — ха)х < 1, поэтому О < хажь < < 1. Тем самым неравенства (2) доказаны Угп Докажем теперь, что последовательность (хн) возрастающая. Так как х„< 1, то 2 — х„>1. Разделив равенство (1) на хн, получим хне-1!ха = 2 — х„> 1. Отсюда следует, что х„ы > ха Чп.

Таким образом, последовательность (х„) монотонная и ограниченная. Следовательно, по теореме 9 существует 1пп ха, который обозначим а. Для отыскания а, перейдем и — ~со к пределу в рекуррентной формуле (1). Получим или а = а(2 — а). 1кн ха в1 = 1пп х„1пн (2 — х„), о->ос н-все и-вж Отсюда а = О или а = 1, :так как х1 > О и последовательность (х„) возрастающая, то а = 1. А Задачи и упражнения дпя самостоятельной работы 32. Докажите схадимасть последовательности (х,,), где хо = лу 1 асд ь=1 33. Докажите сходимасть и вычислите предел паслодавательнасти (х„), в.*с=,~ тЛ.-н .=у +О +- с, 34. Докажите схадимасть и вычислите предел последовательности (х ), если она определяется рекуррентным соотношением: а) х~ =а, хв=Ь, афЬ, х„=х" 'Ч х" в Чп)3; 2 б) х1 произвольное положительное число, Чп)1, а>0; в) х1 произвольное отрицательное число, х ы= —, х + 1 Чп31, а>0; з В.Ф.

Бутузов и лр. Гл. П. Предел последовательности 34 г) х~ = †, х„4 ~ = чгзх„ — 2 тп ) 1; д) хч б )О. — ~, х„~.~ = хг + х„ Мп31; е) х~=1, х„ы =1 — — дп31; ж) х~ — — О, хг= —, х„~.~ = — 11+ х„+ х~ ) Чп ) 2; з) х„> 0 тп ) 1; в качестве х„4~ 3 берется любое число, удовлетворяющее неравенству х„)б — х ы) > 9. 35. Докажите, что неограниченная монотонная последовательность является бесконечно бальшей. 36.

Докажите существование предела !пп (1 -Ь вЂ” ) и 3 6. Предельные точки Основные понятия и теоремы Пусть )хп) -- некоторая числовая последовательность. Рассмотрим произволызую возрастающую последовательность целых положительных чисел йы йз, ..., к„, ... Отметим, что 1п > п. Выберем из )х„) члены с номерами кы Йз, ..., Й,п ...: ха~ хьг ~ " хлп; Полученнан числовая последовательность 1хл„ ) называется падпоследовательностью последовательности 1х Теорема 10. Если 1нп х„= а, та любая подпаследааательнасть и-лос )хл„) сходится к а при и -л сс. Теорема 11 утеорема Больцано — Вейерштрасса). Излюбой ограниченной последовательности лгажна выделить сходящуюся падпаследааательнасть.

Определение 1. Число а, называется предельной точкой 1или часпщчным пРеделом) последовательности 1хп), если из последовательности )х„) можно выделить подпоследовательность )хгп), сходящуюся к а. Можно дать другое, эквивалентное определение предельной точки. Определение 2. Число а называется предельной точкой последовательности )хп), если в любой а-окрестности точки а содерн4ится бесконечно много членов последовательности )хп).

3 а м е ч а н и е 1. Из теоремы 10 следует, что сходящаяся последовательность имеет толька одну предельную точку, совпадающую с ее пределом. Замечание 2. Из теоремы 11 следует, что всякая ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.

Наибольшая )наименьшая) предельная точка последовательности )х,), ограниченной сверху )снизу), называется верхним 1нилгнил~) пределом этой последовательности и обозначается 1пп х„ ( 1пп х„). ' и — >ос б б. Предельные точки Очевидно, если !хи) сходитсн, то !вн хи = 1пп ти = 1пп хи. и — ' ° и--,ск, и-леа Если последовательность !х ) не огРаничена свеРхУ 1снизУ)с та налагают 1пп хи =+со ( 1нп хи = — сю). и — ии и-и со Контрольные вопросы и задания 1. Сформулируйте определения: а) последовательности; б) предельной точки ?дайте два определения и докажите их эквивалентность); в) верхнего ?нижнего) предела последовательности.

2. Дайте геометрическую интерпретацию определении предеяьной точки. 3. Янлнется ли предел последовательности ее предельной точкой? Ответ обоснуйте. 4. Даны последовательности !гсИ вЂ” Ци -!- Ц)с !и), )? — 1)" ж 1). Укажите, какая нз них: а) имеет предельную точку; б) не имеет предельной точки; в) илюет две предельные точки; г) имеет только одну предельную точку.